刚体的平面运动动力学课后复习资料

1、刚体的平面运动刚咻的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。 本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和 加速度。一、刚体的平移平动刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，那么称该刚体作平移或平动。平移刚体上各点的速度一样，加速度一样，运动轨迹的形状也一样。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。二、刚体的定轴转动刚体在运动过程中，假设其上或刚体的延展体上有一直线保持不动，且刚 体绕此直线转动，那么称该刚体作定轴转动1234定轴转动刚体的运动方程： 定轴转动刚体的角速度： 定轴转动刚体的角加速度：f(t)

2、f(t)f(t)定轴转动刚体上一点P的速度和加速度用矢量表示速度： v r 7-1加速度：a at anr v 7- 2其中：，为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r是由转轴上任一点引向 P点的矢径。三、刚体的平面运动刚体在运动过程中，假设其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，那么称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内 的运动。1、刚体平面运动的角速度和角加速度在平面图形上任取两点A、B,过这两点的连线某一基准线的夹角为如图7-2当刚体运动时这个夹角将随时间变化（t），刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为：7-42、刚体平面运动的运动方程平面运动刚

3、体有三个自由度，其运动方程为：XA fi（t）, yA f2（t）,f3（t） 7 5其中：A点称为基点如图7-3所示。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平移和绕基点转动的合成，而刚体的平面平移c，其中c为常量和定轴转动Xa 5 Q,其中G,C2为常量又是刚体平面运动的特殊情况。图7 2同一平面运动刚体，假设选取得不同的基点，那么基点的运动方程会有所不同， 刚体绕不同基点转过的角度只相差一个常量，因此刚体的角速度和角加速度与基点 的选取无关，根据平面运动刚体角速度、角加速度的定义7 3式和7 4式也可得到这一结论。3、平面图形上各点的速度基点法公式：Vb Va Vba 7 6基点法公式建立了

4、平面图形上任意两点的速度与平面图形角速度的关系。速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即：VA AB VB AB7 7该定理反映了刚体上任意两点间距离保持不变的性质。速度瞬心法：只要平面图形的角速度不为零，就必定存在唯一的一点，其速度 在该瞬时为零，该点称为平面图形的速度瞬心，用 cv表示。平面图形上任一点 M的 速度可表示成VMrCvM 7 8其中：rCvM是从速度瞬心cv引向M点的矢径， 为平面图形的角速度矢量。4、平面图形上各点的加速度基点法公式：tn匕、aB aA aBA aBA 7一 9其中：aBAAB, aBA( rAB)。基点法公式建立了平面图形上任意两

5、点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不 同时为零，那么其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图 形的加速度瞬心，用G表示。3 3取套筒B为动点，0A杆为动系根据点的复合运动速度合成定理VaVeVr可得：vacos30°VeV BVBCVal，2.3 ,l3研究AD杆，应用速度投影定理有:COS300， Vd 4-3 l3VaVd再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理VDVBCVDr将上式在X轴上投影有：VdVbcVDr，VDrVDVBC3-4 AB构件灰色物体作平面运动，A点的速度vA0O1A 450c

6、m / sAB的速度瞬心位于 C,应用速度瞬心法有:AB空 3rad/sAC 2VbAB BC设OB杆的角速度为，那么有VbOB15rad/s设P点是AB构件上与齿轮I的接触点,VbVa Vba该点的速度:VPABCP齿轮I的角速度为：匹 6rad/sA将上式在AB连线上投影，可得Vb0,OlB因此,Va 1ABAB因为B点作圆周运动，此时速度为零,因此只有切向加速度方向如图根据加速度基点法公式taBaA aBAnaBA将上式在AB连线上投影,可得aB cos600OiBaBO1Ba aaBA， aB 2.5320瞬时针2or3-7 齿轮II作平面运动，取A为基点有taBaA aBAtaa1a

7、BAnaBAnaBA将上式在x投影有:a cosainaBA由此求得:a1 a cos'2r2'2yaxtanaO2aO2A再将基点法公式在 y轴上投影有：tasinaBAII2r2由此求得a sin"2r2再研究齿轮II上的圆心，取A为基点tntnao2ao2a aa o2a aO2AII将上式在y轴上投影有由此解得:t02taO2Aasi n°1。2再将基点法公式在由此解得：naO2又因为aO2 (r1由此可得：O1O2taO2asi nAr22(r1r2)nnx轴上投影有：aO2 a1 aO2Aacosa12 ,r2 )O1O2a cos a12( r

