圆的基本性质知识点整理

1、3.1 圆(1)在同一平面内，线段OF绕它固定的一个端点C旋转一周，所经过的封闭曲线叫做圆，定点C叫做，线段OF叫做。如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有: d v r =点P在圆;dr点P在圆上；d r ：_：点P在圆 ;BC如图，在 ABC中，/ BAC= RtZ，AC是BC边上的中线, 为O的直径.(1) 点A是否在圆上？请说明理由.(2) 写出圆中所有的劣弧和优弧.如图，在A岛附近，半径约250knm勺范围内是一暗礁区， 往北300kn有一灯塔B,往西400km有一灯塔C.现有一渔船 沿CB亢行，问：渔船会进入暗礁区吗？3.1 圆(2)(1) 经过

2、一个已知点能作个圆；(2) 经过两个已知点A B能作个圆；过点A, B任意作一个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？ (3) 不在同一条直线上的三个点 一个圆经过三角形各个顶点的圆叫做 ，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的;三角形的外心是的交点。锐角三角形的外心在;直角三角形的外心在钝角三角形的外心在。作图：已知 ABC，用直尺和圆规作出 ABC的外接圆A3.2图形的旋转图形旋转的性质图形经过旋转所得的图形和原图形；对应点到的距离相等，任何一对对应点与 连线所成的Q角度等于。1、如图，射线0P经过怎样的旋转，得到射线 0Q?3、如图，以点0为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60 ,作

3、出 经旋转所得的线段AB，并求直线A B与直线AB所成的锐角的度 数。2、如图,以点0为旋转中心,将AABC按顺时针方向旋转60 ,作出经 旋转所得的图形。3.3垂径定理(1)圆是图形，它的对称轴是如图，直径CD垂直于弦AB，根据对称性你能发现哪 些相等的量？填一填： v CD是直径，CD丄AB0D如图，做记半径为为圆心0到圆的一条弦AB的距离0C叫r，弦长为a,弦心距为d,这三者之间的关系式(文字描述)垂径定理：运用“半径、半弦、弦心距”之间的关系求解下列题目1、O 0的弦AB的长为8cm,弦AB的弦心距为3cm,则O 0的半径为()(A)4cm.(B)5cm.(C)8cm.(D)10cm.

4、2、已知。O的半径为13cm,一条弦的弦心距为5cm.求这条弦的长3、如图所示，为一条排水管的截面图，已知排水管的半径OB=10水面宽AB为16,求截面圆圆心O到水面的距离OCA3.3垂径定理（2）（文字描述）垂径定理的逆定理1：0如图所示，圆弧AB的中点C到弦AB的距离PC叫做 弓咼h、半径r和弦心距d之间的关系是_ 垂径定理综合运用1、如图，一圆弧形钢梁的拱高为8m,跨径为40m.求这钢梁圆弧的半径长.2、已知：如图,O0的直径PQ分别交弦ABCD于点MN,AM= BMAB/ CD 求证:DN= CNI3、如图，OO的直径CD垂直弦AB于点E且CB3cm, DE 7cm.求 AB 的长.4

5、、已知 O的半径为 5cm,弦 AB/ CD, AB= 6cm,CD= 8cm. 求AB与CD之间的距离.3.4圆心角（1）顶点在圆心的角叫做圆心角定理：在中，相等的圆心角所对的在中，相等的圆心角所对两条弦的符号语言在O0 中：I/ AOBM COD（弦相等）（弧相等）（弦心距相等）相等，所对的也相等。相等我们把n的圆心角所对的弧叫做的弧A练一练:1、下列命题中，不正确的是（）A、圆是轴对称图形B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C、圆是轴对称图形，但不是中心对称图形D圆是中心对称图形2、如图，AB, CD是L O的直径，若/ AOC=70，J则AC的度数是，BD的度数是，AD的度数是3、已

6、知：如图，/ 1 = / 2.求证：AC = BD .4、如图，LI O的直径AB垂直于弦CDE点E,/ C0= 100。.求BC，AD的度数.BDBDCd3.4圆心角（2）圆心角定理的逆定理：在中，如果两个、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量 1、如图，等边三角形 ABC内接于LI O，连结OA OB OC延长AQ分别交BC于点P， 交BC于点D,连结BD，CD， 判断四边形BDCQ是哪一种特殊四边形，并给出证明。 四边形BDC（是，证明如下： AB=BC=C./ AQB= =120/ BQD=又 BOD是三角形同理， COD是.记四边形 若L O的半径为r，求等边三角形ABC的边长

