圆锥曲线地综合问题-分题型整理

1、圆锥曲线的综合问题知识梳理将直线丨的方程代入曲线 C的方程，消去y或者消去x,得到一个关于x或y的方程ax2 bx c 0 1交点个数 当a=0或0，“ =0时,曲线和直线只有一个交点； 当a丰0, 0时，曲线和直线有两个交点； 当0曲线上两点的中点在对称直线上 轨迹类型已确定的，一般用待定系数法 动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法 一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法重难点突破理解和掌重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法与弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法;握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关X围与最值难点：轨迹方程的求法与圆锥曲线

2、的有关X围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题“设而不求在解题中的简化运算功能 求弦长时用韦达定理设而不求 弦中点问题用点差法设而不求2.体会数学思想方法以方程思想、转化思想、数形结合思想为主在解题中运用X2冋题1 ：点F1为椭圆一92y_51的左焦点，点 a 1,1，动点p在椭圆上，如此 PAPR的最小值为 点拨：设F2为椭圆的右焦点，利用定义将PR转化为PF2，在结合图形，用平面几何的知识解决。PA PF1 6 PA PF2，当P, A,F2共线时最小，最小值为6热点考点题型探析考点1直线与圆锥曲线的位置关系题型1：交点个数问题例1 设抛物线 寸 8x

3、的准线与x轴交于点Q,假如过点Q的直线|与抛物线有公共点，如此直线I的斜率的取值X围是1 1A.B . 2, 2 C . 1, 1 D . 4, 42 2【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法解析易知抛物线y2 8x的准线x2与x轴的交点为Q (-2,0)，于是，可设过点Q (-2-0)的直线i的方程为yk(x2),联立y2 8x,k2x2(4k28)x 4k20.y k(x2),其判别式为(4k28)216k464k2 640,可解得1 k 1，应选C【名师指引】1解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法2直线与圆锥曲线有唯一交点， 不等价于直线与圆

4、锥曲线相切， 还有一种情况是平行于对称轴抛物线或平行于渐近线双曲线3联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进展讨论，还要对二次项系数是否为0进展讨论【新题导练】, 2 2 11 圆 x y mx -410与抛物线y -42x的准线相切，如此m的值等于A.2B.3C.2D731x2y28上的每一点的纵坐标压缩到原来的一，对应的横坐标不变，得到曲线C；设M 2,1，平2行于0M勺直线l在y轴上的截距为 m(m产0),直线l与曲线C交于A、B两个不同点.(1) 求曲线C的方程；(2)求m的取值X围.3. 求过点0,1的直线，使它与抛物线寸 2x仅有一个交点题型2:与弦中点有关的问题例2点A、B

5、的坐标分别是 1,0 ,1,0 .直线AM ,BM相交于点M，且它们的斜率之积为2.(I )求动点M的轨迹方程；1(n )假如过点N ,1的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线丨的方2程.【解题思路】弦中点问题用“点差法或联立方程组，禾U用韦达定理求解解析(I )设 M (x, y),因为 kAM kBM2,所以 y y 2 x 1 化简得:2x2 y2 2 x 1x 1 x 1(n )设C。，), D(X2,y2)当直线I丄x轴时,直线l的方程为x-,如此C(-6), D(,6),其中点不是 N,不合题意2 2 2 2 21设直线l的方程为丫 1 k(x ?)将 C

6、(xyj, Dg, y2)代入 2x2 y22xi y2 2(1)(1)-(2)整理得：ky1yxx22(为 xQ(y1 y2)1直线l的方程为y 1 丄(x21-)即所求直线l的方程为x 2y 3 02解法当直线l丄x轴时,直线l的方程为x1如此cGd(1弓,其中点不是N,不合题意.故设直线l的方程为y 1k(x1 2 22),将其代入2x y 2x1化简得22kk 2(2 k2)x22k(1 )x (1)2 202 22 k 22 k 24k (1 2) 4(2 k )(1 2) 2 0 (1)k由韦达定理得2k(1 -) w 又由N为线段CD的中点，得X1 X2X1 X2(122 k22

7、将k 1代入(1)式中可知满足条件2 k2此时直线l的方程为y 1(x 1),即所求直线丨的方程为x 2y 3 02 2【名师指引】通过将 C D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减这里，代点 相减后，适当变形，出现弦 PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求即点差法的关键两种解法 都要用到“设而不求，它对简化运算的作用明显，用“点差法解决弦中点问题更简洁21椭圆161的弦被点P 2,1所平分，求此弦所在直线的方程【新题导练】2 2b 0)相交于A、B两点，且线段 AB的中点在直线L: x 2.直线y= x+1与椭圆务占 1(aa b2y=0上，求此椭圆的离心率题型3:与弦长有关的

8、问题例3直线y 2x k被抛物线x2 4y截得的弦长 AB为20 , O为坐标原点.1某某数k的值；2问点C位于抛物线弧 AOB上何处时， ABC面积最大？【解题思路】用“韦达定理求弦长；考虑ABC面积的最大值取得的条件解析1将 y 2x k 代入 x2 4y 得 x2 8x 4k 0 ,由厶 6416k0可知k 4,另一方面，弦长AB 5.64 16k20，解得k 1 ；2当k 1时，直线为y 2x 1，要使得内接 ABC面积最大，1如此只须使得yC 丄2xC 2，4即Xc 4，即C位于4, 4点处.【名师指引】用“韦达定理不要忘记用判别式确定X围【新题导练】2 21.椭圆G：务与 1(a

