2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(理科)

1、2020年最新2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2? ?|?- ?- 6 < 0,集合？?= ?|? 1 > 0,则(？?) 2?()A.(1,?3)B.(1,?3C.3,?+ 8)D.(3,?+ oo)2 .设复数？满足(?+ 2?)?= 3- 4?则复数？荏复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 .设等差数列?的前？项和为？?？若？ + ?= 15 - ?,贝U?等于()A.18B.36C.45D.604

2、.已知？?，？是两条不同的直线，？ ? ?是三个不同的平面，则下列命题正确的是 ()A.若？?/? ?/?则?/?B.若？，？? ?!?则?/?C 若？ ？且？ ? ? ?贝! ?？ ./1 , ，D.若？，？ ？?，？且？，？则？，？5 . (?,+ 2)( ?1r 1)5的展开式的常数项是()D.3A.-3B.-2C.26 .已知？=1?2, ?=? -2, ?满足？ -?3 = ln?,则下列各选项正确的是()B.? <?<?D.? <?<?A.? <?<?C.? <?<?7 .中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实

3、际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数19的一种方法.例如：3可表示为 空”,26可表示为=T.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 19这A.13B.14C.159数字表示两位数的个数为()D.168 .在矩形？?？ ？?3, ?4, ?交于点？过点？养?L?垂足为?贝U ?=()C1f144D.2529 .函数？?（?=（丽/?- 1）sin?图象的大致形状是（）A.B.C.10 . 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不 同排法的种数是（）A.72B.60C.36D.24? 3,11 .已知函数?(?) sin(2?-彼),

4、若万程?(?=仁的解为? ?(0 < ? < ?< ?) 则sin(?1 - ?) = ()C.- 2fD.-3A.- 4-?212.已知函数？?(?)(?+ ?即?？+ -?B.- 355?e 1,?+ 8）,曲线?= ?（?»总存在两点?（?,?第，？（?,？?？使曲线？?= ?（?）£?、？网点处的切线互相平行，贝U?+ ?的取值范围为（）A.4,?+ 8B.(4,?+ 816 CT,+c°16D.(g ,+8二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，满分20分.已知数列?满足？= 1, ?= 1 + ?+. +?-1 (?,?> 2

5、),则当？> 1 时， ?=.?一设当？?= ?寸，函数？?(?)sin?+ v3cos?取得最大值，贝U tan(?+ ；) =+ v3 .已知函数？?(?)？手+ ?+ ?在?= 1处有极小值10,贝U ? ?=.在三棱锥？? ?, ?2,侧面？?旅面？?咕，则三 棱锥？? ?眼球的表面积是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。3?在锐角?,角？ ？ ？?寸应的边分别是？ ？ ？且cos2?+ sin( ?)+ 1 = 0.(1)求角？的大小；(

6、2)若?面积？?= 3V3, ?= 3.求 sin?勺值.在等比数列?中，公比？C (0, ?1),且?t足？=2, ?+ 2? + ?=25,(1)求数列?的通项公式；(2)设？?= 10g2?,数列?的前？项和为？?？当?+?+? + 郛最大值时，求?勺值.如图，在多面体?则边形？?？?边长为萼的菱形，/?60°, ?3?于点？平面？?平面?/? ? ?=学3(1)求证：？"平面？?(2)若?等边三角形，点 ？效？?？中点，求二面角？?- ? ?的余弦值.某种规格的矩形瓷砖(600? X 600?)根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量？(?)服从正态分布？(?？,?