8、ir2)3-9卷筒作平面运动，C为速度瞬心，其上D点的速度为V ,卷筒的角速度为:角加速度为:卷筒0点的速度为:0点作直线运动，其加速度为:研究卷筒，取 0为基点,求B点的加速度。aB a0ta bona B0将其分别在x,y轴上投影taBxaoaBoaByna boaB2 2 Bx aByDC RvRvRaRR 2 . 4a2(R r)2 v4(R r)同理，取0为基点，求C点的加速度。Btnacaoacoaco将其分别在x,y轴上投影acxaoacacyacO 0 acyRv2naco3- 10 图示瞬时,VbVaAB杆的角速度:(R r)2AB杆瞬时平移,因此有:OA2m/sAB 0圆盘

9、作平面运动，速度瞬心在 的角速度为：P点，圆盘的vBb - 4m/s r圆盘上C点的速度为：vcBPC 2 2m/sAB杆上的A、B两点均作圆周运动，取 A为基点根据基点法公式有aAta BA将上式在x轴上投影可得: 因此：taBaBnaB2Vb28m/s由于任意瞬时，r圆盘的角速度均为:Vbr将其对时间求导有：V-BrtaB由于a-0，所以圆盘的角加速度圆盘作平面运动，取 B为基点，根据基点法公式有:actnnaB a CB aCB aB a CBacJ(aB)2 (aCB)2W2m/s2C3 - 13滑块C的速度及其加速度就是 DC杆的速度和加速度。AB杆作平面运动，其速度瞬心为P,AB杆

10、的角速度为：abA 1rad/sAP杆上C点的速度为： AB PC 0.2m/s取AB杆为动系，套筒 C为动点,根据点的复合运动速度合成定理有：ar其中：e c,根据几何关系可求得:ar仝m/s15AB杆作平面运动，其 A点加速度为零,B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知tntnaB aA aBA aBA aBAaBA由该式可求得DaBna BA0sin 3020.8m/s由于A点的加速度为零,AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布,AB杆中点的加速度为:2ac 0.5aB 0.4m/s再取AB杆为动系，套筒 C为动点，根据复合运动加速度合成定理有：a a ae ar a K其中：

11、aK表示科氏加速度；牵连加速度就是 将上述公式在垂直于 AB杆的轴上投影有: 科氏加速度aK 2 AB r，由上式可求得:aa- m/s2a 33-14 :取圆盘中心Oi为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。由速度合成定理有:Va Ve Vr速度图如图A所示。由于动系平移，所以 Ve U ,根据速度合成定理可求出：Ve云veV01 Va. 3u, vr 2utansin由于圆盘O在半圆盘上纯滚动，圆盘 O相对半圆盘的角速度为:v 2ur r由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。再研究圆盘，取 O为基点根据基点法公式有:0

12、0VBy VoiVbo1 COS3002 3uVbxVbo1 s in 30 rsin30 uO 图AO 图B为求B点的加速度，先求 O1点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心O1为动点，半圆盘为动系，根据加速度合成定理有ntaa ae arara其加速度图如图C所示，a：nVru2将公式a在X和y轴上投影可得:tnx :0 ar sinar costn .y:aa ar cosasina；3u2rrP3 22 2由此求出：a；, aa aq 丄，圆盘的角加速度为:rrF面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象,为基点，应用基点法公式有:；naBaQaBO1aBO1b将b式分别在x,y轴上投影

13、:n0 t0aBxa bocos 30a bosin 30aByn0 t0a o a bo1 si n30aBo1 cos30其中:na bo4u2；.3u2a borr2由此可得：aB 、37Ur3 - 15 b取BC杆为动系瞬时平移套筒A为动点匀速圆周运动根据速度合成定理有：Va Ve Vr由上式可解得：0<3Ve Va tan 30r3因为BC杆瞬时平移，所以有：Vcd Ve r33 - 15 d 取BC杆为动系平面运动，套筒A为动点匀速圆周运动。BC杆作平面运动，其速度瞬心为P,设其角速度为根据速度合成定理有：VaBC丿VeD "刃VBCVa Ve Vr根据几何关系可求

14、出：6P 8，CP16r3acvaxvexVrxVrO2PBCVayVeyVryVeyO2ABC由此解得：BC1,Vr2(-)r432DC杆的速度4VcCPBCr3将速度合成定理公式在x,y轴上投影：:3-16(b) BC杆作平面运动，根据基点法有taC aB aCBnaCBtn tna B aBaCBaCB由于BC杆瞬时平移,BC0,上式可表示成：actnaC aB a BtaCB将上式在铅垂轴上投影有0由此解得:naBa；B sin 300BC再研究套筒naBA,取BC杆为动系平面运动，套筒A为动点匀速圆周运630°BOtaBaA aa ae ar aK(a)J aC其中：无为科

