231线性回归[1]

1、2.3变量间的相关关系. 一、新课准备一、新课准备：1.粮食产量与施肥量有关系吗？2. 提问：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高。教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？ 2给出相关关系的概念给出相关关系的概念 1. 例子： (1)商品销售收入与广告支出经费之间的关系。商品销售收入与广告支出经费有 着密切的联系，但商品销售收入不仅与 广告支出多少有关，还与商品质量, 居民收入，生活环境等因素有关。 (2)粮食产量与施肥量之间的关系。在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高。但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素，因为粮食产量

2、还要受到土壤质量，降雨量，田间管理水平等因素的影响。 (3)人体内的脂肪含量与年龄之间的关系。在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯，体育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关。2. 相关关系的概念：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。 （分析：两个变量自变量取值一定因变量带有随机性相关关系）1 1、相关关系、相关关系 （1 1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一

3、）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。 （2 2）相关关系与函数关系的异同点。）相关关系与函数关系的异同点。 相同点：两者均是指两个变量间的关系。相同点：两者均是指两个变量间的关系。 不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但可能是伴随关系）。可能是伴随关系）。 （3 3）相关关系的分析方向。）相关关系的分析方向。 在收集在收集大量数据的基础上，利用统计分析，发

4、现规律，大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，对它们的关系作出判断。对它们的关系作出判断。 二、讲授新课：二、讲授新课：1. 问题的提出问题的提出请同学们如实填写下表（在空格中打“” ） 讨论数学成绩与物理成绩的关系.好中差数学成绩物理成绩我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。）物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。但决非唯一因素，还有其它因素，如是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等。（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少

5、就准确地断定他的物理成绩能达到多少。但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。）2.3.2 2.3.2 两个变量的线性相关两个变量的线性相关 探究探究：.年龄脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年龄脂肪5833.56035.26134.6如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄 之间有怎样的关系吗？之间有怎样的关系吗？ 从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放

6、在从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，就体现出一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄 人群的样本平均数人群的样本平均数.我们也可以对它们作统计图、我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断. 下面我们以年龄为横轴，下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直脂肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，角坐标系，作出各个点，称该图为称该图为散点图散点图。如图：O202530 35 4045 505560

7、 65年龄脂肪含量510152025303540制作图从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：但有的两个变量的相关，如下图所示：如高原含氧量与海拔高度如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越少。少。 作出散点图发现，它们散作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角的区域内。又如汽车的载重和汽域内。又如汽车

8、的载重和汽车每消耗车每消耗1升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，称它们成平均路程，称它们成负相关负相关.O我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系关关系,这条直线叫做这条直线叫做回归直线回归直线，该直线叫，该直线叫回归方程回归方程。那么，我们该那么，我们该怎样来求出怎样来求出这个回归方这个回归方程？程？请同学们展开请同学们展开讨论，能得讨论，能

9、得出哪些具体出哪些具体的方案？的方案？202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540.方案方案1、先画出一条直线，测量出各点与它、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的的距离，再移动直线，到达一个使距离的 和最小时，测出它的斜率和截距，得回归和最小时，测出它的斜率和截距，得回归 方程。方程。202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540如图如图 ：.方案方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧、在图中选两点作直线，使直线两侧 的点的个数基本相同。的点的个数基本相同。 2

10、02530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540方案方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图如图我们还可以找到我们还可以找到 更多的方法，但更多的方法，但 这些方法都可行这些方法都可行 吗吗?科学吗？科学吗？ 准确吗？怎样的准确吗？怎样的 方法是最好的？方法是最好的？202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540我

11、们把由一个变量的变化我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法去推测另一个变量的方法称为称为回归方法。回归方法。回归直线回归直线 实际上实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画法来刻画“从整体上看从整体上看,各点到此直线的距离最各点到此直线的距离最小小”.这样的方法叫做最小二乘法这样的方法叫做最小二乘法.人们经过实践与研究，已经找到了人们经过实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式计算回归方程的斜率与截距的一般公式:xbyaxnxyxnxxxyyxxbniiniiiniiniiiy,)()(1221121以上公式的推导较复杂，故不作推导

12、，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。思考思考5 5：根据有关数学原理分析，当根据有关数学原理分析，当 时，总体偏差时，总体偏差 为最小，这样为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做方法叫做最小二乘法最小二乘法. .回归方程回归方程中，中，a a，b b的几何意义分别是什么？的几何意义分别是什么？1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybaybxxxxnx21()niiiQyyybxa=+思考思考6 6：利用计算器或计算机可求得年龄和利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂

13、肪含量的样本数据的回归方程为人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 ，由此我们可以根据，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的比的回归值回归值. .若某人若某人3737岁，则其体内脂肪含岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？量的百分比约为多少？0. 5770. 448yx=-20.9%20.9%一、相关关系的判断一、相关关系的判断例例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：个学生的数学和物理成绩如下表：ABCDE数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们是否有相关关系。画出散点图，并判断它们是否有相关关系。解：解：数学成

14、绩数学成绩由散点图可见，两者之间具有正相关关系。由散点图可见，两者之间具有正相关关系。小结：用小结：用Excel作散点图的步骤如下作散点图的步骤如下 ： (结合软件边讲边练）结合软件边讲边练）（1）进入）进入Excel，在，在A1，B1分别输入分别输入“数学成数学成绩绩”、“物理成绩物理成绩”，在，在A、B列输入相应的数据。列输入相应的数据。（2）点击图表向导图标，进入对话框，选择）点击图表向导图标，进入对话框，选择“标准标准类型类型”中的中的“XY散点图散点图”，单击，单击“完成完成”。（3）选中）选中“数值数值X轴轴”，单击右键选中，单击右键选中“坐标轴格坐标轴格式式”中的中的“刻度刻度”

15、，把，把“最小值最小值”、“最大值最大值”、“刻度刻度主要单位主要单位”作相应调整，最后按作相应调整，最后按“确定确定”。y轴方法相同。轴方法相同。二、求线性回归方程二、求线性回归方程例例2：观察两相关变量得如下表：观察两相关变量得如下表：x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程解解1： 列表：列表：i12345678910-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149xiyixiyi计算得计算得:0, 0yx110,1101011012yxxiiiii1010110010110101

16、010122101iiiiixxyxyxb000bxbya理论迁移理论迁移 例例 有一个同学家开了一个小卖部，有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：天气温的对比表： 摄氏温摄氏温度度( (） -504712热饮杯热饮杯数数 15615013212813015192327313611610489937654摄氏温摄氏温度度( (） -504712热饮杯热饮杯数数 15615013212813015192327313611610489937654（1 1）画

17、出散点图；）画出散点图；（2 2）从散点图中发现气温与热饮杯数之）从散点图中发现气温与热饮杯数之 间关系的一般规律；间关系的一般规律；（3 3）求回归方程；）求回归方程；（4 4）如果某天的气温是）如果某天的气温是22，预测这天卖，预测这天卖出的热饮杯数出的热饮杯数. .当当x=2x=2时，时，y=143.063.y=143.063.Zhitu所求回归直线方程为所求回归直线方程为 y=x小结：求线性回归直线方程的步骤：小结：求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表第一步：列表 ；第二步：计算第二步：计算 ；第三步：代入公式计算第三步：代入公式计算b,a的值；的值；第四步：写出直线方程。第四步：写

18、出直线方程。yxyxiiii,yxxiniiniiyx112,A.5.75 1.75yxB.1.755.75yxC.1.755.75yxD.5.75 1.75yx4.4.三点三点(3,10),(7,20),(11,24)(3,10),(7,20),(11,24)的的线性回归方程是线性回归方程是 ( )( )D4 4、利用回归直线方程对总体进行估计、利用回归直线方程对总体进行估计 例例5 5 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕

19、时，钢水的含碳量的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量X与冶与冶炼时间炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：下表所示：x（0.01%）104180190177147134150191204121Y（min）100200210185155135170205235125（1 1）作出散点图，找规律。）作出散点图，找规律。（2 2）求回归直线方程。）求回归直线方程。（3 3）预测当钢水含碳量为）预测当钢水含碳量为160160时，应冶炼多少分钟？时，应冶炼多少分钟？画图3 解解: (1) : (1) 作散点图作散点图从图可以看

20、出从图可以看出, ,各点分布在一条直线附近各点分布在一条直线附近, ,即它们线形相关即它们线形相关. .(2)(2)列出下表列出下表, ,并计算并计算i12345678910 xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi1040036000399003274522785180902550039155479401512510101022111159.8,172,265448,312350,287640iiiiiiixyyyxx ybxa1021()iiiQybxa10110221101.26710iiiiixybyxxx30.51.aybx 设所求的回归直线方程为设所求的回归直线方程为其中其中a,ba,b的值使的值使的值最小的值最小. .所以回归直线的方程为所以回归直线的方程为 =1.267x-30.51(3)(3)当当x=160 x=160时时, 1.267.160-30.51=172, 1