9、b 0)与直线x y 10相交于两点A、B .a b1当椭圆的半焦距c 1，且a2,b2,c2成等差数列时，求椭圆的方程；2在1的条件下，求弦AB的长度| AB | ；2，点C的轨迹与直线y x 2、3,0和B 3,0，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为交于D E两点，求线段DE的长.考点2:对称问题题型：对称的几何性质与对称问题的求法以点的对称为主线，轨迹法为根本方法2 2例4 假如直线l过圆x2 y2 4x 2y 0的圆心M交椭圆C : =1于A、B两点，假如A94B关于点M对称，求直线L的方程.解析M( 2,1)，设 A(X1，yJ,B(X2，y2)，如此 & 他 4,% y? 22

10、又x12y121，x22%1，两式相减得：x12 X；2 2y1 y20，949494化简得4(X1%2)(为X2)9(%y2)(%y2)0，把xX24,y1y2Viy2代入得kAB28x1x291故所求的直线方程为 y 1(x 2)，即x 2y 4 02所以直线I的方程为：8x-9y+25=0.【名师指引】要抓住对称包含的三个条件：(1) 中点在对称轴上(2) 两个对称点的连线与轴垂直(3) 两点连线与曲线有两个交点(0),通过该不等式求 X围【新题导练】21. 抛物线y2px上有一内接正 AOB O为坐标原点求证：点 A B关于x轴对称;2在抛物线y24x上恒有两点关于直线y kx 3对称

11、，求k的取值X围2. 假如抛物线y ax21，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，某某数a的X围.考点3圆锥曲线中的X围、最值问题题型：求某些变量的 X围或最值2X例5椭圆G : 2a2y21(a bb20)与直线x y 10相交于两点A、B .当椭圆的离心率e满足乜e3子，且 0A0B 00为坐标原点时，求椭圆长轴长的取值X围.【解题思路】通过“韦达定理沟通a与e的关系解析由a2b2(a2 b2)x2 2a2xa2(1 b2)0由八.2a2b2(a2 b21)0，得b2 1此时X-iX22a2a2 b2 ,X1X2a2(1OAOB0，得 X1X2YiY202x1x2 (为 x2)e

12、2b22 22a b 0，故 b2a2a2 12 ,2a b2a得b2a2 a2e211e2由-33所以椭圆长轴长的取值x 围为、.5,、6【名师指引】求 X围和最值的方法:几何方法：充分利用图形的几何特征与意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值.【新题导练】21. P是椭圆c：421L 1的动点，点A(2,0)关于原点O的对称点是B,22假如|PB|的最小值为3 ,求点P的横坐标的取值X围。2.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线 y2 X上移动，记线段 AB的中点为M求点M到y轴3直线m y=kx+1和双曲线x2y2的最短距离，并求此时点 M的坐标.1的左支交

13、于 A, B两点，直线l过点P-2 , 0和线段AB的中点M,求丨在y轴上的截距b的取值X围.2 2P是椭圆上任一点,4椭圆 J 1 , A 4, 0，B2, 2是椭圆内的两点,2595求：1求一|PA| |PB|的最小值；2求|PA|+|PB|的最小值和最大值.4y=x2上移动，AB中点为求点M到x轴的最短距离。点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消X1, X2,从而形成y。关于X0的函数，这是种“设而不求的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边当三角形“

14、压扁时，两边之和等于第三边的属性，简捷地求解出结果的，但此 解法中有缺点，即没有验证 AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。考点4定点，定值的问题题型：论证曲线过定点与图形点在变化过程中存在不变量2X例6 P、Q是椭圆C:421上的两个动点,2M(1込是椭圆上一定点,，2F是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;【解题思路】利用“ |PF|、|MF|、|QF|成等差数列找出两动点间的坐标关系证明：设P(X!, y1),Q(X2,y2)，由椭圆的标准方程为同理|0F | 22 2y1(Xi2亍2,|MF| 22| MF | |

15、 PF |QF|,2(2当XiX2时，由2X12X22y122y；得(xj4,x；)从而有y1 y2X1x2X1x2y1y2设线段PQ的中点为N (1, n),由 kpQyX1y2X2得线段PQ的中垂线方程为 y n2n(x1).(2x1)n y0,该直线恒过一定点当x1X2时,P(1,2X12X1.(X12(yi2丄2n，X2),y2),Q(1,于),或Q(1,于),P(1,).x1x22.11线段PQ的中垂线是x轴，也过点A(丄,0),线段PQ的中垂线过点 A(丄,0).22【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：1从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点值与变量无关；2直接推理、

16、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点定值.3.设抛物线y2=2px ( p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A, B两点，C在抛物线上，且【新题导练】22 y x 2m x22m 1，如此抛物线C恒过定点2试证明双曲线22X y =1 a0, b0上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数22abBC/X轴。证明直线 AC经过原点 Q考点5曲线与方程题型：用几种根本方法求方程例1抛物线C: y2 4X，假如椭圆左焦点与相应的准线与抛物线C的焦点F与准线I分别重合,试求椭圆短轴端点 B与焦点F连线中点P的轨迹方程；【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程解析由抛物线 y2 4x ,得焦点F 1,0 ,准线I : x 1设 P x, y，如此 B 2x 1,2y ,椭圆中心O,如此F0 ： BF =e,又设点B到I的距离为d , BF : d =e,22FO : BF = BF : d ,即 2x 2 2y 2x 2x 2 ,化简得P点轨迹方程为y2 x 1(x1)名师指引求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，此题用到直接法，但题 目条件需要转化【新题导练】2w一 y2 1上一动点