坐标运算与数量积

1、专题训练：向量的坐标表示与数量积运算< 一 >向量的坐标表示【知识检测】1、一般地，对于向量 a，当它的起点移至 时，其终点的坐标(x, y)称为向量a的(直角)坐标，记作。2、 有向线段AB的端点坐标为 A(xi, yi) , B(x2, y2)，则向量 AB的坐标为。3、若 a = (Xi, y 1) ， b=(x2,y2) a + b =。a b =。4、 向量平行的线性表示是 (共线向量基本定理) 。5、 向量平行的坐标表示是：设a =(为，力),b =(X2, y2)(a = 0)，如果a / b，那么 ，反之也成立。【典型例题选讲】例1如图，已知0是坐标原点，点 A在第

2、一象限，oA =4j3, NxOA= 60°，求向量0A的坐标 。例 2:已知 A (-1, 3), B ( 1, -3), C (4 ,1),D (3 ,4),求向量OA,OB,AB,的坐标。例3:平面上三点 A (-2,1), B (-1,3), C (3, 4),求D点坐标，使 A,B,C,D这四个点构 成平行四边形的四个顶点。例 4：已知 P1 ( x1,y1 ), P2( x2,y2 ), P是直线 P1P2上一点，且 RP = PP2(丸式1),求P的坐标。 1 1 - 例 5 已知 A-Q) , B(3T eg，并且 AE=3AC BF = 3BC，求证：EF AB。例

3、6：已知a =(1,0) ,b = (2,1),当实数k为何值时，向量ka -b与a - 3b平行？并确定此时它们是同向还是反向。【课堂练习】1、与向量a=(12,5)平行的单位向量为2、若 O (0,0) ,B(-1,3)且 OD =3 OB，贝U D 坐标是：3、 已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA| =2 , XOA= 1500求向量 OA的坐标。4、已知边长为2的正三角形 ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象 限，D为AC的中点，分别求 AB,AC,BC, BD的坐标。5、已知 a = (2,3), b = (6, y),且 a / b，求实数 y 的值。6、

4、已知，平行四边形 ABCD的三个顶点的坐标分别为A (2, 1), B ( 1,3) , C (3,4),求 第四个顶点的D坐标。7、已知 A (0, 2), B (2, 2) , C (3, 4)，求证：A , B , C 三点共线。8、(1 )已知向量a=(-3, -4)，求与向量a同方向的单位向量。(2)若两个向量a = (-1, x), b = (-X, 4)方向相同，求a - 2b。<二 > 向量的数量积【知识检测】叫做向量a与1. 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为二，则把数量b的数量积(或内积)。规定：零向量与任何一向量的数量积为 2.已知两个非零向量 a与b，作0

5、A = a, OB=b，则叫做向量a与b的夹角。当日=0°时，a与b，当日=180°时，a与b；当9=90°时，则称a与b3.对于a *bab co曲，其中叫做b在a方向上的投影。4.平面向量数量积的性质：若a与b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，二是a 与b的夹角，则：fffT fT»ae = ea= a *co二ab=0= a丄b； 了5兰a b若a与b同向，贝U ab = a6 ；若a与b反向，则；*a设二是a与b的夹角，贝U c°sr二5、右 a =(Xi, yi), b =(X2，y2)贝H a b =6、向量的模长公式：2厶r

6、r-22设 a=(x, y)贝V a = a a cos 日=aa=x + y,则有 c°s"= a 1b*7、向量的夹角公式：设 a= ( Xi, yi) , b = (x2,y2) , a 与 b 的夹角为 v8、两个向量垂直：*b-fc-fc- -b-b-b设 a=( x1, y1)， b=(x2,y2)，a0,bH0，a丄 b吕 注意：对零向量只定义了平行，而不定义垂直。 【典型例题选讲】例1:已知向量a与向量b的夹角为v , |=2 ， b = 3，分别在下列条件下求 a * b :(1)二=135 0 ；(2) a / b ；(3) a _ b例2：已知|a =

7、 4, b = 8,且a与b的夹角为i200 o计算：(1) (a+2b) (2a_b) ; (2)a+2* 。例3：已知= 4 , |b = 6 , a与b的夹角为600 ,求：(1 )、a b (2)、a (a+b)(3)、(2a-b)(a+3b)例 4：已知 a =(2 , -1) , b = (3,-2)，求(3a -b)(a -2b)。例5：在二ABC中，设AB = (2,3), AC = (1,k)且二ABC为直角三角形，求k的值。r* f*fc由例 6：设向量 a = e - e2 , b = 4e 3e2，其中 e =(1, 0), e2 = (0, 1)(1)、试计算a *b

8、及a * b的值。(2)、求向量a与b的夹角大小。【课堂练习】I 1 r1、已知a = 10b = 12，且(3a) *( b) = -36，则a与b的夹角为52、已知a、b、c是三个非零向量，试判断下列结论是否正确：(1 )、若 a*b，则 a / b()(2) 、若 ac=bc，贝U a =b()(3) 、若 a+b = ab，则 a 丄 b()3、 已知 a b = 0 ,甘=2, b =3, (3a + 2b) .(ha b) = 0，则& =4、四边形ABCD满足A B = DC，则四边形ABCD是( )A、平行四边形 B、矩形 C、菱形D、正方形5、正 MBC边长为a ，则ABaC+BCCA + CAAB =6、已知 a = (2,-2),b =(1,-2)，求：(a-b)(3a-2b).7、已知向量a = (1,1),b = (2,-3)，若ka-2b与a垂直，则实数k =8、已知 a = (1,2),b =(x,1)若 a+2b与 2ab平行，则 x=9、