因式分解知识点归纳[精选.]

1、因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法:ma mb mc m(a b c)(2)运用公式法：平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)；完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)(3)十字相乘法：2x (a b)x ab (x a)(x b)因式分解的一般步骤：(1) 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2) 提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘 法;(3) 对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根 公式法。(4) 最后考虑用分

2、组分解法5、同底数幂的乘法法则：amgan am n( m,n都是正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单 项式。如：(a b)2ga b)3 (a b)56、幂的乘方法则：(am)n amn ( m,n都是正整数)幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(35 )2 310幂的乘方法则可以逆用：即amn (am)n (an)m 如：46 (42)3 (43)27、 积的乘方法则：(ab)n anbn( n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。32、553、52、5515 10 5如：(2x y z) =( 2) ?(x ) ?(y ) ?z 32x y z8同底数幂的除

3、法法则：am an amn( a 0,m,n都是正整数，且m n) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4 (ab) (ab)3 a3b39、零指数和负指数;a0 1，即任何不等于零的数的零次方等于10,p是正整数)，即一个不等于零的数的p次方等于这个数的P次方的倒数如: 23(2)310、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，贝y连同它的指数作为 积的一个因式。注意: 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因

4、式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：2x2y3z?3xy11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即 m(a b c) ma mb mc(m,a,b,c者E是单项式 )、卜I亠、卜: 注意: 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：2x(2x 3y) 3y(x y)12、多项式与多项式相乘的法则;多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项， 再把所的的积相加。如.

5、(3a 2b)(a 3b) :(x 5)(x 6)三、知识点分析：1. 同底数幕、幕的运算:（m，n都是正整数）.（）（m， n都是正整数）.例题1.若2a64，则；若 27 3n ( 3)8，则例题2.若52125，求(x 2)2009 x 的值。2y 3 n 2y x 2练习1若 a2n 3，则 a6n=.2. 设481,且9271,则等于2. 积的乘方()(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例题1.计算：n m3 Pm n np 4 m3.乘法公式平方差公式：ab a2 2b a b完全平方和公式：ab 2 a2 2abb2完全平方差公式：ab 2

6、a2 2abb2例题1.利用平方差公式计算：2009X 2007- 20082例题2.利用平方差公式计算：2-2007.200722008 20063. ( a 2b+ 3c d) (a+ 2b- 3c d)考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因 式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算1、 下列从左到右是因式分解的是()A. x() B. x2-1 2=(1)(1) 2C. x 2-仁(1)(1)D.()2、 若4a2 kab 9b2可以因式分解为(2a 3b)2，贝卩k的值为3、已知a为正整数，试判断a2 a是奇数还是偶数？4、已知关于X的二次三项式

7、x2 mx n有一个因式(x 5)，且17,试求m, n的值考点二提取公因式法提取公因式法：ma mb mc m(a b c)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数2、字母是相同字母3、字母的次数-相同字母的最低次数习题1、将多项式20a3b2 12a2bc分解因式，应提取的公因式是()A、B 、4a2b C、4ab D、4a2bc2、已知(19x 31)(13x 17) (13x 17)(11x 23)可因式分解为(ax b)(8x c)，其中 a， b，c均为整数，则等于()A -12、-32、38 D 、723、

8、分解因式(1) 6a(a b) 4b(a b)(2) 3a(x y) 6b(y x)(3) xn(4) ( 3)2011 ( 3)20104、先分解因式，在计算求值(1) (2x 1)2 *(3x 2) (2x 1)(3x2)2x(1 2x)(3x 2)其中1.56、若ab2 1 0，用因式分解法求ab(a2b5 ab3 b)的值7、已知 a, b, C 满足 ab abbcbccaca3，求(a 1)(b 1)(c 1)的值。(a, b, c都是正整数)考点三、用乘法公式分解因式平方差公式 a2 b2 (a b)(a b)运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号

9、相反习题1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A x2 4y2B2 2 2 2、x 2y 1 C、x4yD、x2 4y22、分解下列因式(1)3x2 122(2)(x 2)( x 4) x 422(3) (x y) (x y)(4) x3 xy22(5) (a b) 1(6) 9(a b)230(a2 b2) 25(a b)2(7)2009 201120102 13、若n为正整数，则(2n 1)2 (2n 1)2一定能被8整除完全平方式a2 2ab b2 (a b)2运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首 尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的

