圆的基础知识

1、24.1 圆教学设计一、教学目标知识技能 : 1了解圆和圆的相关概念 , 知道圆实轴对称图形 , 理解并掌握垂直于弦 的直径有哪些性质 . 2 了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系.数学思考 : 1在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的 联系 . 2 在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生的观察、总结及 概括能力 .问题解决 : 1 在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的 实际问题 .2 能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题 .情感态度： 在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中， 感悟数

2、学源于 生活又服务于生活 . 在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神.二、重难点分析教学重点： 垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论垂径定理及其推论反映了圆的重要性质， 是圆的轴对称性的具体化， 也是证明线段 相等、角相等、 垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆 周角定理及其推论对于角的计算、 证明角相等、 弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法 所 以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点对于垂径定理， 可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性， 引导学生去发现 “思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理对于垂径定理的推论，

3、 可以按条件画出图形， 让学生观察、 思考， 得出结论 要注意让学生区分它们的题设和结论， 强调“弦不是直径”的条件圆周角定理的证明， 分三种情况进行讨论第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两 种情况都可以转化为第一种情况来解决， 转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助 线这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握教学难点： 垂径定理及其推论；圆周角定理的证明垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂， 容易混淆， 圆周角定理的证明要用到完 全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点圆是生活中常见的图形 , 学生小学时对它已经有了初步接触 , 对于圆的基本性质

4、有 所了解 . 但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该 鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识 .三、学习者学习特征分析圆是生活中常见的图形 , 学生小学时对它已经有了初步接触 , 对于圆的基本性质有 所了解 . 但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该 鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识 .四、教学过程（一）创设情境，引入新课圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见 . 在小学我们已经认识了 圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积 .早在战国时期， 墨经一书中就有

5、关于“圆”的记载， 原文为“圆， 一中同长也”. 这是给圆下的定义，意思是说圆上各点到圆心的距离都等于半径 .现实生活中，路上行驶的各种车辆都是圆形的轮子，为什么车轮做成圆形的？为什么不做成椭圆形和四边形的呢？这一节我们就一起来学习圆的有关知识，并且来解决上述的疑问（二）合作交流，探索新知1观察图形，引入概念（1 ）圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象（多媒体图片引入）（2）观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（3）圆的概念：让学生根据上面所找出的特点，描述什么样的图形是圆（学生可以在讨论、 交流的基础上自由发言；绝大部分学生能够比较准确的描述出圆的定义，部分学生没有说准确

6、, 在其他学生带动下也能够说出）在学生充分交流的基础上得到圆的定义：在一个平面内，线段 0A绕它固定的一个端点 0旋转一周，另一个端点 A形成的图 形叫做圆，固定的端点 0叫做圆心，线段 0A叫做半径.（多媒体动画引入）（4）圆的表示方法以点0为圆心的圆，记作“O 0',读作“圆 O （5）从画圆的过程可以看出： 圆上各点到定点（圆心 0的距离都等于定长（半径 r）; 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.0的距离等于定长r的点的 在几何中十分重要， 因为因此，圆心为0半径为r的圆可以看成是所有到定点 集合.（把一个几何图形看成是满足某种条件的点的集合的思想，这实际上就是关于轨迹的概

7、念.圆，实际上是“到定点的距离等于定长的点”的轨迹.事实上，保证了图形上点的纯粹性，即不杂；保证了图形的完备性，即没有漏掉满足这种条 件的点同时符合，保证了图形上的点“不杂不漏”）（6）由车轮为什么是圆形，让学生感受圆在生活中的重要性.问题1，车轮为什么做成圆形?问题2,如果做成正方形会有什么结果？（通过车轮实例，首先让学生感受圆是生活中大量存在的图形.教学时给学生展示正方形车轮在行走时存在的问题，使学生感受圆形的车轮运转起来最平稳.）把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人

8、会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理.2. 与圆有关的概念（1） 连接圆上任意两点的线段（如线段AC叫做弦（2）经过圆心的弦（如图中的 二）叫做直径.（3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.小于半圆的弧（如图中的叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ABC,）叫做优弧.（4）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.（5） 能够重合的两个圆叫做等圆.（容易看出半径相等的两个圆是等圆，反过来, 同圆或等圆的半径相等）（6 ）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.（对于和圆有关的这些概念，应让学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区 别.例

9、如，直径是弦，但弦不一定是直径. 半圆是弧，但弧不一定是半圆； 半圆即不是劣弧， 也不是优弧.）3. 垂直于弦的直径（1）创设情景引入新课问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 ，是我国古代人民 勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形 ，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中 点到弦的距离）为7.2m.你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？）（2）圆的对称性的探究 活动：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（学生可能会找到1条，2条，3条教师不要过早地去评判，应该把机会留给学生， 让他们在互相交流中， 认识到圆的对称轴有

10、无数多条，要鼓励学生表达自己的想法） 得到结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.（3）垂径定理及其逆定理 垂径定理的探究如图，AB是OO的一条弦，做直径 CD使CDLAB垂足为E.（ 1）圆是轴对称图 形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗？为什么？（旨在通过这样复合图形的轴对称性探索垂径定理，教学时应鼓励学生探索方式的多样性.引导学生理解， 证明垂径定理的基本思路是：先构造等腰三角形， 由垂直于弦得出平分弦；然后将直径看做圆的对称轴，利用轴对称图形对应元素相等的性质得出平分弧的结论）（多媒体动画引入）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且