7、？?，并把质量在(?- 3? 3?启外的瓷砖作为废品直 接回炉处理，剩下的称为正品.(1)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率;(2)若规定该规格的每片正品瓷砖的尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为？(?)？(?？?)则尺寸误差”(?)为|?- 600| + |?- 600| ,按行业生产标准， 其中 优等“、级“合格”瓷砖的 尺寸误差”范围分别是0, ?0.2卜(0.2, ?0.5, (0.5, ?1.0(正品瓷砖中没有尺寸误差”大于1.0?勺瓷砖)，每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0 元，现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取

8、100片瓷砖，相应的 尺寸误差”组成的样本数据如下，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.尺寸误差00.10.20.30.40.50.6频数103030510510(甲厂瓷砖的尺寸误差”频数表)(?)己甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为？(元)，求？的分布列.(?浦阁可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有优等“、,级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率.附：若随机变量？?艮从正态分布？?(?？,?，则？(?？ 3?< ?< ?k 3?尸0.9974 ; 0.9974 10 =0.9743 , 0.84=0.4096 , 0.85 =0.32768

9、已知函数?（?= ln?+ ?- ?+ 1 - ?（?支?）.(1)求函数？?(?物单调区间;1-?,(2)若存在？?> 1,使？?(?+ ?< 市成立，求整数？咐最小值.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选彳4-4 :坐标系与参数方程.一.?= cos?+ 百sin?,在直角坐标系？?？曲线？勺参数方程为-Y3s,(?为参数)，坐标原?= sin?- v3cos?点？效极点，？轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线？的极坐标方程为？cos(? 6? = 2.求曲线？和直线附直角坐标方程；(2)直线？轴的交点为

10、？经过点？酌动直线？叫曲线？位于？ ？拥点，证明：|?|?常定值.选彳4-5 :不等式选讲(10分)已知函数？(?)|?0 1| + |2?+ ?|(? ?).(1)若？?= 2时，解不等式？(?卢3;(2)若关于？的不等式？?(?卢|2?- 3|在？?C 0, ?1止有解，求实数？硝取值范围.参考答案与试题解析2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(理科)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先确定？再求出？?？而后可求(？?)0?【解答】?= ?卜 2 <

11、 ?< 3, ?= ?|?其 -2 或？?2 3,(? ?) n ?= ?|?> 3 = 3,?+ oo)2.【答案】B【考点】共轲复数复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的运算法则，进行正确的计算即可.【解答】解：设复数？?= ?+ ?(?+ 2? ?(?+ 2) = 3- 4? ?+ 2 = -3 , ?= -4 ;?= -4 , ?= -5 ,复数？?= -4 - 5?= -4 + 5? ?复数？声复平面内对应的点位于第二象限.故选？3.【答案】C【考点】等差数列的性质【解析】由等差数列的通项公式知 ？+?= 15 - ? ? = 5,再由等差数列的前？领和公式:9?

12、= £ x 2?2 .【解答】解：: ?+?= 15 - ?,2? = 15 - ?,?= 5,9?= 2 X2?R = 45.故选？4.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系【解析】在？叩，？* ?相交、平行或异面；在 ？神，？芍？才目交或平行；在？叩，？芍？才目交或平行；在？井，由线面垂直、面面垂直的性质定理得？!？【解答】解：由？，？是两条不同的直线，？ ？ ？是三个不同的平面，知：在？叩，若？/？ ？/？贝(？* ？相交、平行或异面，故 ？昔误；在？冲，若？?,？ ？± ？贝U？芍？相交或平行，故？昔误；在？叩，若？?/? ?/?且？

13、？ ? ? ?则？芍？才目交或平行，故 ？错误；在？井，若？，？ ?! ?且？，？则线面垂直、面面垂直的性质定理得?!?故?在确.故选？5.【答案】D【考点】二项式定理及相关概念【解析】(?,+ 2)(- 1) 5的展开式的常数项是第一个因式取？? 第二个因式取 得；第一个因式取2,第二个因式取(-1) 5,故可得结论.【解答】第一个因式取？，第二个因式取?2,可得1 X? X(-1) 4=5；第一个因式取2,第二个因式取(-1) 5,可得2X(-1) 5= -2(?,2+ 2)( ?2- 1) 5的展开式的常数项是5+ (-2) =36.【答案】B【考点】指数函数与对数函数的关系【解析】本题

