232等差数列的前n项和的性质和应用

1、等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式: :2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:复习回顾复习回顾 1. 1.将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数的函数，这个函数 有什么特点？有什么特点？2) 1(1dnnnaSn当当d00时时, ,S Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则则 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n

2、取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得113 133 211 1311 1022dd d=2113(1) ( 2)2nSnn n 214nn 2(7)49n 当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=20当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.则则Sn的图象如图所示的图象如图所示又又S3=S11所以图象的对称轴为所以图象的对称轴为31172n 7n113Sn等差数

3、列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由由100nnaa 得得152132nn a7+a8=0等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法4由由S3=S11得得当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.a4+a5+a6+a1

4、1=0而而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又又d=20a70,a80,d0时时,数列数列前面有若干项为正前面有若干项为正,此时所有正项的和为此时所有正项的和为Sn的最大值的最大值,其其n的值由的值由an0且且an+10求求得得.当当a10时时,数列前面有若干项为数列前面有若干项为负负,此时所有负项的和为此时所有负项的和为Sn的最小值的最小值,其其n的值由的值由an 0且且an+1 0求得求得.练习练习:已知数列已知数列an的通项为的通项为an=26-2n,要使此数列的前要使此数列的前n项和最大项和最大,则则n的值为的值为( )A.12 B.13 C.12或或13 D.14C

5、2.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列也在等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有性质性质2:若若Sm=p,Sp=m(mp),则则Sm+p=性质性质3:若若Sm=Sp (mp),则则 Sp+m=性质性质4:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中为中间两项间两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶n2d0nd1nnaa (m+p)性质性质4:(2)若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2

6、n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项), 此时有此时有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系性质性质6:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 性质性质5: 为等差数列为等差数列.nSnan1nn 2121nnST 例例1.设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若S3=9,S6=36,则则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27例例2.在等差数列在等差数列an中中,已知公差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99

7、=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例3.一个等差数列的前一个等差数列的前10项的和为项的和为100,前前100项的和为项的和为10,则它的前则它的前110项的和项的和为为 .3.等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例3.一个等差数列的前一个等差数列的前10项的和为项的和为100,前前100项的和为项的和为10,则它的前则它的前110项的和项的和为为 .例例3.一个等差数列的前一个等差数列的前10项的和为项的和为100,前前100项的和为项的和为10,则它

8、的前则它的前110项的和项的和为为 .3.等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例3.一个等差数列的前一个等差数列的前10项的和为项的和为100,前前100项的和为项的和为10,则它的前则它的前110项的和项的和为为 .3.等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例3.一个等差数列的前一个等差数列的前10项的和为项的和为100,前前100项的和为项的和为10,则它的前则它的前110项的和项的和为为 .3.等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例4.两等差数列两等差数列an 、bn的前的前n项和分项和分别是别是Sn和和Tn,且且71

9、427nnSnTn 求求 和和 . 55abnnab556463ab 146823nnanbn 等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例5.一个等差数列的前一个等差数列的前12项的和为项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为的项的和之比为32:27,则公差为则公差为 .例例6.(09宁夏宁夏)等差数列等差数列an的前的前n项的和项的和为为Sn,已知已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则则m= .例例7.设数列设数列an的通项公式为的通项公式为an=2n-7,则则|a1|+|a2|+|a3|+|a1

10、5|= .510153等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例8.设等差数列的前设等差数列的前n项和为项和为Sn,已知已知a3=12,S120,S13013a1+136d02437d 等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质(2) 11(1)2nSnan nd1(122 )(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn图象的对称轴为图象的对称轴为5122nd由由(1)知知2437d 由上得由上得51213622d1362n即即由于由于n为正整数为正整数,所以当所以当n=6时时Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.课堂练习课堂练习1.已知两个等差数列已知两个等

11、差数列an和和bn的前的前n项和分别为项和分别为An和和Bn，且，且 ，则使得，则使得 为整数为整数的正整数的正整数n的个数是（的个数是（ ）A2B3C4D5 7453nnAnBnnnabD2.已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若 ，且，且A、B、C三三点共线（该直线不过原点点共线（该直线不过原点O），则），则S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.201 1OaB 200OAaOC A3.已知数列已知数列an和和bn都是公差为都是公差为1的等差的等差数列，其首项分别为数列，其首项分别为a1、b1，且，且a1+b1=5，a1、b1N*设设cn= （nN*）,则数列则数列cn的前的前10项和等于（）项和等于（）A55 B70C85 D100nbaC练习练习4 4已知等差数列已知等差数列25,21,19, 25,21,19, 的前的前n项和项和为为Sn, ,求使得求使得Sn最大的序号最大的序号n的值的值. .练习练习5练习练习6：已知在等差数列：已知在