圆锥恒过定点问题教师

1、x y21例1.如图，椭圆E：孑+話=1(a>b>0)的左焦点为Fi,右焦点为F2,离心率e=空，过Fi的直线交椭 圆于A B两点，且 ABF的周长为8.(I)求椭圆E的方程；(II )设动直线丨：y= kx + m与椭圆E有且只有一个公共点 P,且与直线x= 4相交于点Q试探究：在 坐标平面内是否存在定点 M使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点 M的坐标；若不存在，说 明理由.【答案】解：(I) t|AB + |AF| + |BF| = 8,.|AF| +1 FB| +1 AF| + | B冃=8。又°.°| AF| + | AF| = | BF| +

2、 |BF| = 2a,4 a= 8, a = 2。C 122乂t e=2，即a= 2，二 以 c = 1。 b="a c = .3。2 2 椭圆e的方程是4+y = 1。22x + 8kmx+ 4m 12 = 0。y=kx+m(II )由 x2 y2 得(4 k2+ 3)43t动直线丨与椭圆E有且只有一个公共点P(x。，y。)，二m0且A = 0,.64k2m 4(4 k2 + 3)(4 m 12) = 0,化简得 4k2 m + 3= 0,此时Xo= 4km4k2 + 3=4km，y0=kx0+m=mP 4m，m。.x=4由 Q得 Q4,4 k+ m。y=kx+m假设平面内存在定点

3、 M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设Mx1,0)，则MP MQ= 0对满足式的 m k恒成立。3,MQ= (4 X1,4k+ m ,占 16k 4kx12 12k得弔+石仪十x1 + + 3 = 0,整理，得(4X1 4)k + x1 4x1 + 3= 0。t式对满足式的 m k恒成立， !4：一4=0，解得X1= 1x1 -4x1 +3=0存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点 M例2.如图所示，等边三角形 OAB的边长为8 , 3,且其三个顶点均在抛物线(I )求抛物线E的方程；(II )设动直线丨与抛物线E相切于点P,与直线y= 1相交于点 为直径的圆恒过y轴上某定点

4、.E: x2= 2py(p>0)上.Q证明以【答案】 解：(I )依题意，|OB = 8 3,Z BOy= 30°。设 B(x, y)，则 x=| OBsin30 ° = 4 3, y = | Oos30 ° = 12。(II )由(I )知 y= x2, y'=设 P( xo, yo)，则 xo工 0,且 I1 1 1 2的方程为 y y0= 2x0(x X。)，即 y = xox 4X0。Xo2 - 4® x = 得2Xo。y = -1jXo 4所以QK，一1假设以PQ为直径的圆恒过定点 M由图形的对称性知 M必在y轴上，设M0 ,屮)

5、，令MP- M( 0对满足yo=x0 0)的 X0, y0恒成立。由 MP= (xo, yo y1), M(=x24云，1一 y1 ,因为点 B(4 3, 12)在 x2 = 2py 上，所以(4 3)2= 2px 12,解得 p= 2 故抛物线E的方程为x2= 4y。由于 MP MQ= 0,得 2 yo yoy1 + y1 + y1= 0，即(y1+ 屮一 2) + (1 y"yo= 0(*)。1 2一1 一 yi = o由于(*)式对满足yo=xo(xo工0)的yo恒成立，所以2，解得y1= 1。4 2*+% - 2 = 0故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M0,1)。3. 已知

6、抛物线C的方程为y2=2px (p > 0),直线：x+y=m与x轴的交点在抛物线 C准线的右侧.(I)求证：直线与抛物线 C恒有两个不同交点；()已知定点 A (1, 0),若直线与抛物线 C的交点为Q, R满足I,是否存在实数 m,使得原点O到直线的距离不大于,若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质. 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程.(I)联立x+y=m与y =2px，证明> 0,即可得到直线I与抛物线C恒有两个不同交点；(H)根据I，结合韦达定理，求出p的表达式，利用原点 O到直线I的距离不大于丄匚4

7、确定m的范围，由此可得正实数 p的取值范围.(I)证明：由题知22 2联立 x+y=m与 y =2px,消去 x 可得 y +2py - 2pm=0-( *)T p> 0 且二-上 /. =4p2+8pm> 0,2所以直线I与抛物线C恒有两个不同交点；4分(H)解：设 Q( xi, yi), R (X2, y2),由(* )可得 yi+y2=- 2p, yi?y2= 2pm故: 二., |，- .- |,=(m_ 1 _ yj_ 1 _ 咒)+ViVq22=2yiy2+ (1 m) (yi+y2) + ( m- 1) =m ( 2+2p) m+1- 2p=0.:'I 1 _

