圆锥曲线重点知识点总结

1、、椭圆21.椭圆a2 y b21(a0)x a cos的参数方程是y bsin2x2.椭圆a2 y_ b21(a0)焦半径公式PF1 aexPF2ex Fi,F2分别为左右焦点3.焦点三角形:p为椭圆2 y b21(a bPF1F20)上一点，则三角形PFF2的面积s2?tan 2特别地，若PRPF2,此三角形面积为b2 ；4.2x在椭圆a2y_b1(a0)上存在点P,使 PF1PF2的条件是c > b,即椭圆的离心率e的范5.6.围是 2椭圆的的内外部点 P(x。，yo)在椭圆2_y_b21(ab 0)的内部2 X 2 a点Pdo, yo)在椭圆2y_b21(ab 0)的外部2西2 a

2、椭圆的切线方程2x(1)椭圆a2 y b21(a0)上'一占八、P(Xo, yo)处的切线方程是XoXy°y 12. 21ab过椭圆2 x2 a2y_b21(ab 0)外一点P(xo,yo)所引两条切线的切点弦方程是XoX2ayoyb2椭圆2 x2 a2b 1(a bI00o与直线Ax By C 0相切的条件是A a B b c .二、双曲线2x7.双曲线a2y_b21(a0,b0)的焦半径公式2PF1 |e(x J|c2|e(ax)|c8双曲线的内外部（1）点P（xo, yo）在双曲线1(a0,b0)的内部2Xoa点P（Xo, yo）在双曲线1(a0,b0)的外部9 双曲线

3、的方程与渐近线方程的关系（1）若双曲线方程为a渐近线方程:y（2）若渐近线方程为双曲线可设为2x2a2x2若双曲线与a有公共渐近线，可设为0，焦点在x轴上,0，焦点在y轴上）10.双曲线的切线方程2 2xy2.2(1)双曲线ab1(a0，b 0）上一点P（X0，y0）处的切线方程是X°X 2 ayoy 1b212x过双曲线a2y_1(a0,b0）外一点P（xo, yo）所引两条切线的切点弦方程是XoX2ayoyb2(3 双2x2a2 y_ b21(a0,b0）与直线Ax By C 0相切的条件是A2a2B2b2c211 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即b 值)三、抛物线抛物线y

4、2ax(a0）,焦点是（-a,0）,准线x4抛物线x2ay(a0）,焦点是（0,a）,准线y413.焦半径公式2抛物线y2px(p0） , C （Xo,y0）为抛物线上一点，焦半径CFXo14.过焦点弦长CDXiXiX2 p对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。15设点方法2抛物线y 2px上的动点可设为或 p(2pt2,2pt)或P (xo, yo),其中2小y0 2 px0四、圆锥曲线共性问题16.两个常见的曲线系方程（i）过曲线fi (x, y) 0f2（x, y）0的交点的曲线系方程是f (x, y)f2(x, y)0（为参数）.共焦点的有心圆2 2x_y21.2锥曲线系方程a kb其中k

5、2 2max a , b .当k min a2,b2时,表示椭圆；当 min a2,b2 kmaxVab时，表示双曲线.17直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB.(X1 X2)2 (y1 y2)2 或AB(1 k2)(x2 X1)2 |X1x21 . 1 tan2| y1 y2 L 1 cot2（弦端点A(X1,yJ, B(X2,y2)由方程y kxF(x,y)线的斜率）.18.涉及到曲线上的点 A,比如在椭圆中：B及线段AB的中点M的关系时，可以利用“点差法:A ( X1,y 1),B ( X2 , y 2),中占M( x 0,y °),则有:22X12y1 .21 (1)ab22X2

6、y 2-1 (2)2.2ab.2.2(1)(2)y1 y 2X1X2 ?(b)x° ?(b2)?(2X1X 2y1y 2ay 0a19圆锥曲线的两类对称冋题(1) 曲线F(x,y) 0关于点P(Xo, yo)成中心对称的曲线是F(2xo-x,2yo y) °(2) 曲线F(x，y) °关于直线Ax By C °成轴对称的曲线是x°y xy°x°xy° y2 代xy，用2代x ,用2代y即得方程Ax°x B X° y - Xy° Cy°y Dx°x2y°0，

7、曲线的切线，切点弦，中点2A(AxF(x2ABy C)B2，y2B(AxA2ByB2C)020. “四线” 一方程对于一般的二次曲线Ax2 BxyCy2Dx2Ey F 0，用 xox 代 x2，用 yoy 代 y，用弦，弦中点方程均是此方程得到五、椭圆的常用结论：1. 点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角.2. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去 长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切5.2 2x y若F0(x0,yo)在椭圆一2a b1上，则

8、过P。的椭圆的切线方程是 竽 遐a b1.2 卄x若F0(xo, y。)在椭圆一 a七 1外，则过P0作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦P1P2的直bb22 2X y7. 椭圆21 (a > b > 0)的左右焦点分别为Fi, F2，点P为椭圆上任意一点F1PF2a b，则椭圆的焦点角形的面积为8.2S f1pf2b tan1 2(a> b > 0)的焦半径公式| MF11 a exo,|MF2| a exo( F, c,0) , F2(c,0) M (x°, y°).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，

9、连结 AP和AQ分别交相应 于焦点F的椭圆准线于 M N两点，贝U MFL NF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A为椭圆长轴上的顶点， AP和AQ交于点M AP 和AQ交于点MFL NF.2X11. AB是椭圆右a1的不平行于对称轴的弦,M(x0,y°)为 AB的中点，贝U koM kABb22 ，a即Kabb2x°2 a y°2卄x12.右 P0(x0, y0)在椭圆一2 ab21内，则被Po所平分的中点弦的方程是ycyx02y。b2【推论】：2 卄xx右P°(X0, y°)在椭圆一2 a2 x 1内，则过Po

