一次函数和正比例函数教育叙事

1、一次函数与正比例函数教育叙事西安市长安区五台中学 数学学科 刘群社在一次函数与正比例函数教学中，我是这样展开的：一、创设情境，引入新课师：同学们都知道龟兔赛跑的故事，哪位同学能讲一讲这个故事？生1：是一则寓言故事。很久以前，兔子和乌龟赛跑，兔子嘲笑乌龟爬的慢，乌龟说，总有一天他会赢.于是它们决定通过比赛来一决雌雄。确定了路线之后，它们就开始跑了起来.兔子一个箭步冲到了前面，并且一路领先，看到乌龟被远远抛在了后面，兔子觉得自己应该先在树下休息一会儿，然后再继续比赛.于是，它在树下坐了下来，并且很快睡着了.乌龟慢慢的超过了它，并且完成了整个赛程，当兔子醒来的时候乌龟已经到达终点了，乌龟无可争辩的当

2、上了冠军.师：同学们讲的太棒了！这个故事告诉我们，虚心使人进步，骄傲使人落后，我们要踏踏实实地做事情，不要半途而废，才会取得成功！师：同学们，在这个故事中就有函数问题，你能找出来吗？【学生活动】学生兴致很高，争先恐后的讲故事；接着思考问题，并寻找问题答案. 生2：若知道乌龟速度，则它所走的路程与时间之间的关系可以归结为函数问题. 生3：若知道兔子速度，则它所走的路程与时间之间的关系可以归结为函数问题. 生4：兔子休息时，则它所走的路程与时间之间的关系也可以归结为函数问题. 生5：知道比赛的路程，则乌龟与兔子所走的速度与时间之间的关系都可以归结为函数问题.师：同学们说的都很好.请完成下面问题.二

3、、合作学习，自主探究【自主探究】根据所给条件写出简单的一次函数关系式.师：请同学们完成下列题目的解答：（多媒体展示）1 某弹簧的自然长度为3cm,在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.【学生活动】学生理解题意，填写表格，写出函数关系式，并进行展示答案。【教师活动】教师巡视，指导学生解决问题，并对个别学习辅导。生：我们是这样理解的：（1）弹簧的自然长度为3cm；（2）两个变量：所挂物体的质量x，弹簧长度y；（3）所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5cm。生：我的小组答案是这样的：(实物投影展示答案).师：同学们完成的很棒！请接着完成下面的问题.【合作

4、探究】做一做2某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.(1)完成下表:(2)你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗?（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗?【学生活动】让学生独立思考理解题意，填写表格，并写出函数关系式，小组交流后选代表分享收获.【教师活动】教师巡视学生解决问题情况，并对个别学习指导.生：(1)原有油60升；6L； 50（3)第二问中两个变量：汽车行使路程x/千米， 油箱耗油量y（L）；第三问中两个变量：汽车行使路程x/千米， 油箱剩余油量z（L）； （2）汽车每行驶50千米耗油6升可知汽车每行驶1千米耗

5、油（4）耗油量y（L）等于汽车行驶路程x（km）与每行驶1千米耗油剩余油量z（L）等于原有油量60（L）减去已消耗油量.生：我的小组答案是这样的：（借助实物投影展示）6 L的积；50(2)y与x之间的关系式为 y?3x； 253x. 25(3)z与x之间的关系式为z?60?我们在写关系式的时候，将函数值单独写在等号的左边，将含有自变量的代数式写在等号的右边.【合作探究】一次函数的概念：师：同学们都解答的很好！现在请同学们仔细观察这几个关系式：y=3+0.5x、33y?x，z?60?x，它们都有什么共同点？ 2525【学生活动】积极观察，寻找共同点，并归纳一次函数的概念.生1：都是左边是函数值y

6、，右边是含自变量x的代数式.生2：自变量和函数值的指数都是一次.师：由此我们归纳出一次函数的概念：（板书）一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成ykxb(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数(x是自变量). 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数，即表示为 y=kx(k为常数，k0)的形式.师：一次函数与正比例函数之间有什么关系？生：正比例函数是一次函数的一种特殊情形, 一次函数包含了正比例函数.【温馨提醒】（1）等式左边是函数值y，右边是关于自变量x的整式；（2）自变量x的次数为1，系数不为0。【小试身手】了我们能更好的掌握一次函数与正比例函数的概念，我们来看下面的题目.

7、（多媒体展示）1.在函数(1)y=(6)y=3，(2)y=x-5，(3)y=-4x，(4)y=2x2-3x，(5)y=x1中是一次函数的是_,是正比例函数的是_. x-22.若函数y=(6+3m)x+4n-4是一次函数,则m,n应满足的条件是_；若是正比例函数,则m,n应满足的条件是_.3当k=_时,函数y=(k+3)xk2-8-5是关于x的一次函数.【学生活动】积极主动的解题，完成后进行代表讲解，校正答案.【教师活动】教师巡视学生的做题情况，对个别学习辅导；并对学生的讲解及时点评、鼓励，强调一次函数与正比例函数的概念的理解.尤其强调第（3）题的讲评,学生易忘记k+30的条件,而错误的将答案写

8、成±3.【设计意图】设计本部分，主要了解学生对知识的掌握情况和对知识的应用能力，以便查缺补漏，也使以后师生互动具有针对性.三、乘胜追击，讲解例题师：为了我们能更好的掌握一次函数与正比例函数的概念，我们来完成下面的题目.（多媒体展示）例1 写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?(1)汽车以60km /h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系；(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x( cm)之间的关系；(3)某水池有水15m3,现打开进水管进水，进水速度为5m3 /h，xh后这个水池内有水为ym3.【学生活动】认真分析题

9、意，列出函数表达式，通过小组交流讨论，学生口答，师生共同评析.教师板书示范：解(1):由路程=速度×时间,得y=60x，y是x的一次函数,也是x的正比例函数；2 (2)由圆的面积公式,得y=x，y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数；(3)这个水池每时增加5m3水, xh增加5xm3水,因而y=15+5x,y是x 的一次函数,但不是x的正比例函数.师：下面，我们来完成例2的解答.例2：我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500但低于5000元的部分征收3%的所得税?如某人某月收入3860元，他应缴个人工资、薪金

10、所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）.（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式；（2）某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？师：根据例1的做题经验，请先独立思考，再与同学讨论后，将答案展示在黑板上.【学生活动】学生认真分析题意，列出函数表达式，解答问题，然后小组交流讨论，学生展示答案，进行讲评.解：（1）当月收入大于3500元而小于5000元时，y=3%×(x-3500)，

11、即y=0.03x-105；（2）当x=4160时，y=0.03×4160-105=19.8(元)；（3）因为（5000-3500）×3%=45（元），19.245，所以此人本月工资、薪金收入低于5000元。设此人本月工资、薪金收入是x元，则19.2=0.03x-105，解得x=4140.即此人月工资、薪金收入是4140元.【教师活动】教师巡视学生的做题情况，并对个别学习辅导；并对学生的讲解及时点评、鼓励. 在例2中的(1)中,易错解为y=3%x.让学生应仔细审题,找准等量关系；(2)、(3)两问是给定自变量的值,求函数数值，这类问题的实质就是解方程.四、练习巩固，深化提高师：同学们都解决的很好！现在我们来巩固一下.1某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元。y是x的一次函数吗?是正比例函数吗？2甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发，以80千米/时的速度向丙地行驶.设x（时）表示火车行驶的时间，y（千米）表示火车与甲地的距离，y与x之间的关系：【学生活动】各组选派两名学生到各自黑板完成，其余同学自主完