最全整式讲义

1、德润教育补习班初一数学第十一课整式讲义、复习1、列代数式(1) 若正方形的边长为 a,则正方形的面积是；(2) 若三角形一边长为 a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为 (3) 若x表示正方体棱长，则正方体的体积是；(4) 若m表示一个有理数，则它的相反数是 ；(5) 小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款 元。2、请观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征。答案：a21/2ahX3-m12x二、探究新知1. 单项式：通过特征的描述，概括单项式的概念：单项式即由数字和字母 的乘积组成的代数式称为单项式。补充，单独一个数字 或一个字母也是单项式，如a, 5。2练习

2、：判断下列各代数式哪些是单项式？x 1(1) ； (2)abc； (3)b2;5ab2; (5)y;xy2;5。23. 单项式系数和次数：进一步观察单项式结构，总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的。以四1个单项式a2h，2 n r，abc， m为例，说出它们的数字因数是什么？接着说出以上几个单3项式的字母因数是什么？各字母指数分别是多少？单项式的次数：是指单项式中所有字母因数的指数和，即所有字母的指数的和叫做这1个单项式的次数。例a2h的次数是33单项式的系数：单项式中的数字因数。如：2xy的系数是2； -5zy的系数是-54判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请

3、指出它的系数和次数。 x + 1 ；丄；n r2；一a2box2答：，因为；，因为；，因为；，因为o5.下面各题的判断是否正确？ 7xy2的系数是7；x2y3与x3没有系数；ab3c2的次数是0+ 3+ 2；一a3的系数是一1; 一32x2y3的次数是7;2 n r2h的系数是2。33通过以上练习及例题，注意以下几点： 圆周率n是常数； 当一个单项式的系数是 1或一1时，“ 1通常省略不写，如 x2, a2b等; 单项式次数只与字母指数有关。、自我检测2、指出下列单项式的系数和次数(1) y9的系数是次数是工R2;单项式 5的系数是(2 )单项式-響的系数是，次数是2，次数是乙)m2n的系数是

4、一次数是一；单项式5xy的系数是，次数是3、 -0.5m x4y与6xmy3的次数相同，求m的值.24、 下列代数式1,-a2，-x2y，辿，3a b，0 ,36cm中，是单项式的是 。(只填序号)5、卜列说法止确的是()A、2丝单项式的系数是55，次数是2.B、单项式a的系数为1，次数是0C、xy 1是二次单项式D、-ab单项式的系数为-，次数是2 .277整式、复习引入：1 列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是(2)某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生人;(3)图中阴影部分的面积为;鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头 个，脚只。2 观察以上所得出的四个代数式

5、与上节课所学单项式有何区别。(1) 2(a+ b) ;(2)21 + x ;(3)a+ b ;(4)2a+ 4b。二、讲授新课：1. 多项式：板书由学生自己归纳得出的多项式概念。上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。像这样， 几个单项式的和叫做多项式(polynomi al)。在多项式中， 每个单项式叫做多项式的项(term)。其中，不含字母的项，叫做常数项(constant term)。例如，多项式3x2 2x 5有三项，它们是3x2 , - 2x, 5。其中5是常数项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式 的次数。例如，多项式3x2 2x 5是一个

6、二次三项式。(1) 多项式的次数不是所有项的次数之和；(2) 多项式的每一项都包括它前面的符号。2. 例题：例1 :判断: 多项式a3- a2b + ab2 b3的项为a3、a2b、ab2、b3，次数为12; 多项式3n4 2n2+ 1的次数为4,常数项为1。注意：第 题中第二、四项应为一a2b、一 b3多项式的次数为最高次项的次数。例2 :指出下列多项式的项和次数：(1) 3x 1 + 3x2 ；(2)4x3+ 2x 2y2。解：略。例3 :指出下列多项式是几次几项式。(1)x3 x + 1;(2)x3 2x2y2+ 3y2。54例4填空：-a2b - ab+ 1是次项式，其中三次项系数是

7、，二次项43为，常数项为，写出所有的项。 已知代数式2x2 mnx2+ y2是关于字母x、y的三次三项式，求 m、n的条件。 补充定义：单项式与多项式统称整式(in tegral expressio n)。三、课堂小结： 理解多项式的定义，能说出一个多项式是几次几项式，最高次数是几，分别由哪几 项组成，各项的系数分别为多少，常数项为几。 这堂课学习了多项式，与前一节所学单项式合起来统称为整式，使知识形成了系统。五、自我检测1、多项式3x2 5x 2是次 式,常数项是。2、飞机的无风飞行航速为a千米/时，风速为20千米/时.则飞机顺风飞行4小时的行程是米；飞机逆风飞行3小时的行程是米3、多项式2

8、x2 x 1的各项分别是()2A、2x ,x,12D、 2x , x, 12 2B 、 2x , x,1C、2x ,x, 14、下列各项式中，是二次三项式的是()A、a2b22B、x y 7 C、5 x y22小 2D、x y x 3x5、原产量n吨，增产A、(1-30%) n 吨6、下列说法中正确的是(30%之后的产量应为()B、(1+30%) n 吨 C、n+30%吨 D、30%n 吨)A. 5不是单项式2327、多项式4x y 5x yx y2367xy 是7B.23是单项式 C. x y的系数是0 D. x 是整式21项式，多项式2-5xy2 4x3y是 次项式，它的项数为，次数是8、

