222相互独立事件

1、2.2.2事件的相互独立性事件的相互独立性31,3,.?ABAB思考张奖券中只有 张能中奖 现分别由 名同学有放回地抽取 事件 为 第一名同学没有抽到奖券 事件 为 最后一名同学抽到奖券事件 的发生会影响事件 发生的概率吗,31,.AB显然 有放回地抽取奖券时 最后一名同学也是从原来的 张奖券中任取 张 因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响 即事件的发生不会影响事件 发生的概率于是 .BPAPA|BPAPABP,BPA|BP 事件的相互独立性事件的相互独立性设设A，B为两个事件，如果为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事则称事件件A与事件与事件B相互独立。相互

2、独立。即事件即事件A（或（或B）是否发生）是否发生,对事件对事件B（或（或A）发生的）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。如果事件如果事件A与与B相互独立，那么相互独立，那么A与与B，A与与B，A与与B是不是相互是不是相互独立的独立的相互独立相互独立一般地，如果事件一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这相互独立，那么这n个个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2An）=P（A1）P（A2）P（An）练习练习1.1.判断下列事件是否为相互独立事件判断下列事件是否

3、为相互独立事件. .篮球比赛的篮球比赛的“罚球两次罚球两次”中，中， 事件事件A A：第一次罚球，球进了：第一次罚球，球进了. . 事件事件B B：第二次罚球，球进了：第二次罚球，球进了. .袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. .事件事件A A：第一次从中任取一个球是白球：第一次从中任取一个球是白球. .事件事件B B：第二次从中任取一个球是白球：第二次从中任取一个球是白球. .袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. . 事件事件A A：第一次从中任取一个球是白球：第一次从中任取一个球是白球.

4、. 事件事件B B：第二次从中任取一个球是白球：第二次从中任取一个球是白球. .例例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的求两次抽奖中以下事件的概率：概率：（1）都抽到某一指定号码；）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定

5、号码。）至少有一次抽到某一指定号码。 定号码的概率两次抽奖都抽到某一指于是由独立性可得相互独立与因此果互不影响由于两次抽奖结就是事件奖都抽到某指定号码两次抽则为事件码次抽奖抽到某一指定号第为事件码次抽奖抽到某一指定号第记解,.BA,.AB,B2,A11 BPAPABP.0025.005.005.0 所求的概率为独立事件定义根据概率加法公式和互斥与由于事件表示可以用某一指定号码两次抽奖恰有一次抽到,BABA.BABA2 BPAPBPAPBAPBAP .095.005.005.0105.0105.0 所求的概率为立事件定义根据概率加法公式和独斥两两互和由于事件表示可以用到某一指定号码两次抽奖至少有

6、一次抽,BABA,AB.BABAAB2.0975.0095.00025.0BAPBAPABP例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1 1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2 2人人 击中目标的概率都是击中目标的概率都是0.60.6，计算：，计算：（1）两人都击中目标的概率）两人都击中目标的概率；解：解：(1)记记“甲射击甲射击1次次,击中目标击中目标”为事件为事件A.“乙乙射射击击1次次,击中目标击中目标”为事件为事件B.答：两人都击中目标的概率是答：两人都击中目标的概率是0.36且且A与与B相互独立，相互独立，又又A与与B各射击各射击1次次,都击中目标都击中目标,就是事件就是事件A,B同同时

7、发生，时发生， 根据相互独立事件的概率的乘法公式根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到得到P(AB)=P(A)P(B)=0.60.60.36另一种是另一种是甲未击中，乙击中（事件甲未击中，乙击中（事件B发生）。发生）。例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2人击人击中目标的概率都是中目标的概率都是0.6，计算：，计算：(2)其中恰有其中恰有1人击中目标的概率？人击中目标的概率？解：解：“二人各射击二人各射击1次，恰有次，恰有1人击中目标人击中目标”包括两种包括两种情况情况:一种是甲击中一种是甲击中,乙未击中（事件乙未击中（事件）BA48. 024. 024.