14、可以选择0, 1两个中间值采用搭桥法处理.【解答】依题意，因为？?= ln?(0,?+ 8)上的增函数，所以？=1?21n1=0;应为？?= ?%?如的增函数，且？?> 0,所以0< ?=? -1, < ?=1;?满足? -?3 = ln?,所以？> 0,所以?*0,所以 ln? > 0=ln1 ,又因为？?=皿？为(0,?+ 8)的增函数，所以？> 1,综上：？< ? < ?.7.【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分析可得6根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个数，由加法原理分析可得答案.【解答】根据

15、题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5,1、9, 2、4,2、8,6、4,6、8, 3、 3, 3、 7, 7、 7;数字组合1、5, 1、9, 2、4, 2、8, 6、4, 6、8, 3、7中，每组可以表示 2个两位数，则可以表示2 X 7 = 14个两位数；数字组合3、3, 7、7,每组可以表示2个两位数，则可以表示 2X2=4个两位数；则一共可以表示12+ 4 = 16个两位数；8.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标写出?方程，求出点？勺坐标，再利一 f用向重坐标表不计算 ？?？?？值.【解答】建立平面直角坐标系，如图所示；

16、矩形？?？ ？?3, ?4, 则？(0,?3), ?(0,?0), ?(4,?0), ?(4,?3);直线？砌方程为？?= 3?4 )由？?L ?贝 U 直线？?？方程为？ 3 = - 4?即？?=-：? 3;33?= 3?=由4 4,解得?=-?+ 3?=362527 ，2536 27所以？ ?=(25,?-64?=(25，?3664所以？= 一 X 25254827144"25?25，?25)9.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用？?(1)的值的符号是否对应进行排除即可.【解答】21-?解：?(?= (?- 1)sin?=

17、1+?sin?21-?-?3?1则？(一?)=不方?？ ？sin(-?) = ? ?(-sin?)1-?_=不薄？sin?= ?(?)则？?(?基偶函数，则图象关于 ？轴对称，排除？ ？当？?= 1 时，？?(1)=黑？sin1 < 0,排除？故选？10.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到 2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，问题得以解决.【解答】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的 3个空中的2个空中，故有？资<2?<3

18、= 72种，11.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值三角函数值的符号【解析】2?由已知可得？= =- ?,结合？< ?求出？?的范围，再由sin(?2- ?) = sin(2?132?_?) = -cos(2? i 6) 求解即可.【解答】? 11?解：. 0 < ?< ?2? 6 c (- g,),< ?)?6)， 3 又二 万程？?(?= 5的解为？，?(0 <?<?+?2 _?.”一2?”-2 - =3-，.2 ="3" -4sin(? - ?) = sin(2?i - 2?) = -cos(2?i - 32?<

19、?,?= - ?,0 < ?< 3,2? e(? ?由？(？ = sin(2?i - 6)= 5,得 cos(2?-)=65654 sin(? -?) = - 5.故选？12.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得？?(?领导数？(?由题意可得？彳?？，2)侬，?> 0,且？ W?),化为?4(? + ?) = (?+?？?？，因此?+ ?最个：寸?？1，?+ 8郝成立,令?(?作？?+ ?1,?+ 8,)利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.【解答】函数？?(?)(?+ 4?in?+ W，导数？(省1?+ 4?1?-喜-(1)由题意可得？行？ ? &

20、#39; 2!?1 , ? > 0,且？ W ?).即有畦-冬-1 = ZZ+4?- 4- 1, ?2?2化为 4(? + ?) = (?+ 4?,而? <?+?殳)2化为？+ ?+x寸？e 1,?+ 8 为成立, , , ?4(?+ ?) < (?+ 4?(等)2,16令？?(?)？?+ 4? ?e 1,?+ 8),由？?+ ?>2，？?4?= 4,当且仅当？?= 2取得等号164,?+ ?> 4,即？+ ?的取值范围是(4,?+ 8).故选：?二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.【答案】2?-1【考点】数列递推式【解析】根据已知条件写出数列的前

