数学方法求极值的问题

1、一、中值定理求极值一、中值定理求极值知识储备：若X+Y=定值，则当X=Y时，XY的乘积最大例例1、在游乐节目中，选手需借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳、在游乐节目中，选手需借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论如图所示，他们将选手简化为质量观看后对此进行了讨论如图所示，他们将选手简化为质量m60 kg的质点，选手的质点，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角53，绳的悬挂点，绳的悬挂点O距水面的高距水面的高度为度为H3 m不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够不考虑空气阻力和绳的质

2、量，浮台露出水面的高度不计，水足够深取重力加速度深取重力加速度g10 m/s2，sin530.8，cos530.6.若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳却认若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳却认为绳越短，落点距岸边越远请通过推算说明你的观点为绳越短，落点距岸边越远请通过推算说明你的观点二、三角函数求极值二、三角函数求极值知识储备：cossin22sinabbabatan)sin(cossin22其中a22ba b例2如图所示，在水平地面的A点以一定的速度v1与地面成角射出一弹丸，恰好垂直撞击到竖直壁上，欲使A点离竖直壁的水平

3、距离最大，应该为()A0B30 C45 D60强化练习如图所示，在圆锥形内部有三根固定的光滑细杆，强化练习如图所示，在圆锥形内部有三根固定的光滑细杆，A、B、C为圆锥底部同一圆周上的三个点，三杆为圆锥底部同一圆周上的三个点，三杆Aa、bB、cC与水平底与水平底面的夹角分别为面的夹角分别为60、45、30.每根杆上都套着一个小滑环每根杆上都套着一个小滑环(图图中未画出中未画出)，三个滑环分别从，三个滑环分别从a、b、c处由静止释放处由静止释放(忽略阻力忽略阻力)，用，用t1、t2、t3依次表示各滑环到达依次表示各滑环到达A、B、C所用的时间，则所用的时间，则()At1t2t3 Bt1t2t3Ct

4、1t3t2例3、木箱重为G，与地面间的动摩因素为，用斜向上的力F拉木箱，使之沿水平地面匀速前进，如图所示，问角为何值时拉力F最小？这个最小值是多少？ 强化练习：如图所示，一质量强化练习：如图所示，一质量m0.4 kg的小物块，以的小物块，以v02 m/s的初速度，在的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t2 s的时间的时间物块由物块由A点运动到点运动到B点，点，A、B之间的距离之间的距离L10 m已知斜面倾角已知斜面倾角30，物，物块与斜面之间的动摩擦因数块与斜面之间的动摩擦因数 .重力加速度重力加速度g取

5、取10 m/s2.(1)求物块加速度的大小及到达求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小；点时速度的大小；(2)拉力拉力F与斜面夹角多大时，拉力与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力最小？拉力F的最小值是多少？的最小值是多少？33三、配方法求极值三、配方法求极值知识储备：xyyxyx2)(222一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为 ；探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.(1)求此人落到坡

6、面时的动能；(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？ 221xhy 四、其他方法四、其他方法(解不等式）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具解不等式）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图如图)设拖把头的设拖把头的质量为质量为m，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数.重力加速度为重力加速度为g.某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为把，拖杆与竖直方向的夹角为.设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与

7、此时地板对拖设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为把的正压力的比值为.已知存在一临界角已知存在一临界角0，若，若0，则不管沿拖杆方，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动求这一临界角的正切向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动求这一临界角的正切tan0.（数学归纳法）如图所示，质量（数学归纳法）如图所示，质量M10kg、上表面光滑的足够长的木板、上表面光滑的足够长的木板在在F50N的水平拉力作用下，以初速度的水平拉力作用下，以初速度v05m/s沿水平地面向右匀速沿水平地面向右匀速运动现有足够多的小铁块，它们的质量均为运动现有足够多的小铁块，它们的质量均为m1kg，将一铁块无初，将一铁块无初速地放在木板的最右端，当木板运动了速地放在木板的最右端，当木板运动了L1m时，又无初速度地在木板时，又无初速度地在木板的最右端放上第的最右端放上第2块铁块，只要木板运动了块铁块，只要木板运动了L就在木板的最右端无初速度就在木板的最右端无初速度放一铁块（取放一铁块（取g10m/s2）试问：）试问：（1）第）第1块铁块放上后