8、 :- 1: _''P=2(l)又由原点o到直线I的距离不大于二则有 4 2 22由(I)有门， 二，即.I "_'，结合 一“ r ,化简该不等式得：5m+2m+1> 024 nri-L22恒成立，：,，令 t=m+1，则_而函数'二在'.'上单调递减，二-2 t2212 y 410分.存在m且.实数p的取值范围为 |2乙1242 24. 已知椭圆 与占=1(a b 0)与x轴、y轴的正半轴分别交于 A，B两点，原点O到直线AB的a b2苗距离为一一，该椭圆的离心率为5(1) 求椭圆的方程；5(2) 是否存在过点 P(0,-)的

9、直线I与椭圆交于 M，N两个不同的点，且对I夕卜任意一点 Q，有3-1 T TQM =4QN -3QP成立？若存在，求出I的方程；若不存在，说明理由。(1 分)解：(I)由题意得，直线 AB的方程为bx ay -ab =0(a b - 0).由 a2 b222及 ab23，得 a =2,b =1. 2所以椭圆的方程为Hl.(n；QM =4QN-3QP , PM*(3分)(4分)(6 分)当直线丨的斜率不存在时，M(0,_ 1,N(0,1),易知符合条件，此时直线丨的方程为x =0.( 8 分)5当直线丨的斜率存在时，设直线丨的方程为y = kx 3(9 36k2)x2120kx 64 =0.2

10、24由二 14 400k2 -256(9 36k2)0，解得 k29120 k 设 M 以，yj, N(X2, y?)，则捲 X22，9 + 36k64榔22 ,(10 分)9 36k由得x<| = 4x2.2 2由消去x1,x2，得 16 2(24k)2 2 ,即36k 2 =1，无解.9+36k(9+36k)9+36k综上存在符合条件的直线 ：x = 0. (12分)5. 已知椭圆的中心是坐标原点 O,焦点在x轴上，短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个 正方形的顶点过右焦点 F与x轴不垂直的直线I交椭圆于P , Q两点.(I)求椭圆的方程；(n)在线段OF上是否存在点M (

11、m,0),使得I MP |=| MQ | ?若存在，求出m的取值范围；若不存在, 请说明理由.解：(I)因为椭圆的短轴长：2b =2= b =1 ,又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以：2xb = c= a b c 2 ;故椭圆的方程为：y =1 4分2(n) (1)若I与x轴重合时，显然 M与原点重合，m = 0 ；(2)若直线 I 的斜率 k = 0,则可设 I : y =k(x -1)，设 P(x1,y1),Q(x2,y2)则:八 k(x1)_x2 2y2 _2 =0x2 2k2(x2 -2x 1)-2 =0所以化简得：(1 2k2)x2 4k2x 2k2 -2 =

12、0 ;花 二二=1 2k2PQ的中点横坐标为:叱，代入l:y二k(x_1)可得:1 2k2PQ的中点为厶)，1 +2k2 1 +2k2由于|MPgMQ|得到m!k2k +1所以:k2m21 2k1 1L2)1综合(1) (2)得到:m 0,)214分6.设椭圆2 2C：% 每=1(a b 0)的离心率为 a b4.e冷,点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为(1) 求椭圆C的方程；(2) 椭圆C上一动点P(x0,y0)，关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x4y1的取值范围. 依题意知，2a =4,. a = 2.解：(1)e 詣二亍 c2b 2c22所求椭圆C的方

13、程为2 2x y .1.42(2)v点P (xo, yo )关于直线y =2x的对称点为PX,% ),yo y1 7 = _1,*x _x18 分y° + % _ 2 存。+ %.2 - 2 .解得:4y° - 3x05，y3y0 4x010分3x<| 4y1 =5x0. 12点 P x0,y在椭圆C :x22y-=1 上，2 _x0 -2,则一 10 三一5x0 乞 10.13分二3x1 -4y1的取值范围为-10, 10 I2 27.已知抛物线G : y2 =2 px( p . 0)的焦点F以及椭圆C2:爲笃=1 (a b . 0)的上、下焦点及左、右 a b顶点

14、均在圆O:x2 y2 =1上.NA = -1 AF, NB = 2 BF，贝y(1 )求抛物线C1和椭圆C2的标准方程;(2)过点F的直线交抛物线 Ci于代B两不同点，交y轴于点N，已知，12是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由.解: (1)解：(1)由抛物线G : y2 =2px(p 0)的焦点F,0)在圆O:x2 y2 =1上得:2抛物线 Ci : y2 =4x2 2(-b,0),( b,0)均在圆同理由椭圆 &2恙 7 =1(a b 0)的上、下焦点(0,c),(0, -c)及左、右顶点a bO:x2 y2 =1 上 可 解 得b=c=1,. a = '.22C2