7、2、已知，如图， ABC为等边三角形，以 AB为直径的L O分别 交 AC, BC于点 D, E，求证：AD = DE = EB .3、下列说法正确的是 圆心角相等，所对的弦相等；弦相等，所对的圆心角相等 等弧所对的弦相等在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等3.5圆周角（1）顶点在，角的两边都和圆 的角叫做圆周角圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的 度数的一半已知一条弧所对的圆周角等于 70,贝U这条弧所对的圆心角是。一条50的弧所对的圆心角是。，圆周角是。一条弧所对的圆心角的度数为 95,则这条弧是。，它所对的圆周角是OB一条弧的度数是180,则它所对的圆心角是 ,圆周角是 o推论：半

8、圆（或 ）所对的圆周角是 o如图所示，/ C=90，则/AOB ,AB是的推论：90的圆周角所对的弦是o练习：如图，等腰三角形 ABC的顶角/ BAC为40 ,以腰AB 为直径作半圆，交 BC于点D,交AC于点E, 的度数。变式1:已知，如图，AB为圆O的直径，AB=AC BC交圆O于点D, AC交圆O于点E, 求证：BD=CD变式2:如图，已知圆心角/ AOB勺度数为100 ,则圆周角/ ACB的度数是（）A.80 B.100C.120D.130O100CD 二 BD.3.5圆周角（2）推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等，的圆周角所对的弧也相等。基本图形：如图所示：BC=BC/Z

9、二 /练一练：1.如图,ABC内接于圆，AB二AC , BC的度数为60 .求.B, . C的度数2.已知：如图，AB是D O的直径，弦AB与半径0D平行求证:综合练习:已知半径为5的L O中，弦AB =5、2，弦AC = 5，则/ BAC的度数是BB. 210C. 105或 15D . 21 或 30如图，已知AB是O O的直径,BC为弦，/ A BC=30 过圆心 O作OD丄BC交弧BC于点D，连接DC，则/ DCB=AAB = AC，BC 交O O 于点 D，AC 交EBC = 22.5,;D20题图已知，如图：AB为O O的直径，O O于点E，/ BAC = 45。给出以下五个结论：/

10、BD = DC ;AE = 2EC ;劣弧AE是劣弧DE的2倍；AE = BC。其 中正确结论的序号是AOB作图：用直尺和圆规做圆的内接正六边形如果一个四边形的各个顶点在，那么这个四边形叫做，这个圆叫做。性质：圆内接四边形的对角 0圆内接四边形的外角等于它的0练一练：已知圆内接四边形有一个内角是 50 ,则它的对角的 度数为 .如图,AB是半圆O的直径,/ BAC= 40 ,则/ D=.已知圆内接四边形 ABC中,/ A : / B: / C= 2:3:7.求/ D的大小.综合练习：已知，如图，人。是厶ABC的外角/ EAC的平分线,与厶ABC的外接圆交于点D,求证：DB=DC分析：要证明DB

11、=DC只需证明/ 二 /证明：3.7正多边形我们把、的多边形叫做正多边形；任何正多边形都有一个计算：已知一个正多边形的内角为120，这个正多边形是 o已知一个正多边形的外角为 45，这个正多边形是o正五边形的内角等于 o选择：下列图形中，是中心对称图形的是 是轴对称图形的是OO3.8弧长及扇形的面积（1）在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长I的计算公式为：公式变形： 半径R=圆心角的度数n=公式运用：（1）半径为3的圆弧的度数为100,则这条弧长为 ;（2）半径为5的圆弧长为5n，则这条弧所对的圆心角的度数为 （3）已知圆弧的度数为60,弧长为6n，则圆的半径为 。3.8弧长及扇形的面积（2）如果扇形的半径为R,圆心角为n,扇形的弧长为I , 那么扇形面积S= 公式运用1、已知圆的半径为6cm求下列各扇形的面积（1）圆心角为135的扇形（2）弧长为4n的扇形2、已知一个扇形的面积为12 n cmf,圆心角为21