8、 06 . 0)6 . 01 ()6 . 01 (6 . 0)()()()()()(BPAPBPAPBAPBAP答：其中恰由答：其中恰由1人击中目标的概率为人击中目标的概率为0.48.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是事件的概率乘法公式，所求的概率是BA根据题意，这两根据题意，这两种情况在各射击种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件次时不可能同时发生，即事件B与与 互斥，互斥，例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1 1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2 2人击人击中目标的概率都是中目标的概率都是0.60.6，计算：，

9、计算：（3）至少有一人击中目标的概率）至少有一人击中目标的概率.解法解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是84. 048. 036. 0)()()(BAPBAPBAPP解法解法2：两人都未击中的概率是：两人都未击中的概率是84. 016. 01)(1,16. 0)6 . 01 ()6 . 01 ()()()(BAPPBPAPBAP目标的概率因此，至少有一人击中答：至少有一人击中的概率是答：至少有一人击中的概率是0.84.巩固练习巩固练习2、在一段时间内，甲地下雨的概率是、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨，乙地下雨的概率是的概率是0

10、.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都下雨的概率；）甲、乙两地都下雨的概率；（2）甲、乙两地都不下雨的概率；）甲、乙两地都不下雨的概率；（3）其中至少有一方下雨的概率）其中至少有一方下雨的概率.P=0.20.30.06P=(1-0.2)(1-0.3)=0.56P=1-0.56=0.44例例5.一个工人看管三台车床，在一个工人看管三台车床，在1小时内车床不需要工人照管的小时内车床不需要工人照管的概率概率:第一台等于第一台等于0.9，第二台等于，第二台等于0.8，第三台等于，第三台等

11、于0.7，求在，求在1小时内至少有一台车床需要工人照管的概率。小时内至少有一台车床需要工人照管的概率。解：设第一、二、三台车床在解：设第一、二、三台车床在1小时内不需要工人照管的小时内不需要工人照管的事件分别为事件分别为A、B、C；在；在1小时内至少有一台车床需要工小时内至少有一台车床需要工人照管的事件为人照管的事件为D，则，则P(D)=1-P(ABC)又由于三台车床在又由于三台车床在1小时内不需要工人照管的事件是相互小时内不需要工人照管的事件是相互独立的，所以独立的，所以P(D)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.90.80.7=0.496答：答： 在在1小时内至少有一台车床需要工人照管

12、的概率为小时内至少有一台车床需要工人照管的概率为0.496练习练习5:5: 已知诸葛亮解出问题的概率为已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,0.8,臭皮匠臭皮匠老大解出问题的概率为老大解出问题的概率为0.5,0.5,老二为老二为0.45,0.45,老三为老三为0.4,0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？较，谁大？ 1()10.5 0.55 0.60.835P A B C 0.8()P D 略解略解: : 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为三个臭皮匠中至少有一人解出的

13、概率为 所以所以，合三个臭皮匠之力把握就大过，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮诸葛亮. .例例5.掷三颗骰子，试求：掷三颗骰子，试求：(1)没有一颗骰子出现没有一颗骰子出现1点或点或6点的概率；点的概率；(2)恰好有一颗骰子出现恰好有一颗骰子出现1点或点或6点的概率点的概率(3)至少有至少有1颗骰子出现颗骰子出现1点或点或6点的概率是多少点的概率是多少 解：记解：记“第第1颗骰子出现颗骰子出现1点或点或6点点”为事件为事件A，“第第2颗骰子出现颗骰子出现1点或点或6点点”为事件为事件B， “第第3颗骰子出现颗骰子出现1点或点或6点点”为事件为事件C，由已知由已知A、B、C是相互独立事件，是相互

14、独立事件，1( )( )( )3P AP BP C (1)没有没有1颗骰子出现颗骰子出现1点或点或6点，也就是事件点，也就是事件A、B、C全不发生全不发生,即事件即事件所以所求概率为：所以所求概率为：2228()( ) ( ) ( )33327P ABCP A P B P C CBA例例5.掷三颗骰子，试求：掷三颗骰子，试求：(1)没有一颗骰子出现没有一颗骰子出现1点或点或6点的概率；点的概率；(2)恰好有一颗骰子出现恰好有一颗骰子出现1点或点或6点的概率点的概率(3)至少有至少有1颗骰子出现颗骰子出现1点或点或6点的概率是多少点的概率是多少 (2)恰好有恰好有1颗骰子出现颗骰子出现1点或点或