10、符号正 负均可。习题1、在多项式x2 2xy y2x2 2xy y2x2 xy+y24x2 1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（(4)2 2(2x 3) (x 3)2(5) 8x y 8xy 2y(6)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y 42 2(7) 4x 129y 463A、B、 C、D、2、下列因式分解中，正确的有（)4a a3b2a(4a2b2) x2y 2xy xyxy(x 2)a ab ac a(ab c)29abc 6a b 3abc(32a) |x2y |xy2|333xy(x y)A 0个B、1 个 C 、2个 D、5个3、如果x2 2(m3)x16是一个完

11、全平方式，那么m应为（）A-5 B 、3C 、7 D、7 或-14、分解因式(1)mx2 4mx :2m(2)2a2-4a2x3 2x2 x5、已知 a b 2x px q x a b x ab x a x b例题讲解1、分解因式：x2 5x 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有 2X 3AV的分解适合，即2+3=51 2解：x2 5x 6 = x2(2 3)x 2 313=(x 2)(x 3)1X 2+1 X 3=5, ab 2，求 2a3b a2b2 1ab36、证明代数式x2

12、y2 10x 8y 45的值总是正数7、已知a, b, C分别是ABC的三边长，试比较(a2 b2 c2)2与4a2b2的大小考点四、十字相乘法2(1)二次项系数为1的二次三项式X px q中，如果能把常数项q分解 成两个因式a、b的积，并且a b等于一次项系数p的值，那么它 就可以2把二次三项式x px q分解成用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因 数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解2、分解因式：x2 7x 6(4) x2 x 2(5)y2 2y 15x210x 242、二次项系数不为条件：（1） a时2（2） c c1c21的二次三项式ax2 bx ca1a2

13、C1C2解：原式=x2 ( 1) ( 6)x ( 1)( 6)1_.-1=(x 1)( x 6)1 -6（-1）+（ -6）=-7练习分解因式（1） x2 14x 24(2)a2 15a 36(3)x2 4x 5(3)b aC2 a2&b aC2 a2G分解结果： ax2 bx c = (a1x c1)(a2x c2) 例题讲解1、分解因式：3x2 11x 10分析：13-5(-6)+ (-5)= -11解：3x211x 10 =(x 2)(3x 5)7x 2分解因式：(1)5x2 7x 6( 2)3x2(3) 10x2 17x 3(4)6y2 11y 103、二次项系数为1的多项式例

14、题讲解、分解因式：a2 8ab 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18 b ； X .1- 16b8(- 16b)= -8b解：a2 8ab 128b2 a2 8b ( 16b)a 8b ( 16b) (a 8b)(a 16b)分解因式(1) x2 3xy 2y2m2 6mn 8n2(3)a2 ab 6b24、二次项系数不为1的多项式 例题讲解2x2 7xy 6y21孜2-3y.,_1(-3y)+(-4y)=(-1)+(-2)= -3解：原式=(x 2y)(2x 3y)2 2x y 3xy 2把xy看作一个整体1-2-1-7y解：原式=(x

15、y 1)(xy 2)分解因式：(1) 15x2 7xy 4y2(2) a2x2 6ax 8考点五、因式分解的应用1、分解下列因式(2)x3y2 4x(1) 3x2 3(3) x3 6x2 27x(4) a2 b2 2b 12、计算下列各题(1)(4a2 4a 1) (2a 1)(2) (a2 b2 c2 2ab)(a b c)(2) (2x 3)2(2x 3)3、解方程(1 ) 16(x 1)225(x 2)24、如果实数a b，且，器:1'那么的值等于5、1 221 23242526220092 2010220112201222009 2010201120126、若多项式x2 ax 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数a的值（写出3个）7、先变形再求值（1）已知2x y丄，xy 4，求2x4y3 x3y4的值16（2）已知 3x2 8x 20，求12x2 32x 的值8已知a、b、c为三角形三边，且满足a2220，试说明该三角形是等边三角形9、两个正整数的平方差等于195，求出这两个正整数10、阅读下列因式分解的过程，回答问题1 x x(x 1) x(x 1)2 (1 x)1 x x(x 1) (1 x)2