必修四向量数乘运算及其几何意义

1、1.1.向量向量加法加法三角形法则三角形法则: :aAbBCba aaAbBbOCba 特点特点: :首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连特点特点:同一起点同一起点,对角线对角线b a b Ba ABAab O特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减向量共起点，连终点，方向指向被减向量2.2.向量向量加法加法平行四边形法则平行四边形法则: :3.3.向量向量减法减法三角形法则三角形法则: :思考：思考：已知非零向量已知非零向量 ，作出，作出 和和 ， 你能说明它们的几何意义吗？你能说明它们的几何意义吗？ aaaa()()()aaa aOaaaABC3aPQaMaNa3a3a与与a方向相同方向相同

2、|3a|=3|a|-3a与与a方向相反方向相反 |-3a|=3|a| 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一个的积是一个向量向量，这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向，它的长度和方向规定如下：规定如下：aa| |;aa（1 1）（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相同相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相反相反。aa0aa0特别的，当特别的，当 时，时，00.aa)2(3a)2(3aa6=aa)()( aaaaaa5a5aaa5a2a5a2aaa5a2a3a5a2a3aaa5a2a3a5a3a

3、2a(23)23aaaaaa )(abbaba22 a2b2baba22)(2baba )(设设 为实数，那么为实数，那么, 特别的，我们有特别的，我们有()()(),(). aaaabab 向量的加、减、数乘运算统称为向量的向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算线性运算.对于任意对于任意向量向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒有，恒有a b 、12、 、1212abab （）=运算律：运算律： aa 结合律结合律 aaa 第一分配律第一分配律 baba 第二分配律第二分配律仍是向量仍是向量例例1.计算：计算：( 3) 4 ;3()2();(23)(32).aababaabcabc(1

4、)(2)(3):思考?,),0() 1 (位置关系如何则若baaab(2)/ / (0),?ba ababa 若且=则是否成立-12a5b- +5 -2abc/ba成立成立向量共线定理：向量共线定理：0.),(,ababa向量与 共线 当且仅唯一一个当有实数使abab即 与 共线ba(0)a 例例2. .如图：已知如图：已知 ， ，试判断，试判断 与与 是否共线是否共线 ABAD 3BCDE3 ACAEABDECBCAB 33BCAB3AC 3 与与 共线共线 AEACDEADAE 解解：例例3.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作a b 、2 ,3 .OBab OCab

5、 ,OAab 你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCOab2b3bABCO方法小结方法小结:例例4.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M，且，且 ，你能用，你能用 、 来表示来表示 。,ABa ADb abMA MB MCMD 、 、和和ABDCMab小结小结:书本书本P91，A组，组，9,10 B组组,3设是两个不共线的向量，设是两个不共线的向量，若，若A、B、D三点共线，求三点共线，求k的值的值.12122,3 ,ABeke CBee 12,e e 122CDee 书本书本P92，A组，组，12、13 （提示：连结（提示：连结AC）1