圆锥曲线知识总结

1、、知识表格项目第一定义第二定义图形标准方程范围椭圆内容平面内与两个定点 Fi,F2的距离之和等于常数 （大于IF1F2I）的点的轨迹叫椭圆。平面内到定点与到定直线的距离之比为常数e（0 ： e ：1）的点的轨迹叫椭圆。1J£x y2 2 =1(a b o) a b|xa,| y 国bx y2 2 =1(a b o) b a|xb,| y a顶点与长短轴的长A(-a,0), A(a,0),长轴长 =2aBi(0,七),B2(0,b),短轴长 =2bA(0, -a), A(0,a),长轴长二2aBi(b,0), B2(b,0),短轴长二 2b焦占焦距丄八'、八、八'、准线

2、方程焦半径焦准距离心率准线间距对称性Fi(y,0), F2(c,0)| F1F2 |=2c(其中 c2 =a2 -b2)2x - _ac左 PFi = a exo,右PF2 二 a exoFi(0,-c),F2(0,c)|FiF2|=2c(其中 c2 =a2 -b2)下 PFi 二 a eyo,上 PF?二 a2.2abp c = c ce = C（0 ： e ：1）,b =1e2 （ e越小，椭圆越近似于圆）aad2c椭圆都是关于x,y轴成轴对称，关于原点成中心对称通径焦点三角形2b2q 二a椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形，其周长为2a 2c，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的

3、计算S.PFif -b2 tan £ .焦点弦三角形椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形，其周长为4a。参数方程x=aCOSk为参数)y =bsin vxfcost为参数) y = asi n注意:2 2 2 21、椭圆按向量a =（m, n）平移后的方程为: y1或q .峠-1，平移不改 abba变点与点之间的相对位置关系（即椭圆的焦准距等距离不变）和离心率。2、弦长公式：已知直线：y =kx亠b与曲线交于两点 A(x1, y1), B(x2, y2)，则I AB |=.1，k |冷-儿|=1 k(x22 = ±- ci)- 4xi x2或 I AB |=. 1ly2

4、_'yi 1=1.(y2yi)'4yiy23、中点弦问题的方法：方程组法，代点作差法。两种方法总体都体现设而不求的数学思想。双曲线项目第一定义内容平面内与两个定点 Fi,F2的距离之差等于常数(小于IF1F2I )的点的轨迹叫双曲线。第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数e(e 1)的点的轨迹叫双曲线。图形标准方程2 - 2 = 1（a, b o） a bJ/r范围IxI a,y R22yx2 - 2 = 1（a, b o） abx R,I yI a顶点与实 虚轴的长A(-a,0), A2(a,0),实轴长=2a 虚轴长=2b,a b叫等轴双曲线A(0, -a),民(0

5、2),实轴长 =2a 虚轴长=2b,a b叫等轴双曲线焦占焦距丄八'、八、八'、FgO）, F2（c,0）2 2 2| F1F2 2c（其中 c =a b ）F1（0,-c）,F2（0,c）IF1F2 |=2c（其中 c =a b ）准线方程当P(xo,yo)在右支上时P(xo,y°)在上支上时左 PF1 =ex3 a,右PF2 =exo -a下PF1= eyo a,上PF? =ey° -a焦半径当P(xo,yo)在左支上时P(xo,yo)在下支上时左 PF1 - -（exo a）,右 PF? - -（exo - a）下 PF1 - -（eyo a）,上PF

6、 -（eyo -a）渐近线方程.22b 亠xyy -二一x（或 220）a ab2 2a 亠yxy -二x（或 2=0）b ab焦准距22a b p =c _c c离心率e =C(e A1),b =Ve2-1 ( e越小，双曲线开口越小)，等轴双曲线的e=“2a a准线间距对称性双曲线都是关于x, y轴成轴对称，关于原点成中心对称通径2b2q =a焦点三角双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，7解题中常用余弦定理和勾股定形o1理来进行相关的计算 S母片尸2 =b cot.焦点弦三 角形双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。参数方程psec咕为参数）y =bta n 日!x=bta

7、n%为参数)=asec<3则1、2、3、4、5、抛物线项目内容定义平面内到定点F的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线。图形1II1$fj 1K-,爲I、7!/d 11N 丄 i 1 .、L、十十pR标准方程2y =2px (p >0)2y =2px (p >0)2x =2py (p >0)2x = -2 py ( p A 0)几何 性 质范围x KO,y w Rx兰0,y w Ry K0,x Ry兰0,x壬R:开口方向向右向左向上向下焦准距p(p>0)顶点坐标坐标原点（0，0）焦点坐标f(R,0)2F(-匕0)2F(0,卫)2F(0,)2准线方程l：x = -

8、P2l:x = p2l:y卫2l:T对称轴x轴x轴y轴y轴离心率e = 1通径长2p焦半径|PF i。峙|PFHhx0|PFFy七1 pf l=£- y°、焦点弦的结论：（针对抛物线：y2 =2px其中p 0）A（N,yi）,B（X2,y2），AB为过焦点F（卫,0）的弦,2焦点弦长公式：AB = Xi X2 p = 2 p 2pcot2 二=2p .sin u通径是焦点弦中最短的弦其长为2p_3 2, OAOBg2pX1X2以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切4已知A、B在准线上的射影分别为Ai、Bi，则三点A、0、Bi共线，同时B、0、Ai三点也共线6、已知A、B在准线

9、上的射影分别为 Ai、Bi，则.AFB! =90；7、|AF丨药齐一、顶点直角三角形：直角顶点在抛物线顶点的三角形与其对称轴交于一个 定点P(2 p,0)，反之，过定点 P(2p,0)的弦所对的顶点角为直角。三、从抛物线的焦点出发的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行。四、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：给出直线的方向向量 u = 1,k或u = m, n ；给出OA OB与AB相交，等于已知OA OB过AB的中点；给出PM PN =0，等于已知P是MN的中点；给出AP= BP BQ，等于已知P,Q与AB的中点三点共线；-_给出以下情形之一：AB AC ;存在实数,使A AC ；若存

10、在实数 - =1,使OC "OAOB,等于已知A,B,C三点共线.给出MA MB =0，等于已知 MA _ MB，即.AMB是直角，给出MA MB =m ： 0，等于已知(1)(6).AMB是钝角，给出MA MB = m 0，等于已知.AMB是锐角，MA.MB=MP，等于已知MP是.AMB的平分线/(8) 给出 九十MA MB(9) 在平行四边形 ABCD中，给出(AB)AD) gAB -jAD)0，等于已知 ABCD是菱形；(10) 在平行四边形 ABCD中，给出|AB AD|=|AB-AD|，等于已知 ABCD是矩形；2 2 2(11) 在AABC中，给出OA -OB -OC，等于已知O是 ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点)；(12) 在 ABC中，给出OA OB OC =0，等于已知O是 ABC的重心(三角形的重心是三角 形三条中线的交点)；(13) 在：ABC中，给出垂心是三角形三条高的交点)；OA OB =OB OC =OC OA，等于已知 O是- ABC的垂心(三角形的(14)在 ABC中，给出r嵩 侥)-R)等于已知Ap通过,ABC的内心; a OA b OB c OC二0,等于已知O是 ABC的内心(三角形内切圆OP =OA(15) 在 ABC中，给出 的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点)1(16)