15、氏加速度，因为 AB 0,所以无 0nt动点的牵连加速度为：ae aC aeC aeC由于动系瞬时平移，所以0 , VcBC ACt牵连加速度为ae aC aeC, 那么(a)式可以表示成taA aa aCaeCar将上式在y轴上投影:aA cos30°aC cos30°由此求得：aeCac(12 3)3 - 16(d)取BC杆为动系，套筒 动点A的牵连加速度为A为动点,tae aC aACnaAC动点的绝对加速度为taaaCa ACnaACaraK其中aK为动点A的科氏加速度。将上式在y轴上投影有aa cos300aC cos30°ta AC aKD “打八aB

16、CyO2Bl/ZAMnaACta ACaaar上式可写成2r cos30aC cos30°BC AC 2BC Vr其中:BC见3- 15d再取,VrBC为BC杆的角加速度。BC杆上的C点为动点，套筒 。2为动系，由加速度合成定理有aaC其中a'eactaga'e a'r a'Kna22 ?上式可表示为tna'r a'KacaCO2aCO2将上式在y轴投影有:aC cos300aCO2a' K该式可表示成:aC cos300BC CO22 BC VC sin 30联立求解(a),(b)可得acIar2aCBCox. n,円。2aK

17、/ yV77771ac4.32r,BC-3 2"8"3- 17 AB杆作平面运动，其速度瞬心位于 P, 可以证明：任意瞬时，速度瞬心 P均在以0为 圆心，R为半径的圆周上，并且 A、0、P在同 一直径上。由此可得 AB杆任何时刻的角速度均ABVAAPVa2R杆上B点的速度为:VbAB PBAB杆的角加速度为：ABABAP 0取A为基点，根据基点法有ntnaB aA aBA aBA aA aBA将上式分别在x,y轴上投影有aBxaByaBa ba cos 452Va4Rn a i-0aA aBA sin 453v4R2aByj10vA4R03VD axVDe VdS in30

18、r203VD ayVDr cos 30r2求加速度：研究C点有acacaaceaCracK将上式分别在x,y轴上投影可得由于BD杆相对动系平移，因此 Vs VDr将上式在y轴投影有0 aCe sin 30° aCr cos30°aCK sin 30°由此求得aCr 3 r再研究D点a D a Da a De aDr aDK由于BD杆相对动系平移，因此aCraDr将上式分别在x,y轴上投影有009 2aDaxaDr sin 30aDK cos 30r2003 32aDaya Dea Drcos 30aDKsin 30r2FsFn3-21由于圆盘纯滚动，所以有 aC

19、r根据质心运动定理有：mac F cos Fs0 Fn F sin mg根据相对质心的动量矩定理有m 2Fsr Fr。求解上式可得：Fr(rcosr°)aC22m(r ), Fn mg F sinF F( 2cosrr°)FS22r假设圆盘无滑动，摩擦力应满足FSfFN，由此可得:当：mg Fsi n 时，f F( 2 cosrro)fT2 乞f min(mg F sin )(r)3-22 研究AB杆，BD绳剪断后，其受力如下图,由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知AB杆质心C的加速度铅垂。由质心运动定理有：mac mg Fan根据相对质心的动量矩定理有:-ml2

20、12ABFan § cos刚体AB作平面运动，运动初始时，角速度为零。A点的加速度水平，AB杆的加速度瞬心位于 有运动关系式laCAB 2COS求解以上三式可求得：匚2Fanmg53-25设板和圆盘中心O的加速度分别为P点。7777777777777777777777777777ai,a。,圆盘的角加速度为，圆盘上与板的接触点为A，那么A点的加速度为tna a ao a ao a ao将上式在水平方向投影有taAx aoaAoaoRaia取圆盘为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有m? a。F2应用相对质心动量矩定理有(b)2N2-m2R2F2R2 2 2(c)再取板为研究对象，受

21、力如图，应用质心运动定理有mF FS F2作用在板上的滑动摩擦力为：Fs fFNf (m- m2)g由(b) (c) (d) (e)联立可解得：小 3F 3f (mi m2)gai3g m2(d )(e)F2rTFs|m-gFn3 29解：由于系统在运动过程中，只有AB杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。系统运动到一般位置T2 2其中：21 .m1vC2 JC2AB122m2VA1ja aAB,Vclj2VaabI sinl sin7时，其动能为AB杆的动能与圆盘A的动能之和:AVaI sinRPABRVA舁c因此系统的动能可以表示成:1 lmi 2 2m 2- m2(l

22、 sin2 12 2)221 mR l sin2 2RmJ2 263 2 22m2l sin4系统从450位置运动到任意角位置，AB杆的重力所作的功为：W1 2 m1g -(sin45° sin )2根据动能定理的积分形式T2 X W 2初始时系统静止，所以 T1 0，因此有12 232 22l0m1lm2lsinmg (sin 45sin )64277777777777777777777777/1m1l23 13.2mJ2 2sin23m2l2 32 2l sin cosm1g cos心2将上式中消去可得：如丿23.2m2lsin23m2l2 2 cos sinmg 1 cos32

