数学归纳法证明不等式

1、 1.1.对于数学中与自然数命题有关的命题一般对于数学中与自然数命题有关的命题一般是不完全归纳法即合情推理得出结论，怎样来是不完全归纳法即合情推理得出结论，怎样来判断结论的正确性？判断结论的正确性？ 2.2.阅读教材中的多米诺骨牌游戏并回答：能阅读教材中的多米诺骨牌游戏并回答：能使所有的牌倒下的条件是什么？使所有的牌倒下的条件是什么？ 两个基本条件：两个基本条件： （1）要推倒第一块牌；）要推倒第一块牌； （2）第一块牌倒下能导致后一块牌倒下，）第一块牌倒下能导致后一块牌倒下， （连续性）（连续性） 思考:1数学归纳法的定义数学归纳法的定义2数学归纳法适用范围是什么数学归纳法适用范围是什么3数

2、学归纳法的步骤数学归纳法的步骤(原理原理)是什么是什么?4数学归纳法的步骤中关键及难点是什么数学归纳法的步骤中关键及难点是什么?阅读课文，思考下列问题阅读课文，思考下列问题: :1.数学归纳法定义：数学归纳法定义：l证明一个与正整数证明一个与正整数n有关的命题，可按下有关的命题，可按下列步骤进行：列步骤进行：l(归纳奠基归纳奠基)证明当证明当n取取 时时 命题成立命题成立l(归纳递推归纳递推)假设假设第一个值第一个值n0(n0N*)nk(kn0，kN*)时命题成立，时命题成立，证明当证明当nk1时命题也成立时命题也成立 只要完成这两步骤只要完成这两步骤, 就可以断定命题对从就可以断定命题对从

3、n0开始的所有正整数开始的所有正整数 n 都成立。都成立。 2.2.数学归纳法适用范围数学归纳法适用范围, ,主要用于研究与正整数有关主要用于研究与正整数有关的数学问题。的数学问题。 3.数学归纳法的关键与难点：数学归纳法的关键与难点： 在在“归纳递推归纳递推 ”中中, “证明当证明当n=k+1 时时命题也成立命题也成立”, 必须利用归纳假设必须利用归纳假设：“当当n=k(kn0, kN*时命题成立时命题成立”, 否则便不是否则便不是数学归纳法。数学归纳法。 应用数学归纳法时特别注意：应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与用数学归纳法证明的对象是与 有关的有关的命题命题(2

4、)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可可正整数正整数nl分析按照数学归纳法的步骤证明，在由nk到nk1的推证过程中应用了放缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一证明(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立l (2)假设当nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.l 由归纳假设知，上式能被a2a1整除，故当nk1时命题

5、也成立l 由(1)，(2)知，对一切nN*，命题都成立l 例例3求证：求证：an1(a1)2n1能被能被a2a1整除，整除，nN*，aR.l 例例4平面内有平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成个圆将平面分成n2n2(nN*)个区域个区域l 分析本题关键是弄清第k1个圆与前k个圆的交点个数，以及这些交点又将第k1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的l 证明(1)当当n1时，时，1个圆将平面分成个圆将平面分成2个区域，个区域，命题显然成立命题显然成立l (2

6、)假设当假设当nk(kN*)时命题成立，即时命题成立，即k个圆将个圆将平面分成平面分成k2k2个区域则当个区域则当nk1时，第时，第k1个圆交前面个圆交前面k个圆于个圆于2k个点，这个点，这2k个点将第个点将第k1个圆分成个圆分成2k段弧，每段弧将各自所经过的区段弧，每段弧将各自所经过的区域一分为二，于是增加了域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这个区域，所以这k1个圆将平面分成个圆将平面分成k2k22k个区域，即个区域，即(k1)2(k1)2个区域，故当个区域，故当nk1时，命题也时，命题也成立成立l 由由(1)、(2)可知，对一切可知，对一切nN*，命题都成立，命题都成立l例5是否存在常

7、数是否存在常数a，b，c使等式使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对一对一切正整数切正整数n成立？证明你的结论成立？证明你的结论l分析先取n1,2,3探求a，b，c的值，然后用数学归纳法证明对一切的nN*，a，b，c所确定的等式都成立例例4、已知、已知x 1，且，且x 0，n N，n 2求证：求证：(1+x)n1+nx.（2）假设）假设n=k时，不等式成立，即时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx当当n=k+1时，因为时，因为x 1 ，所以，所以1+x0，于是，于是左边左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右