21、几项，分析规律，并归纳出数列的通项公式即可.【解答】解：:数列?满足？=1,?= 1 + ?+. +?-1 ?(?E ?3,？?注 2),则？= 1 = 2°,? = 2 = 21,? = 4 = 22,? = 8 = 23,由此可得当?> 1时,?= 2?-1 .故答案为：2?-1 .【答案】2【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】?(?解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由 ?(?取得最大值，得到？?勺取值，后代入正切公式中计算求值.【解答】?(?) sin?+ Gos?= 2sin(? + ?)；?= ?寸函数当？?= ?寸，函数?a -?=

22、-?+ 2?e ?. 3 2 ,J，,?= 6 +2? ?e ?=2 + v3.?tan(?+ 4) = tan( 6+ 2? 4) = tan(4 + W)=15【考点】利用导数研究函数的极值【解析】根据函数？?(?)？+ ?+ ? ?在？?= 1处有极小值10得？(到0,出？0 ?的值.【解答】当？?= -3 , ?= 3时，?' (?3)?- 6?+ 3 = 3(?- 1)2, 此时？?= 1不是极小值点.?= 4, ?= -11 ,? ? 15 .故答案：15.【答案】20?3【考点】球的体积和表面积【解析】如图所示，取 ？?谢中点？?，连接？?设？效?中心，？妁?心，？ 为三

23、棱锥？ ?能球的球心.连接？?？ ？? ?四边形？?w方形.可得? 为棱锥？ ?眼球的半径.利用勾股定理及其球的表面积计算公式即可得出.【解答】如图所示，取？渤中点？连接? ?设？为 ?的中心,?为 ?即心，?妁三棱锥？ ?能球的球心.连接？?？ ? ?四边形？?？?£方形.则？?？棱锥？ ？?龈球的半径.?=，？? ?= V(2+(233)2 =4520? 士棱锥？ ？限球的表面积=4?X-=. 33三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。【答案

24、】_3?_cos2?+ sin(y- ?)+ 1 = 0.1cos2?- cos?+ 1 = 0,可得：2cos2? cos?= 0,解得：cos?= 2,或cos?= 0 ,? ?角三角形，一 11 cos?= 2,? 可得：？?= - ? 1?sin=?2?23 = 3v3,可得：?12 ,又？?= 3,可得：？4,1在? ?,由余弦7E 理可知，?=? + ? - 2?cos?16 + 9- 2X3X4 X2 =25 - 12 = 13,?= v13,在?赳，由正弦定理可知：高篙=s,可彳导:sin?=字?= *=等.【考点】余弦定理【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可

25、得cos?勺值，结合？酌范围，可求?的值.(2)利用三角形的面积公式可求？?的值，从而解得？?勺值，由余弦定理可求 ？?勺值，由正弦定理可求sin?勺值.【解答】_3?_ _cos2?+ sin(3-?)+ 1 = 0.1cos2?- cos?+ 1 = 0,可得：2cos2? cos?= 0,解得：cos?= 2 ,或 cos?= 0, ? ?锐角三角形，1 . cos?= 2,一？ 二可得：？?=屐 ? 1?sin=?2?23 = 3V3,可得：？?？12,又？?= 3,可得：？4, 1在?帘，由余弦定理可知，?=?+ ?- 2?cos?l6 + 9- 2X3X4 X2 =25 - 12

26、= 13,?= viT,?在?赳，由正弦定理可知：-=f,可彳导:sin?= ?迎?= £ 一堂.sin? sin?'sin?=?=工-13【答案】?+ 2?+ ? = 25,可得？ + 2?+ ?=(?3+ ?)2=25,由？=2,即？?？ = 2,，由0 < ?< 1 ,可得？ > 0, ?> 0,可得？+?=5,即？?？+ ?=5,1* .由 解得？?= - (2舍去)，？=16,贝?= 16 ?(2)?-1 = 25-?；?= log 2 ?= log 22 - -=5 - ?1可得？?= 2?(4+ 5 -?) =9?-?2?_ 9-?=2

27、'?)则彳+5+? + K=4 +9-?219-?17?-?2=2?(4+ V)=-1 ;(?-127)228916 '可得？?= 8或9时，+ + ? +关取最大值18.则？的值为8或9.【考点】数列的求和【解析】(1)由条件判断？?> 0,再由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比, 进而得到所求通项公式；(2)求得？5 log 2?k 10g225-? = 5 - ?可得？?=9?-?-?2 '再由等差数列的求和公式和配方法，可得所求最大值时的？的值.【解答】?+ 2?+ ? = 25,可得？ + 2?+ ?=(?%+ ?)2=25,由？=2,即？?