10、的弦中点的轨迹方程是2ab2X0X2ab2b21 (a>b>o)的两个顶点为 A( a,0), A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于 pp时ap2 2与A2P2交点的轨迹方程是务笃 1a b2 2Xy2、过椭圆一21 (a > 0, b>0)上任一点A( x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两abb x点，则直线BC有定向且kBC盯0 (常数)a y。3、若P为椭圆2y_b2(a> b> 0) 上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,PF1F2PF2F1，则tan co t2 22x4、设椭圆冷a2y_b2(a> b >

11、;0)的两个焦点为Fi、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点,中，记 F1PF2PF1F2sincF1F2P，则有e.sin sin a2x5、若椭圆 -2a2 y_ b2(a> b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L,则当0v 2 1时,可在椭圆上求一点P，使得PF是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项.2x6、P为椭圆二a2占 1 (a> b> 0) 上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则 b22a | AF2 | |PA| PF-i | 2 a | AF11,当且仅当A, F2, P三点共线时，等号成立.7、椭圆(x x°

12、)2(y Vc)21与直线Ax Byb2C 0有公共点的充要条件是"2 2A a2. 2B b(Axo2By。 C).2x8已知椭圆a2 y b2(a>b>0)，O为坐标原点,p、Q为椭圆上两动点，且OP OQ.(1)12|OP|2|OQ|A ; (2) |OP|2+|OQ|2的最大值为 ：a b2 ; (3) S OPQ的最小值是ba b2, 2a ba b9、过椭圆22xy22ab(a> b> 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于p，则迂旦| MN |2x10、已知椭圆a2yb21 ( a > b> 0)

13、,A、B是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与x轴相交于点 P(Xo,O)，则b2a2 b2X11、设P点是椭圆飞aF1PF2y牙1 ( a > b> 0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记b六、双曲线的常用结论:1、点P处的切线PT平分 PFF2在点P处的内角. PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴 的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)则 I PR IIPF212bL.(2)cos2S PF1F2b

14、tan .2X12、设A、B是椭圆笃a(a >b> 0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PABPBABPAc、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1) | PA| 2a22ab | cos |c2cos2.(2)tan tan2e .(3)S PAB2a2b2厂ycot13、已知椭圆(a > b> 0)的右准线I与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线|上，且BC X轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切 线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切

15、线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直e(离心率).16、椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点17、 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.5、若Po(xo, yo)在双曲线2 X 2 a(a>0,b >0)上，则过F0的双曲线的切线方程是X0X 2a6、若P°(X0, y°)在双曲线2 x 2 a(a>0,b >0)外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P2,则切点弦P1P2的直线方程是2ay°yb

16、218、椭圆焦三角形中，半焦距必为内、夕卜点到椭圆中心的比例中项x7、双曲线二_a2x8双曲线_ay2 1 (a > 0,b >o)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点F1PF2b22则双曲线的焦点角形的面积为 S FPFb2C0t .厂1P厂221 (a>o,b >O)的焦半径公式：(Fd c,o), F2(c,o)当 M (x°, yo)在右支上时，|MFi|exoa, | MF 2 | ex0 a ；当 M(x0,y0)在左支上时,| MFi |exo| MF21 exo a。9、 设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲

17、线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交 相应于焦点F的双曲线准线于 M N两点，则MF丄NF.10、 过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点 M AP和AQ交于点N,贝U MF丄NF.11、AB是双曲线2 2xy2 ,2ab1 (a> o,b >o)的不平行于对称轴的弦，M( xo, yo )为AB的中点，则KomK ab墾，即a yoK ABb2xo2ayo12、若Po(xo, yo)在双曲线2x2a1 ( a> 0,b > 0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是xx2_ay°y2x02ay。21

18、3、若Po(Xo, yo)在双曲线2 x ""2 a2 y_ b21 ( a> o,b > 0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是XoX2ayoyb222x y22a b【推论】：1、双曲线2每 1 (a>0,b > 0)b2的两个顶点为 A1( a,o), A>(a,o),与y轴平行的直线交双曲线于R、P2时AR与AP2交点的轨迹方程是2x2a2x2、过双曲线 -2 a占 1 ( a>0,b > o) 上任一点 A( x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于bB,C两点，则直线BC有定向且kBC叹(常数).2a y。3、若

19、P为双曲线2y(a>0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,Fi, F 2是焦点，PF1F2PF2F1，则c atan cot(或2 2c_a tan cot). c a2x4、设双曲线 -2a2y_b21 ( a>0,b > 0)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在厶PFF2中，记F1PF2PF1F2F1F2Psin，则有(sin sin )ce.a2x5、若双曲线飞a22y21 (a> 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1、b2F2,左准线为L,则当1< e<、21 时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P

20、到对应准线距离 d与PF的比例中项.6、P为双曲线2Yy 1 ( a>0,b > 0) 上任一点,F 1,F 2为二焦点，A为双曲线内一定点，则 b2|AF2| 2a|PA| | PF1 |,当且仅当 代F2,P三点共线且P和A, F2在y轴同侧时，等号成立.2x7、双曲线一2a(a>0,b >0)与直线 Ax By C0有公共点的充要条件是"2 2 2, 2A a B bC2.8已知双曲线2 x 2 a2yb21 (b> a > 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且 OP OQ.12|OQ|丄；(2) |OP|2+g2的最小值为 :a b2 ; ( 3) SOPQ的最小值是bb a2-2a bi22b a9、过双曲线2x2a2yb2(a> 0,b > 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于 M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则咱空| MN |22X11、设P点是双曲线笃aF1PF2则 | PFi