圆锥曲线常见题型及答案

1、圆锥曲线常见题型归纳、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几a,b,c,e, p何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形 面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；（2） 如未指明焦点位置，应考虑焦点在x轴和y轴的两种（或四种）情况；（3）注意a,2a,a2，b,2b,b2，c,2c, c2，2 p, p, p 2的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中c2 = a2 -b2，双曲线中c2 = a2 b2，离心率e = c

2、 a，准线方程x = a2：c ；例题：（1）已知定点Fi（；,0）,F2（3,0），在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 （）2 2A PFt|+ PF2=4B PFt|+PF2 =6C.PF+|PF2=10D PFi|+| PF2=12 （答：C）；二2）.方程J（x6）2 +y2 J（x+6）2 +y2 =8表示的曲线是 （答：双曲线的左支）2（3）已知点Q（2j2,0）及抛物线上一动点P （x,y）,则y+|PQ|的最小值是（答：2）1 1（答：（亠対二,2）；2 （答：-y 1 ）；442 2（4）已知方程 y 1表示椭圆，则k的取值范围为3+k 2k22（5）双曲线的离心

3、率等于-，且与椭圆x 匸“有公共焦点，则该双曲线的方程2 94（6）设中心在坐标原点 0,焦点F1、F2在坐标轴上，离心率 e二2的双曲线C过点P（4,-、.1O），则C的方程为 （答：xy2 =6）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离 有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用 平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定 义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定 理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由 向量的几何形式而用平面几何知识；

4、涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；圆锥曲线的几何性质：2 2（1）椭圆（以务 £ " （ a b 0 ）为例）：a2 b2 范围：-a乞x a, -b岂y乞b ；焦点：两个焦点（-c,0）；对称性：两条对称轴x=0,y=0，个对称中心（0,0 ），四个顶点（-a,0）,（0, -b），其中长轴长为22a，短轴长为2b ；准线：两条准线x=；cc离心率：e= -，椭圆0”：e”：1， e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。a例：（1）若椭圆乂+匸=1的离心率护也，则m的值是（答：3或空）；5 m53（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴

5、的最小值为 _（答:2、2 )2 2(2) 双曲线(以冷亠=1 ( a 0,b 0 )为例)：a2 b2范围：xa或x_a,yR ;焦点：两个焦点(_c,0)； 对称性：两条对称轴x=0, y=0，个对称中心(0,0)，两个顶点(_a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 一 y2 = k,k = 0 ；a2b 准线：两条准线；两条渐近线：y = _bx。ca离心率：e=，双曲线:二e > 1，等轴双曲线:二e = -, 2， e越小，开口越小，e越大，开口越大；a(3) 双曲线的渐近线方程为y=± 3x/4,则

6、双曲线的离心率为 例:丄 双曲线axb/"的离心率为.5，则a：b=(答：4或4)；2 2设双曲线 务-每"(a>0,b>0)中，离心率e 2 ,2,则两条渐近线夹角9的取值范围是a b(答:,);3 2(3)抛物线(以y2=2px(p 0)为例)：范围：x_0,yR ;焦点：一个焦点(卫,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；2 对称性：一条对称轴y =0，没有对称中心，只有一个顶点(0,0)； 准线：一条准线x ；离心率：e =，抛物线二e = 1。2a2 2(4)点P(x°,y°)和椭圆 笃 与=1( a b 0)的关系:(1)点

7、P(x°,y°)在椭圆外=a b222)点P(X0,y°)在椭圆上=笃卷=1；( 3)点P(X0,y°)在椭圆内= a b22(6) 设a式0,aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为2516已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为(4)(5)例:(7)(8) 于,(9)若该抛物线上的点已知抛物线方程为22X。. yo2 ： 1a b(答:)；(答：35)；3y2 =8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等M到焦点的距离是4,则点M的坐标为(答:7,(2, _4)；- 2(10)点P在椭圆二 L =1上，它到

8、左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为(答:2+25912、直线与圆锥曲线的关系题(1) 写直线方程时，先考虑斜率k存在，把直线方程设为y=kxb的形式，但随后应对斜率k不存 在的情况作出相应说明，因为k不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；(2) 联立直线方程和圆锥曲线方程，消去x或消去y，得到方程 ax2 + bx + c = 0 或 ay2 + by + c = 0 ，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。(3) 当方程或的二次项系数a=0时，方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况 是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行；(过抛物