28、？ = 2,，由0 < ?< 1 ,可得？ > 0, ?> 0, 可得？+?=5,即？?？ + ?=5,1由 解得？?= - (2舍去)，？=16,则？?= 16 ?(2)?-1 = 25-?；?= 1og2?= 1og225-? = 5- ?可得？?= 1?(4+ 5 - ?)= 9?2?2,?_ 9-?= 2"则?+ ?+?+?!?= 4 +79-?2+ ? + 12?(4+9-?,17?-?2T)I?- 127)2289 +可得？?= 8或9时，：+!?+?+ 鄂最大值18.则？的值为8或9.【答案】如图，取?隼点？?连接？?？?因为? ?所以?L ?又

29、因为平面？?平面？平面？?平面？?？?？ ?平面?所以？?L平面? ?盼另J为？? ?点，1所以？/? 2?因为？= 2-33 = 2? ?/?所以四边形？?平行四边形，所以?/?所以？?L平面?如图，以？?？?在直线为？轴，？?在直线为？轴，？?？?在直线为？轴建立空间坐标系,显然二面角？?- ? ?妁锐二面角，设该二面角为 ？向量?= (0, ?0?1心平面？?？?去向量，设平面？?？?去向量?= (?,1),> I 一 、，. ，0由题意可知？? ? ?sin60= 2 ,所以？(-2, ?0?0), ?(0,浮，？0), ?(0,?0?2), ?(1,?0?1)2aZ3？;则二：

30、一? =所以？= (1,?- - ,?1), ?(3, ?0?1),即? ?+1 =03?+ 1 = 0所以？?= (- 1,畔，？1)， 33|?所以cos?=3E13 ,|?|?【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(1)取？冲点？连接？?？证明？牝平面？?/?U?L平面? ,(2)以？?？在直线为？轴，？?在直线为？袖，？?所在直线为？轴建立空间坐标系， 分别求出平面?坪面？?法向量，将二面角 ？?- ? ?专化为两个法向量夹角 余弦值的问题.【解答】如图，取？?点？?连接？?？?因为? ?所以?L ?又因为平面？?平面？平面？?平面？?？?？ ?平面?所以？?L平面? ?盼

31、另J为？? ?点，所以？/?= 2?因为？=.=2? ?/?所以四边形？?平行四边形，所以?/?所以？?L平面?如图，以？?？在直线为？轴，？?在直线为？轴，？?？在直线为？轴建立空间坐标系,显然二面角？?- ? ?妁锐二面角，设该二面角为?向量？?= (0, ?0?1舛平面？?？去向量，设平面？?？去向量?= (?,1),，一 ，、. . °由题意可知？? ? ?sin60= 2 ,所以？(-2, ?0?0), ?(0,浮，？0), ?(0,?0?2), ?(1,?0?1)2aZ3？;则二：一? =所以？= (1,?- - ,?1), ?(3, ?0?1),即? ?+1 =03?+

32、 1 = 0所以？?= (- 1,畔，？1)， 33|?所以cos?=3E13 ,|?|?【答案】由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在(?- 3?+ 3?比内的率为0.9974,则这10片质量全都在(?- 3?+ 3?后内(即没有废品)的概率为0.9974 10 0.9743 ;则这10片中至少有1片是废品的概率为1 - 0.9743 =0.0257;(i )由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产的一片正品瓷砖为优等“、工级“、答格”的概率分别为0.7、0.2、0.1;则？的可能取值为15, 14, 12.5, 13, 11.5, 10元；计算？?(? 15