15、6点，即点，即A发生发生B不发生不发生C不发生或不发生或A不发生不发生B发生发生C不发生或不发生或A不发生不发生B不发生不发生C发生，用符号表示发生，用符号表示为事件为事件94)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAPCBAPCBAPCBAPCBACBACBAP所求概率为：CBACBACBA,例例5.掷三颗骰子，试求：掷三颗骰子，试求：(1)没有一颗骰子出现没有一颗骰子出现1点或点或6点的概率；点的概率；(2)恰好有一颗骰子出现恰好有一颗骰子出现1点或点或6点的概率点的概率(3)至少有至少有1颗骰子出现颗骰子出现1点或点或6点的概率是多少点的概率是

16、多少 (3)“至少有至少有1颗骰子出现颗骰子出现1点或点或6点点”的对立事件为的对立事件为“没有一颗没有一颗骰子出现骰子出现1点或点或6点，即问题点，即问题(1)中的事件，所求概率为中的事件，所求概率为2719)(1)(CBAPCBAP 一个元件能正常工作的概率一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。称为该元件的可靠性。由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。今设所用元件的可靠性都为靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0(0r1)1)，且各元件能，且各元件能否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。否正常工作是互相独立的。试求

17、各系统的可靠性。(1)12(2)12(3)1212(4)2211P1=r2P2=1(1r)2P3=1(1r2)2P4=1(1r)22 J C J B J A练习练习5思考思考3. 3. 如图如图, ,在一段线路中并联着在一段线路中并联着3 3个自动控制的常开个自动控制的常开开关，只要其中有开关，只要其中有1 1个开关能够闭合，线路就能正常工个开关能够闭合，线路就能正常工作作. .假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.70.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率计算在这段时间内线路正常工作的概率. . 解：分别记这段时间内开关解：分别记这段时间内

18、开关J JA A,J,JB B,J,JC C能够能够闭合为事件闭合为事件A A，B B，C.C.由题意，这段时间内由题意，这段时间内3 3个开关是否能够闭合相互之间没有影响个开关是否能够闭合相互之间没有影响, ,根据相互独立事件的概率乘法公式，这段根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内时间内3 3个开关都不能闭合的概率是个开关都不能闭合的概率是 ()( )( )( )1( )( )( )(10.7) (10.7) (10.7)0.02711A B CABCABCPPPPPPP 这段时间内至少有这段时间内至少有1 1个开关能够闭合，从而使线路能个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是正常

19、工作的概率是 1()1 0.0270.973PP A B C 6.某系统由某系统由A,B,C三个元件组成三个元件组成,每个元件正常工作概率为每个元件正常工作概率为P.则系统正常工作的概率为则系统正常工作的概率为_ABCP+P2-P3例例6.某人提出一个问题，规定由甲先答，答对的概率为某人提出一个问题，规定由甲先答，答对的概率为0.4，若，若答对，则问题结束；若答错，则由乙接着答，但乙能否答对与答对，则问题结束；若答错，则由乙接着答，但乙能否答对与甲的回答无关系，已知两人都答错的概率是甲的回答无关系，已知两人都答错的概率是0.2，求问题由乙答，求问题由乙答出的概率。出的概率。解法一：设解法一：设

20、P(乙答错）乙答错）=x，则由题意，得，则由题意，得P(甲答错且乙答错）甲答错且乙答错）=0.2，P(由乙答出）由乙答出）=P(甲答错且乙答对）甲答错且乙答对）2 . 06x. 031x 4 . 0326 . 0解法二：解法二：P(由乙答出）由乙答出）=1-P(由甲答出）由甲答出）-P(两人都未答出）两人都未答出）=1-0.4-0.2=0.44112192例3（2004.湖南理）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为的概率为乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一乙机床加工的