9、线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，过双曲线含中心的区域内一点(不在渐近线上)作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；)(4) 当方程或的二次项系数a=0时，判别式厶:0、二0、 0，与之相对应的是，直线与 圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用_0来求斜率k的范围； 例题：(答：2)；(1)过点(2,4)作直线与抛物线y2 =8x只有一个公共点，这样的直线有2 2(2)过点(0,2)与双曲线-=1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 (答:9162 2则m的取值范围是(3) 直线ykx 仁0与椭圆 ' =1恒有公共点,5 m+P）；2 2(4) 过

10、双曲线丄1 2条(答：3)；=1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若丨AB|= 4,则这样的直线有(5) 直线与圆锥曲线相交成弦(前提a = 0,A 0)，记为AB，其中A(xy1)，B(X2,y2)，AB的坐标可由方程或求得，一般是由方程求出xX2，再代入直线方程求yy2，或由方程求出y1,y2，再代入直线方程求xx2。(6) 涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程ax2 bx 0 求出x1 x2,x1x2，A（X1, yj， B（X2, y2）在直线 y = kx b上，二 y kx1 b， y kx2 b，y1 y2 =k（X1 X2）, AB =斗（捲X2）2 +（力y2）2 =f（1 +

11、k2）（X1 X2）2=.（1 疋）（花X2）2-4x1X2 *（1 k2）：同请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去x，得到ay2 by 0，继而用韦达定理，求出y1 y2, y1 y2，X1 - X2 =匸（y 一 y2）kAB 一 X2）2 “讣）（1-川（1 + 占）（+y2）2 -4yy2(6) 若抛物线 y2 = 2 px( p . 0)的焦点弦为 AB A(xi, yi), B( X2, y2)，则 | AB |= Xi X2 - p :2p2X1X2,y"2 - -p4(7) 若OA OB是过抛物线y2=2px(p>0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线 AB恒

12、经过定点(2p,0)(7)涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程ax2 bx 0 求出Xi X2，设弦A(xi, yi) B(X2, y2)的中点为M (x0, y0)，则x0 =仝X，: M点也在直线y = kx b上，二y0 = kx0 b。2如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k有关，而不涉及弦长，则可把弦AB的坐标(x1, y1)，(x2, y2)直接 代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有 (捲-x2)、(论 x2)、(y1-y2)、(yi y2)， 这些都与弦中点坐标和弦的斜率k有关。(点差法)(8)弦AB满足有关的向量的条件，如OA OB = 0 ( O为原点)，则X1X2

13、yi y 0，: y kxi b，22y2 = kx2 b ，X1X2 +(kxi +b)(kx2 +b) =(1 +k )X1X2 +kb(xi +X2) + b =0 .又如过椭圆X2 +2y2 =2的右焦点Fi的直线I与该椭圆交于M,N两点，且fM+F2M =2/26/3，求直 线I的方程。特别提醒：因为厶是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时， 务必别忘了检验厶-0 !例: (1)抛物线y2 =2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为 (答：2);22(2) 如果椭圆 =1弦被点A (4，2)平分，那么这条弦所在的直线方程是369

14、x 2y -8 =0);2 2(3) 已知直线y= x+1与椭圆 务=1(a b 0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L :a b(答：鼻)；2(答:x 2y=0上，则此椭圆的离心率为2 2 _(1) 双曲线 务丄 1的渐近线方程为 二a b(2) 以y = _bx为渐近线(即与双曲线x_y_ =1共渐近线)的双曲线方程为 与-省(为参数,a'半 0)。如(4)与双曲线(5) 经过双曲线x222一0 - a b22ya b22 2 y a b22 916 =1有共同的渐近线，且过点心2 3)的双曲线方程为(答:1的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB，3(1) 求 |A

15、B|(2) 求三角形F1 AB的周长，(F1是左焦点)(6).已知抛物线屮-X与直线y=k(x+1)相交于A、B两点(1) 求证：OA_OB(2) 当 S OAB 二 '1°，求 k 的值。2 2(7)已知动直线y二k(x1)与椭圆C ：=1相交于A、B两点，已知点55M (-7,0)，求证：MA MB为定值.32 2X y2222解：将 y=k(x 1)代入1 中得(1 3k )x 6k x 3k -5=0553、卜=36k4-4(3k2 1)(3k2-5)=48k2 20 0，x16k23k2 1NX23k2 - 53k217777所以 MA MB =(x<-,1)

16、(X2 y) =(x-)(x-) yy3 333772=(洛)(X2) k (X! 1)(X2 1)33=(1 k2)x-|X2(7 k2)(x1 x2) 49 k239=(1 k2)3k2 -53k2172勺 k2)(-3k4 -16k2 -53k2 149 k22 2(8)过椭圆 11内一点M (2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程。164四、关于圆锥曲线的最值(1)圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标M(x0，y。)，用两点间的距离公式表示距离d，利用点M的坐标(X0, y。)满足圆锥曲线方程，消去y。(或消去X0)，把d2表示成X。(或y) 的二次