8、边右边=1+(k+1)x因为因为kx20，所以左边右边，即，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当这就是说，原不等式当n=k+1时也成立时也成立根据根据(1)和和(2)，原不等式对任何不小于，原不等式对任何不小于2的自然数的自然数n都成立都成立.证明证明： （1）当）当n=2时，左时，左(1x)2=1+2x+x2 x 0， 1+2x+x21+2x=右右 n=1时不等式成立时不等式成立l1用数学归纳法证明12(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是()lA1 B13lC123 D1234l解析当n1时，2n12113，所以左边为123.故

9、应选C.练习:l解析当n1时，n34，l所以等式左边为1234.l 5用数学归纳法证明某个命题时，左边为用数学归纳法证明某个命题时，左边为12342345n(n1)(n2)(n3)，从从nk到到nk1左边需增加的代数式为左边需增加的代数式为_l 解析当nk时，左边12342345k(k1)(k2)(k3)l 当nk1时，左边12342345k(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k4)，所以从nk到nk1左式应增加(k1)(k2)(k3)(k4)(2)数学归纳法证明整除问题：数学归纳法证明整除问题：例例1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明: 当当n为正偶数时为正偶数时,xn-yn

10、能被能被x+y整除整除.证证:(1)当当n=2时时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被即能被x+y整除整除,故命故命 题成立题成立.(2)假设当假设当n=2k时时,命题成立命题成立,即即x2k-y2k能被能被x+y整除整除.则当则当n=2k+2时时,有有kkkkyyxxyx22222222)()()()(2222222222yxyxyyxxyxyyxxkkkkkk 都能被都能被x+y整除整除.)()(2222yxyxyyxxkkk、故故x2k+2-y2k+2能被能被x+y整除整除,即当即当n=2k+2时命题成立时命题成立.由由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立知原命题对一切正偶数均

11、成立.例例2、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明: 能被能被8 整除整除.)( 1325*1NnAnnn证证:(1)当当n=1时时,A1=5+2+1=8,命题显然成立命题显然成立.(2)假设当假设当n=k时时,Ak能被能被8整除整除,即即 是是8的倍数的倍数.13251kkkA那么那么:) 13(45) 13(4) 1325(5132511111kkkkkkkkAA因为因为Ak是是8的倍数的倍数,3k-1+1是偶数即是偶数即4(3k-1+1)也是也是8的倍数的倍数,所以所以Ak+1也是也是8的倍数的倍数,即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、(2)知对一切正整数知对一切正整数n

12、, An能被能被8整除整除.例例3、求证、求证:x3n-1+x3n-2+1能被能被x2+x+1整除整除.证证:(1)当当n=1时时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立从而命题成立.(2)假设当假设当n=k时命题成立时命题成立,即即x3k-1+x3k-2+1能被能被 x2+x+1整除整除则当则当n=k+1时时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1= x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1)因为因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被都能被x2+x+1整除整除,所

13、以上式右边能被所以上式右边能被x2+x+1整除整除.即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,命题成立命题成立.例例6、平面内有、平面内有n (n 2)条直线，任何两条都不平行，任何条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数三条不过同一点，问交点的个数 为多少为多少?并证明并证明.)(nf2)1()( nnnf当当n=k+1n=k+1时：第时：第k+1k+1条直线分别与前条直线分别与前k k条直线各交于条直线各交于一点，共增加一点，共增加k k个点，个点，由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切nNnN原命题均

14、成立。原命题均成立。证明：证明：1 1）n=2n=2时：两条直线交点个数为时：两条直线交点个数为1,1, 而而f(2)= f(2)= 2 2(2-1)=1, (2-1)=1, 命题成立。命题成立。 21 k+1 k+1条直线交点个数条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), 即当即当n=k+1n=k+1时命题仍成立。时命题仍成立。212121212 2）假设）假设n=k(kNn=k(kN,k2,k2) )时，时，k k条直线交点个数为条直线交点个数为 f(k)= k(k-1),f(k)= k(k-1),21(3)数学归纳法证明几何问题：数学归纳法证明几何