11、平分弦所对的两条弧. 垂径定理的逆定理的探究（仿照前面的证明过程，鼓励学生独立探究，然后通过同学间的交流得出结论） 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 解决求赵州桥拱半径的问题4. 弧，弦，圆心角（1）通过实验探索圆的另一个特性如图，将圆心角/ AOB绕圆心O旋转到/ A OB的位置，你能发现哪些等量关系？ 为什么？（多媒体图片引入）（教科书展示了一种证明方法一一叠合法，教学时要鼓励学生用多种方法探索图形的性质，学生的想法未必完善，但只要有合理的成分就应给予肯定和鼓 励.） 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所的弧相等，所对的弦也相等.（2 ）对（1）

12、中结论的逆命题的探究在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ,所对的弦在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角 ，所对的弧 .（教学时仍要鼓励学生用多种方法进行探索）（3 ）应用新知，体验成功-，/ ACB=60，求证：/ AOBM BOCMAOC.例.如图，在OO中,AB - AC5. 圆周角（1）创设情境引入概念如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗二观看窗内的海洋动物， 同学甲站在圆心 0的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角（/ AOB和/ACB有什么关系？如果同学丙，丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角

13、（/ ADB和/AEB和同学乙的视角相同吗？概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（意在引出同弧所对的圆心角与圆周角，同弧所对的圆周角之间的大小关系.教学时要引导学生分析圆周角有两个特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦）（2）圆的相关性质 动手实践活动一：分别量一下 】'二所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律？活动二：再分别量出图中 上匚所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？（利用一些计算机软件，可以很方便的度量圆周角，圆心角，有条件的话可以试一试）得到结论：同弧所对的圆周角的度数

14、没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半. 为了进一步研究上面发现的结论，在O0任取一个圆周角/ BAC将圆对折，使折痕经过圆心 0和/BAC的顶点A.由于A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：在圆周角的一条边上；在圆周角的内部；在圆周角的外部.（学生解决这一问题是有一定难度的，应给学生留有时间和空间，让他们进行思考引导学生观察后两种情况， 让学生思考：这两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？ 当解决一个问题有困难时，我们可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题.这是解决问题时常用的策略.）由此得到圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这

15、条弧所对的圆心角的一半.进一步我们还可以得到下面的推论：半径（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.由圆周角定理可知：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.（3）圆内接多边形的定义及其相关性质 定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 利用圆周角定理，我们的得到关于圆内接四边形的一个性质： 圆内接四边形的对角互补.（三）应用新知，体验成功利用资源库中的“典型例题”进行教学（四）课堂小结，体验收获（PPT显示）这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）1. 圆的有关概念；2. 垂

16、径定理及其逆定理；3. 弧，弦，圆心角的相关性质；4. 圆周角的概念及相关性质；（五）拓展延伸，布置作业利用资源库中或手头的相关材料进行布置.五、学习评价：（一）选择题1.如图，如果 AB为OO的直径，弦CDLAB垂足为E,那么下列结论中，？错误的是（ ）亠J -(A) CE=DE(B) BCBD(C)Z BACK BAD .( D) AC>AD1题图2.如图, 是（ ）在OO3题图中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径,?则下列结论中不正确的(A) AB丄CD .(B)Z A0B=4 ACD(C)' 一 汕(D) PO=PD3.如图，OO中,如果山=2 ：，那么（(A) AB

17、=AC( B) AB=AC ( C) AB<2AC( D) AB>2AC4.如图，A、B C三点在OO上，/ AOC=100，则/ ABC等于(A) 140° .(B) 110°. ( C) 120°. ( D) 130° .图5. 如图，/ 1、/ 2、/ 3、(A)/ 4</ 1</ 2</ 3 . / 4</ 1</ 3=/ 2.6. 如图，AD是OO的直径,Z46题图的大小关系是()(B)/ 4</ 仁/ 3</ 2.( C)/ 4</ 1</ 3/2 .( D)AC是弦，OBL

18、AD 若 OB=5 且/ CAD=30 ,贝U BC等于(A) 3.( B) 3+J-一； . ( C) 5-八；.(D) 5.（二）填空题9题10题图11题图8. P为OO内一点，OP=3cm OO半径为5cm,则经过P点的最短弦长为长弦长为.9. 如图，OE OF分别为OO的弦AB 写一个正确的结论）10. 如图，AB和DE是OO的直径，弦11. 如图，A、B是OO的直径，C D、CD的弦心距，如果 OE=OF那么AC/D E,若弦 BE=3 则弦 CE=E都是圆上的点，贝U;最（只需Z 1+Z 2=r(三)解答题12. 如图，00直径AB和弦CD相交于点 E, AE=2, EB=6,Z DEB=30，求弦 CD长.13. 如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC AD于 E、F,若Z D=50 , 求 BE 的度数和 EF