15、 : x2-12(2) ："2是定值，且定值为1 设直线 AB 的方程为 k(x -1),A(x1, y1), B(x2,y2)，则 N(0, -k).联立方程组 y =4x ，消去 y 得: k2x(2k24)x k0,ly=k(x1).: -16k2160,且x1x2 =12k2 十4x1x2k2由 NA -AF ,NB = 2 BF 得：'(1 -xj =心 2(1 - x2) = x2,整理得：二,1 X?2k2 +4214分1 2 二 x1 X2-2X1X2二二2_一1.1-(X1 X2) X1X21 2k 4x22-右成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明

16、理由.(II)易求得右焦点F(1,0),8.已知椭圆C:乡爲=1(a b . 0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点构成的三角形a b2的周长为2 22 .(I)求椭圆C的方程；(II )设过椭圆C右焦点F的动直线I与椭圆C交于A B两点，试问：在x轴上是否存在定点 M , 使 mA mb 二c r(I)由题意知：-，且2a 2 2.2 22解得：a = 2, c = 1进而 b2 = a2 -c2 = 1椭圆C的方程为假设在x轴上存在点T TM(t，0)(t为常数)，使 MA MB6J2当直线I的斜率不存在时，则I :x =1，此时A(1,), B(1,-),2 2MA MB =(1 -t

17、,=(1_t)2-丄2 1653解得t =或.44当直线I的斜率存在时，设l:y=k(x-1)，y =k(x-1)联立方程组 X22 ，消去y整理得(2 k2 1)X2 -4k2x 2k2 -2 = 0设 A(X1, yj, B(X2, y2)，则禺 x?二4k222k-22k21，“2 一 2k21MA MB =(x, -t,k(x, -1) (x2 -t,k(x2 -1)-(k2 1)x $ -(t 2)(/2x ) 2 k 2 t22 k - 22.=(k 1)2 (t k )2k +1k2 t22k 12+ 2(4t -1)k2二 t2k2 15时，MA MB为定值:4由可知，在x轴上

18、存在定点M(5,0)，使MA MBt2壬丄167MB 成立169.设椭圆C:丄+一=1(a>b>0)过点M( 1 , 1),离心率e巫,O为坐标原点.3(I)求椭圆C的方程.(H)若直线I是圆O:x2+y2=1的任意一条切线，且直线I与椭圆C相交于A, B两点，求证：？ I】为定值.解：(I)由题意可得'c Vga2=b2+c2，解得彳 丄宀Zb21宀二：,b22椭圆C的方程为(H)当圆O的切线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=kx+m则圆心O到直线I的距离.2 2 1+k =m.将直线I的方程和椭圆C的方程联立，得至9( 1+3k2) x2+6kmx+3rh 4=0.

19、=1设直线I与椭圆C相交于A (X1, y", B (X2, y2)两点,6km_ 3 m - 4z，乂 h *二.l+3k2l+3k2二=X1X2+ (kx1+m (kx2+m=: ,1 -'-I.: I -:-'丄厂-二i+3k2=0,当圆的切线I的斜率不存在时，验证得i.综合上述可得，匸为定值0.2 2彳10.已知椭圆C:冷 爲=1 (a b 0)的离心率为-，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线a b2x -y亠.6 =0相切.(I)求椭圆C的方程；()设P(4,0) , A , B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E ,

20、证明直线AE与x轴相交于定点Q ;解：(I)由题意知e =C,a 22 2 2所以 e2 二$ -a _ba即 a2 -b2 .3又因为b =6-所以 a2 =4 , b2 =3 .2 2故椭圆c的方程为v 1 .43()由题意知直线 PB的斜率存在，设直线 PB的方程为y = k(x 4).y k(x -4),/曰 2222由 x2V2得(4k2 3)x2 -32k2x - 64k2 一12 =0 .A设点 B(x1,y1) , E(X2, y2)，则 A(x，一yj .直线AE的方程为y -y2 =匕(x -x2).X2 -x令 y 0 得y2 (X _ X1 )令 y=0，得 x=x22

21、 -.y2将 y =k(x1 Y) , y? =k(X2 -4)代入,整理，得 x=2X1« 4(X1 +X2)X x2 _8由得XX 学2 4k2 +3整理，得x =1 .X1X22皆代入所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,O)-2 211.已知椭圆C :冷 笃=1 (a b 0)的离心率为a b5，定点M(2,0)，椭圆短轴的端点是3Bi，B2，且 MB MB2.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设过点M且斜率不为0的任意直线交椭圆C于A，B两点.试问x轴上是否存在定点P，使PM平 分.APB ?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由2 2 2(1)解：由52 a -b , be 212，9a2a2依题意 MB1B2是等腰直角三角形，从而 b=2，故a =3.2 2所以椭圆C的方程是y -1.94解：设人(心力)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x=my 2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2 9)y2 16my-20=0.所以y1-16m4m2 9y°2 =-204m2 9若PM平分.APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kpA kpB = 0.设P(a,0)，则有 呃 0 .