33、) =0.7 X 0.7 = 0.49 ,?(? 14) =0.7 X0.2 X2 = 0.28,?(? 12.5) =0.7 X0.1 X2 = 0.14,?(? 13) =0.2 X 0.2 = 0.04,?(? 11.5) =0.2 X0.1 X2 = 0.04,?(? 10) =0.1 X0.1 =0.01 ,得到？的分布列如下：?15141312.511.510?0.490.280.040.140.040.01数学期望为?(?) 15 X0.49 + 14 X0.28 + 13 X 0.04 + 12.5 X0.14 + 11.5 X 0.04 + 10 X 0.01 = 7.35

34、+ 3.92 + 0.52 + 1.75 + 0.46 + 0.1=14.1 (兀)；(ii)设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有 ？片 优等”品，则有5- ?片 级”品, 由已知 7.5?+ 6.5(5 - ?)>36 ,解得？> 3.5,贝U ?取4或 5;故所求的概率为?= ?54 X0.84 X0.2 + 0.85=0.4096 + 0.32768= 0.73728 .【考点】正态分布密度曲线【解析】(I )由正态分布的概率公式求值即可；(n)( i)根据题意知？的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，计算数学期望值；(ii)根据题意求出 优等“品与'级”品数，再计

35、算所求的概率值.【解答】由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在(?- 3?+ 3?宜内的I率为0.9974,则这10片质量全都在(?- 3?+ 3?应内(即没有废品)的概率为 0.9974 10 0.9743 ;则这10片中至少有1片是废品的概率为1 - 0.9743 =0.0257;(i )由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产的一片正品瓷砖为优等“、工级“、答格”的概率分别为0.7、0.2、0.1;则？的可能取值为15, 14, 12.5, 13 , 11.5, 10元；计算？?(? 15) =0.7 x 0.7 = 0.49 ,?(? 14) =0.7

36、X0.2 X2 = 0.28,?(? 12.5) =0.7 X0.1 X2 = 0.14,?(? 13) =0.2 X 0.2 = 0.04,?(? 11.5) =0.2 X0.1 X2 = 0.04,?(? 10) =0.1 X0.1 =0.01 ,得到？的分布列如下：?15141312.511.510?0.490.280.040.140.040.01数学期望为?(?) 15 X0.49 + 14 X0.28 + 13 X 0.04 + 12.5 X0.14 + 11.5 X 0.04 + 10 X 0.01 = 7.35 + 3.92 + 0.52 + 1.75 + 0.46 + 0.1=

37、 14.1 (兀)；(ii)设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有？片 优等”品，则有5- ?片 级”品，由已知 7.5?+ 6.5(5 - ?)>36 ,解得？> 3.5,贝U ?取4或 5;故所求的概率为?= ?54 X0.84 X0.2 + 0.85=0.4096 + 0.32768=0.73728 .【答案】解：(1)由题意可知，？?> 0, ?(?)= 1?-，- 1 = -?2；?-?, 方程-?2+ ?. ?= 0 对应的？?= 1 - 4?1当？?= 1 - 4?< 0,即？>4时，当？e(0,?+ 8)时,?(?/0,?(?京(0,?+ 刘单调递减；

38、当0 < ?< 4时，方程-?2 + ?- ?= 0的两根为 I-4?日 1- “-4?1+ V1-4?2<2，此时，在（匕宇？,=?）上？?（?）> 0,函数？?（?）调递增,在（0,匚/）,（上晏?？，+00）上？?（?）< 0,函数？?（?）调递减;当？?w 0时,1-4?<20,1+ V1-4? >20,此时当？e（0,1+4?）, ?（?）> 0,当？?e（1+；4?,+oo）时,?（?）< 0, ?（?）调递/ 综上：当？?w 0时，？（?9（0, 4?）上单调递增, 在（三F?,+8）上单调递减； 当0 < ?<