17、函数，因为X。(或yo )有一个取值范围(闭区间或半开半闭区间)，所以问题转化为：求二 次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。(2)圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所 求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。例：(1)椭圆xA2/3+yA2=1上的点到直线x-y+4=0 的最短距离；五、求动点的轨迹方程(1)求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；注意：不重合的两条直线,：Ax B,y C0与2 : A2xB2yC0，,的法向量为：ni=(A,BJ，方向向量为 ei = (-Bi, Ai)

18、=(1,kJ， i_ 2= A1A2 B1B2=01 /2 二A1B2 =B1A2且A<|C2 =C<|A2;(2)求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x, y)=0 ;(1)已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求P的轨迹方程(答：y =12(x4)(3 乞 x 乞 4)或 y = 4x(0 乞 x ： 3); 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条 件确定其待定系数。(2)线段AB过x轴正半轴上一点 M (m, 0) (m 0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴 为对称轴，过A

19、、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 (答：y2=2x ); 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方 程； 由动点P向圆x2 y2 =1作两条切线PA PB切点分别为A、B，Z APB=60,则动点P的轨迹方程 为 (答：x2 y24);(4) 点M与点F(4,0)的距离比它到直线I: x+5=0的距离小于1,则点M的轨迹方程是 (答：y 16x); 一动圆与两圆。M x2 y2 -1和O N: x2 y2 -8x 10都外切，则动圆圆心的轨迹为 (答：双曲线的一支)； 代入转移法：动点P(x, y)依赖于另一动点Q(x°,y°

20、)的变化而变化，并且Q(x°,y°)又在某已知曲 线上，则可先用x,y的代数式表示x°,y°，再将x°,y°代入已知曲线得要求的轨迹方程； 动点P是抛物线y =2x2 1上任一点，定点为A(0,-1)，点M分 PA'所成的比为2,则M的轨迹方程 为(答： y=6x2 _);3(7) AB是圆O的直径，且|AB|=2a, M为圆上一动点，作 MNL AB垂足为N,在OMk取点P，使 |OP|=|MN |，求点 P 的轨迹。(答：x2 ya|y|);(8) 若点P(X1,yJ在圆x2 +y2 =1上运动，则点Q(e儿洛+)的轨迹方

21、程是 (答：2 1y =2x 1(|xFy);(9) 过抛物线x2 =4y的焦点F作直线I交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是 (答:x2 =2y-2 )；(14全国卷)22320.(本小题满分12分)已知点A (0，-2)，椭圆E :笃打=1(a b 0)的离心率为，F是椭圆的焦点, ab2直线AF的斜率为三3 , o为坐标原点3(I)求E的方程;(n)设过点 A的直线I与E相交于P,Q两点，当 OPQ的面积最大时，求I的方程.20.(本小题满分12分)解:(I)设F(c,O)，由条件知,，得c3，c ；32又，所以a =2,ba 2-c2 =12故E的方程为y2 =142(n

22、)当 | _x 轴时不合题意，故设 l:y=kx-2，P(x1, y1), Q(x2, y2)，将 y=kx-2 代入y2 =1 得4(1 4k2)x2 -16kx 12 =0当也=16(4k2 -3) >0，即 k2 W 时，咅,2=8"2"4* 一34k2 1从而 | PQ |f |治-x2 | = 4'k T4k _324k 12又点O到直线PQ的距离d =十2，所以 OPQ的面积4k1S opq|PQ| =24.4k2 -34k2 14t_t24设 4k - 3 = t，则 t 0， S oPq所以当：OPQ的面积最大时，I的方程为八乜x_2或八一乜x

23、_22 212分答案一：1.C 2.双曲线的左支3vy=xA2/4 即 xA2=4y a焦点 F为(0,1 )准线：y=-1 过点 P作 PMy=-1 于 M/.| PM| = | PF|a y+|PQ|= | PM| +|PQ|-仁 | PF| +|PQ|-1当F,P,Q三点共线时| PF| +|PQ|最小PF | +|PQ|) min=V (2V2)八2+1=3a( y+|PQ|) min= ( | PF | +|PQ|-1 ) min=3-1=24. (_3,_2)U(-f,2);2 25.2x 2彳 y =1 ；46.二: 1.3 或2532. 设焦点在x轴上，则椭圆上的一点和两个焦点