23、22根据初始条件0,4505可求得初始瞬时AB杆的角加速度 ：将上式对时间求导可得：3.2m1 g(4 mi 9m2)l因为 0，所以AB杆的角加速度为顺时针。初始瞬时 由此可求出ABAB杆的角速度为零，此时 AB杆的加速度瞬心在Ca点,杆上A点的加速度:aAabIsI n450l cos45°3gg(4叶 9m2)3-33设碰撞后滑块的速度、AB杆的角速度如下图根据冲量矩定理有:mhvAm2vcl(a)其中：Vc为ab杆质心的速度,根据平面运动关系有lVc Vaab(b)再根据对固定点的冲量矩定理：LaMa(I)系统对固定点 与铰链A重合且相对地面不动的点 的动量矩为滑块对 A点的

24、动量矩和 AB杆对A点的动量矩, 由于滑块的动量过A点，因此滑块对 A点无动量矩,AB杆对A点的动量矩也是系统对A点的动量矩为:La m2Vc 2gml2 ab2 12将其代入冲量矩定理有:l 12m2VC 212 m2l AB 11由a,b,c三式求解可得：2IVa9m2（滑块的真实方向与图示相反）(c)3-34研究整体，系统对 A轴的动量矩为:L A La（aC）La（bc）其中：AC杆对A轴的动量矩为LA(AC)1ml2 AC设C1为BC杆的质心，BC杆对A轴的动量矩为L A( BC )mVC1'VCiVCVCiC1 ml12bcl AC 2 BC根据冲量矩定理La 2ll可得:

25、CVC1bc111ml26AC5ml26BC211a再研究BC杆，其对与C点重合的固定点的动量矩为LcmvdP2BC1ml2AC3ml2BC根据冲量矩定理a2ml2 AC11有：5ml2 BCIIb联立求解a，(b)可得AC617ml22.5rad/s3 - 35碰撞前，弹簧有静变形stmgk第一阶段：m3与m1通过完全塑性碰撞后一起向下运动,不计常规力，碰撞前后动量守恒，因此有:(m1m3 )v m3. 2gh碰撞完毕时两物体向下运动的速度为2gh2第二阶段：m3与m1 一起向下运动后再回到碰撞完毕时的初始位置，根据机械能守恒可知：此时的速度向上,大小仍然为v2gh第三阶段： 讥与m1 一起

26、上升到最高位置，此时弹簧被拉长。根据动能定理T2 T1W1 2有:10 2(m12m3 )v上式可表示成:mghmgm2g2 k 2 3m2g22mg()2k2k22k2mgk 22mgmgh 8mg假设使m2脱离地面，弹簧的拉力必须大于其重力，因此有k将k代入上式求得：kmg h 8mg假设 k ，那么k注：上述结果是在假设 m3与mi始终粘连在一起的条件下得到的，假设m3与mi之间没有粘着力,h 9mg答案应为k ，如何求解，请思考。3-36取AB杆为研究对象，初始时，杆上的 杆上A点的速度A点与水平杆上的0点重合，当t 0时系统静止,t 0 AB为V，角速度为，初始时受到冲击力的作用，应

27、用对固定点1 2LO mvCl m(2l)2012其中：vc VA l V l由此解得：3v41当t 0时，滑块a以加速度a向右运动，取AB杆为研究对象，应用相对动点A的动量矩定理有：O的冲量矩定理可得1m(2l )2b mgmal cos mgl sin将上式积分并简化可得:2l 2 asin gcos C3其中C是积分常数由初始条件0,确定出3v2上式可表示成l 2 asin3g cosN g f()81假设AB杆可转动整圈， 整圈转动。下面求 f ()那么应有0，因此f()0。假设f()的最小值大于零，那么AB杆就可以完成的极值。f ( ) a sing cos3v2&将上式求导

28、令其为零有f'( ) acosag sin0求得极值点为:函数当函数tansinJa2f ()取最大值2，COsga2sina,cos/ 2 2a gf ()取最小值，假设使最小值大于零,gr22a g ，那么有2i32a2 2a g2g a2c 23v22g . a g8l3v281由此求得：3v28l(g a2g2)思考题与习题刚体的平面运动7- 1平面运动刚体如下图,哪种运动情况是可能的?VAaWa I Wb |,0baAaAaB,0AaAb0eaAaBf0aBaA7-2如下图圆盘在地面上纯滚动, 侧的任意一点且不在铅垂直线上dVp 0题7- 1图圆盘中心的速度为u常量，设P为圆盘左半 ，假设Vp为该点速度的大小，那么：dVpAOACBAAXL7-3R=nr7-4杆B