39、4时，？?（?京（Y4z,tq43上单调递增,在（0, W?1）,（土产，+8）上单调递减;当？? 4时，？?（?格（0,?+ 8）上单调递减;(2)原式等价于(?- 1)?> ?ln? 2?- 1 ,即存在？?> 1 ,使？?>?ln?+2?-1?-1成立.设？（?=?ln?+2?-1?-1贝 U? (?)=?-ln?-2(?-1) 2 ，设？(？)= ?- ln?2 2,则？(?)= 1 - 1?= ?1> 0,?(?施(1,?+ 对单调递增.又？(3) = 3 - ln3 - 2 = 1 - ln3 < 0, ?(4) = 4 - ln4 - 2=2- 2l

40、n2 > 0,根据零点存在性定理，可知？(?)在(1，?+ 8)上有唯一零点，设该零点为？，则？? C(3, ?4),且？(?)= ?- ln?0- 2 = 0,即？- 2 = ln?3, 方程-?2+ ? ?= 0 对应的?= 1 - 4?(?淅?ln?0 +2?-1?0-1?+ 1,由题意可知?>?+ 1,又？?（3, ?4）, ?e?整数？?勺最小值为5.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质通过讨论?勺范围判断函数的单调性即可;（2）问题转化为存在？?> 1,使？*?+2?-1 ?-1I成立.设？?(?=

41、 ?ln?+2?-1, ?> 1,根据函?-1数的单调性求出？的最小值即可.【解答】解：（1）由题意可知，？?> 0, ?（?）= %?彩-1 =-?2+?-?g'1当？?= 1 - 4?< 0,即？>4时，当？C (0,?+ oo)时,?(?/ 0, ?(?再(0,?+ O)单调递减;当0 < ?< 4时，方程-?2 + ?- ?= 0的两根为什；4?,日 1- V1-4?1+ V1-4?H0< -<此时，在(匕孚二上苧!)上？?(?)> 0,函数？?(?空调递增,在(0,匚尹)，(主，+8)上？? (?)< 0, 函数？?

42、(?)调递减;_1- v1-4?当？?W 0时，114一此时当？e(0,1+广7),?(?)> 0, ?(?弹调递增,当？C (土产，+o)时,/、，一.、，.?(?)< 0, ?(?空调递减;综上：当？?W 0时，？?(?加(0, g4?)上单调递增，在(1+-4? , +8)上单调递减;当0 < ?< 4时，？?(?京(-421,三产)上单调递增,在(0,匚野),(三卫，+8)上单调递减；当？? 4时，？?(?铀0,?+ 8上单调递减；(2)原式等价于(?- 1)?> ?ln? 2?- 1 ,?ln?+2?-1即存在？?> 1 ,使？?> ?-1一

43、成立.设？(?=?ln?+2?-1?-1贝 U? (?)=?-ln?-2(?-1) 2 ，设？(？)= ?- ln?2 2,则？ (?)= 1 - 1?= ?7> 0,?(?五(1,?+ 8：单调递增.又？(3) = 3 - ln3 - 2 = 1 - ln3 < 0, ?(4) = 4 - ln4 - 2=2- 2ln2 > 0,根据零点存在性定理，可知？(?)在(1,?+ 8)上有唯一零点，设该零点为？，贝U? e(3, ?4),且？(?)= ?- ln?3- 2= 0,即？- 2 = ln?3,?(?min?ln?0 +2?穴-1 _?T1=?+ 1,由题意可知？?>?+ 1 ,又？? (3, ?4), ?e ?整数？?勺最小值为5.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所 做的第一题计分。选彳4-4 :坐标系与参数方程【答案】解：(1)由？ + ? = (cos?+ v3sin?)2+ (sin?- v3cos?) = 4, 得曲线？2 + ? = 4.直线？极坐标方禾开为：23 ?cos?-? ； ?sin?= 2,故我直角坐标方程为 v3? ?- 4=0. (2)由(1)得直线？： v3? ?- 4 = 0, 令?= 0,则？勺坐标为(0,?-4),设过点？勺直