24、为顶点的三角形，底边长为2c,面积最大时，底边上的 高最大，即该动点必须位于椭圆与y轴的交点上，即此时高为b,即2c*b/2=1,bc=1,c=1/b而 cA2= aA2-bA2 =（1巾）八2即 aA2=匕八2 +（1巾）八2> 2a>V2 长轴 2a>2V23. （1）焦点在x轴上,渐近线y=± （b/a）x a b/a=3/4a b=3t, a=4t a c=5t a e=c/a=5/4（2）焦点在y轴上,渐近线y= ± （a/b）x a a/b=3/4a a=3t, b=4t a c=5t a e=c/a=5/34. 4 或 45. e=c/a V

25、2,2,n - 9 )/2=a/c 1/2,1/ V2 n /2,2a cos(a n - 96. (0, 116a)1、2a ( n - 9 )/2 n /4, n /3, a 9的取值范围是n /3, n /2.n /3,353±4 土迥3, 32,0 )这个点在x=5上.解方程组x=5,y 2=8x ,7.8.9.( 7,(2, -4)10. 25122.显然该抛物线焦点是（则 x=5,y=2 V10. a 该点坐标为（5,2 V10）.用公式算得该点至抛物线距离为7.2.设直线为y=kx+a, 过（0,2 ）点，a可得a=2 y=kx+2与x2/9-y2/16=1有且只有一个

26、公共点 也就是方程组x2/9-y2/16=1 ; y=kx+2只有一组解将 y=kx+2 代入 x2/9-y2/16=1 得到：(16-9k2)x2-18kx-180=0就此讨论：当16-9k2=0时，方程只有一组解,也就是k=± (4/3)时，方程 只有一组解当16-9k2不等于0时，一元二次方程有且只有唯一解的条件 也就是b2-4ac=0,可以得到另一组k的值3：V椭圆,因且斑Hi，直线'-&一1 = °恒过定点(Q1),欲使其与椭圆了亠需-恒77|r7II有公共点，只需让址落在椭圆内或者椭圆上，即：， 二；，选C.4. XA2 - YA2/2 =1 c

27、 2=1+2=3 F(V3,0)过F且垂直x轴的直线是x=V 3代入则y2=4 y= ± 2所以此时AB=2-(-2)=4所以这里有一条且AB都在右支时其他的直线则 AB都大于4所以AB都在右支只有1条直线L交双曲线于A,B两点,A、B分别在两支时，顶点是(-1,0),(1,0)顶点距离是2<4 所以也有两条，关于x轴对称所以共有3条1. 2 2.x 2y -8 =03.4x22联如图和-所示，由 宀孑N丨得 宀1* b1 = 3P从而 F 己 4+ r+ F| ( - 2 + 0).设 A ( t >| ) ( *2 yi)»在仙方程为y 亨(x + 2).由

28、3*整理时 4m 13 = 0*=寺,X Xg匚xti =.又i佔丨=I甘Fi I - I m i 曲鶴半住茲式知= a3 + A. MFJ = * ezi - dA IABI = *5F| f - I 4Fr I = e(x, + + 2a4=2x-j + 2 = 3(2) */ I RF i f cq 血i 丨 AX： I = aet|A lil + f4F2i=，厶4fi丹周长为I肋I + ljl+ | =3 + 3A6、 (1)将 y=k(x+1)代入 yA2=-x,设 A (X1,y1) ,B(X2,y2)易得 X1+X2=-(2kA2+1)/kA2,X1*X2=1y1*y2=kA2

29、(X1+1)(X2+1)=-10A斜率 K1 为 y1/X1,0B 斜率 K2为 y2/X2,所以K1*K2=-1得证(2) 1/2(根 x1A2+y1A2* 根下 x2A2+yxA2)=根 10(xM2+y1A2) * (x2A2+yxA2) =40x1A2x2A2+(x1A2+y2A2+x2A2yM2)=402-(xM2x2+x2A2x1)=40x1x2(x1+x2)=-38(2kA2+1)/-kA2=-38kA2=1/36k=-1/62 27、 7、解：将 y =k(x 1)代入 匚=1 中得(1 3k2)x2 6k2x 3k2 -5=05 53、江=36k4-4(3k2 1)(3k2-

30、5)=48k2200,x-ix2 =6k23k2 1x-|x23k2 - 53k217777所以 MA MB =(x!$)(X2也)=(人：)(X2) y23333772= (x-)(x -) k (x, 1)(X2 1)33=(1 k2)x-|X2 (7 k2)(x! x2) 49 k2392 3k-572 6k2492=(1 k )2( k )(2) k3k2+133k2+1942-3k -16k 一549 ,2423k 1k :998. 设直线与椭圆的交点为A(X1, yj、B(X2,y2)M (2,1)为 AB 的中点 .X1 x4y1 - y22222又A、B两点在椭圆上，则X1 4y1 =16 , X24