数学归纳法(市公开课)

1、2.3数学归纳法 从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。 先生写一横，告诉他的儿子是先生写一横，告诉他的儿子是“一一”字；写两横，告诉字；写两横，告诉是个是个“二二”字；写三横，告诉是个字；写三横，告诉是个“三三”字。学到这里字。学到这里, ,儿子儿子就告诉父亲说：就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。我已经会了，不用先生再教了。”于是，于是，财主很高兴，把教书先生给辞退了。财主很高兴，把教书先生给辞退了。 有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。可是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说：可

2、是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说：“你不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸你不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸了，才刚刚写完三千横！了，才刚刚写完三千横！”讲故事讲故事归纳推理归纳推理：由由部分部分到到整体整体、由、由个别个别到到一般一般的推理的推理。情境导入情境导入, 11a*)(1Nnnan猜想：猜想：计算计算: :414=a?.1, 1,11nnnnnaaaaaa问：若问题：对于数列不完全归纳法不完全归纳法,717a验证验证: :,515a,616a逐一验证，不可能！逐一验证，不可能！情境导入情境导入,212a,313a后面是否成立？后面是否成立？看看

3、下面的动画对我们解决问题有什么启示？人体多米诺骨牌人体多米诺骨牌问：多米诺骨牌全部倒下，必须具备哪两个条件？问：多米诺骨牌全部倒下，必须具备哪两个条件？(1)(1)第一块骨牌倒下；第一块骨牌倒下； ( (2 2) )前一块倒下必导前一块倒下必导致后一块倒下。致后一块倒下。 条件条件(2)给出了一个递推关系，若给出了一个递推关系，若第第K K块倒下块倒下，则相，则相邻的邻的第第K+1K+1块也倒下块也倒下.课题探究课题探究 （1 1）第）第1 1块骨牌倒下。块骨牌倒下。(1)(1)当当n=1n=1时，验证猜想正确。时，验证猜想正确。（2 2）如果第）如果第k k块倒下时，块倒下时，一定能导致一定

4、能导致第第k+1k+1块也倒下。块也倒下。(2(2) )如果如果n=kn=k 时时猜想成立猜想成立 根据根据(1)(1)和和(2)(2)，可知不论有，可知不论有多少个骨牌都能全部倒下。多少个骨牌都能全部倒下。 根据根据(1)(1)和和(2)(2)，可知对所有的正，可知对所有的正整数整数n n，猜想都成立。，猜想都成立。）（*kN一定能推出一定能推出当当n=k+1n=k+1时猜想也成立时猜想也成立kak1111kak课题探究课题探究多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理通过通过有限有限个步骤的推理，个步骤的推理，证证n取所有正整数都成立取所有正整数都成立.1, 1,11nnnnaaaaa若对于数列

5、nan1求证：分析分析:正确。正确。,1111akak1111kak1(1)当当n=1时，时，(2)若若111a212a414a212a313a313a414a)(*Nn515a 两个两个步骤可推步骤可推出出 n 取所有正整取所有正整数都成立！数都成立！.1, 1,11nnnnaaaaa若对于数列*).(1Nnnan求证：证明证明:命题成立。命题成立。,1111=a,1kakkkaa1kk11111k1ka（依据）（依据）1(1)当当n=1时，时，(2)假设当假设当n=k 时，时， 命题成立命题成立,即即 当当n=k+1时，时， 既当既当n=k+1时，命题成立时，命题成立.*)(1成立Nnna

6、n由由(1)(2)知，知，归纳递推归纳递推（结论）（结论）验证验证n=n0 时时 命题成立命题成立方法归纳方法归纳 若若n = k ( k n 0) 时命题成时命题成立立 n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立 命题对所有的正整数命题对所有的正整数n ( n n 0)都成立。都成立。归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推两个步骤，两个步骤，一个结论。一个结论。结论结论小组讨论小组讨论 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1) (n N*) 1.当当n1时，左边时，左边= ；1+2+31+2+3+4+5 3.当当nk时，左边时，左边= .2.当当n2

7、时，左边时，左边= .1+2+(2k+1) 4.当当nk+1时，此时左边时，此时左边比比n=k时多了几项？时多了几项？ .1+2+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3) 当当nk+1时，左边时，左边= .(2k+2)，(2k+3)巩固练习巩固练习用数学归纳法证明用数学归纳法证明：21122221.nn(n N*).1, 1,11nnnnaaaaa若对于数列*).(1Nnnan求证：证明证明:命题成立。命题成立。,1111=a,1kakkkaa1kk11111k1ka（依据）（依据）1(1)当当n=1时，时，(2)假设当假设当n=k 时，时， 命题成立命题成立,即即 当当n=k+1时，时， 既

8、当既当n=k+1时，命题成立时，命题成立.*)(1成立Nnnan由由(1)(2)知，知，归纳递推归纳递推（结论）（结论）用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：证明：证明：当当n=k+1时时（2）假设当）假设当nk (k N*)时，等式成立，即时，等式成立，即（1）当）当n=1时，时，(n N*)左边左边=等比数列求和！等比数列求和！=右边，右边，即当即当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据根据(1)和和(2)可知，等式对任何可知，等式对任何n N*成立。成立。错解！错解！错因错因: :没有用到假设！没有用到假设！评讲练习评讲练习左边左边1，右边右边1，等式成立。等式成立。21122221n

9、n21122221kk211222k2k11 (1 2)1 2k121k能力提升能力提升问题：问题：*)nNn2讨论2 与n 的大小（n=1 2 n2计算当， ,8时2 与n 的值，比较它们的大小你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？注意：注意：在第一步中的初始值不一定从在第一步中的初始值不一定从1 1取起取起, , 证明应根据具体情况而定证明应根据具体情况而定. .,1221,2222,3223,4224,5225,6226,72272882 猜想：猜想：恒成立？时，当225nnn用数学归纳法证明，用数学归纳法证明，理解新知理解新知问题：问题：初始值初始值从从 取起取起. .5计算：计算：求证

10、：求证：).(25*2Nnnnn 时，当2,5225证明：证明：时，当5) 1 (n命题成立。命题成立。时，假设)5,()2(*kNkkn命题成立，命题成立，.22kk即时，当1 kn12k左边22 k22k,22k,12）（右边 k22) 1(2 kk) 12(222kkk122kk2) 1(2 k2420,) 1(221kk,1时即kn命题成立。命题成立。,)2)(1 (知由).(25*2Nnnnn 时，当 大于大于?222(1)kk证明目标证明目标课堂小结布置作业：布置作业：课时训练课时训练第第1919页页 第第1 1至至1010题题1.数学归纳法能够解决哪一类问题？数学归纳法能够解决哪一类问题？用于证明某些用于证明某些与正整数有关的与正整数有关的数学命题数学命题。2.数学归纳法证明命题的步骤？数学归纳法证明命题的步骤？(1)(1)证明当证明当n n取第一个值取第一个值( (初始值初始值) )时结论正确；时结论正确；(2)(2)假设当假设当n n取取k k时结论正确，推导时结论正确