9、在代数式x2 5, 1,x23x2, ,-,x2x1厂中，整式有()A.3个B.4个C.5个D.6个整式的加减、复习引入：1、创设问题情境、5个人+8个人=5只羊+8只羊=5个人+8只羊=8x2y， mn2， 5a， x2y， 7mn2，|， 9a，xy20，0.4mn2， -， 2xy2。92、观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类。、讲授新课：1 同类项的定义:2我们常常把具有相同特征的事物归为一类。8x2y与x2y可以归为一类，2xy2与一弓一3可以归为一类，-讪2、7讪2与0.4讪2可以归为一类，5小9a可以归为一类，还有专、°与9也可以归为一类。 8x2y与x2y

10、只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是2, y的指数都是1;同样地，2xy2与牛 也只有系数不同，各自所含的字母都是 X、3y，并且x的指数都是1，y的指数都是2。像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项 (similar terms)。另外，所有的常数项都是同类项。 比如，前面提到的|、0与|也是 同类项。2.例题：例1：判断下列说法是否正确，正确地在括号内打，错误的打“X” 。(1)3x与3mx是同类项。 ()(2)2ab与一5ab是同类项。()(3) 3x2y与一丄yx2是同类项。()3(4) 5ab2 与2ab2c 是同类项。()(5) 23与

11、32是同类项。例2 :指出下列多项式中的同类项：(1)3x 2y + 1 + 3y 2x 5;(2)3x2y 2xy2 + : xy2号 yx2。32例3: k取何值时，3xky与x2y是同类项？例4:若把(s+ t)、(s t)分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项。(1)!(s+1) 5(s t) 4(s+ t) + (s t);(2)2(s t) + 3(s t)2- 5(s t) 8(s1)2+ sto例5 :若2amb2m+3n与a2n 3b8的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是 例6:请写出2ab2c3的一个同类项你能写出多少个？它本身是自己的同类项吗 ？三、课堂小结： 理解同

12、类项的概念，会在多项式中找出同类项，会写出一个单项式的同类项，会判断同类项。 这堂课运用到分类思想和整体思想等数学思想方法。 学习同类项的用途是为了简化多项式，为下一课的合并同类项打下基础。四、自我检测1、指出下列多项式中的同类项：(1)3x 2y+ 1 + 3y 2x 5;(2)3x2y 2xy2 + -3 xy2专 yx2。322、k取何值时，3xky与x2y是同类项？3、若把(s+1)、(s t)分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项。1131(1)-(s+ t) - (s t)-(s+ t) + -(s t);(2)2(s t) + 3(s t)2 5(s t) 8(s t)2+ s

13、 t。35464、若5x3ym和9xn 1y2是同类项，贝U m=5、下列各组式子中，是同类项的是()2C、2x与 2xD、5xy 与 5yz2 2A、3x y 与 3xy B、3xy 与 2yx6、F列说法正确的是()A.ixyz 与 3xy是同类项C. 0.5 x3y2和7x2y3是同类项1 1B.-和-x是同类项x 2D. 5m2n与一4nm2是同类项7、写出-5x3y2的一个同类项8、观察下列一串单项式的特点：xy ,2x2y , 4x3y ,8x4y , 16x5y ,(1) 按此规律写出第9个单项式.(2) 试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？整式的加减(2)一、复

14、习引入：为了搞好班会活动，李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品。他们首先购买了15本软面抄和20支水笔，经过预算，发现这么多奖品不够用，然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔。问： 他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔？ 若设软面抄的单价为每本x元，水笔的单价为每支 y元，则这次活动他们支出的总金额是多少元？二、讲授新课：1 合并同类项的定义：可根据购买的时间次序列出代数式，也可根据购买物品的种类列出代数式，再运用加 法的交换律与结合律将同类项结合在一起，将它们合并起来，化简整个多项式，所的结果都为(21x + 25y)元。由此可得：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。(板书：

15、合并同类项。)2.例题：例1:找出多项式3x2y - 4xy2 3 + 5x2y+ 2xy2+ 5种的同类项，并合并同类项。根据以上合并同类项的实例，让学生讨论归纳，得出合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母指数保 持不变。例2 :下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正。(1)2x2 + 3x2=5x4；(2)3x + 2y=5xy ;(3)7x2 3x2=4 ； (4)9a2b 9ba2=0。(通过这一组题的训练，进一步熟悉法则。)例3 :合并下列多项式中的同类项： 2a2b 3a2b + 0.5a2b;a3 a2b+ ab2 + a2b ab2+ b3

16、; 5(x + y)3 2(x y)4 2(x + y)3+ (y x)4。(用不同的记号标出各同类项，会减少运算错误，当然熟练后可以不再标出。其中第题应把(x + y)、(x y)看作一个整体，特别注意(x y) 2n=(y x)2n, n为正整数。)例 4 :求多项式 3x2 + 4x 2x2 x+ x2 3x 1 的值，其中 x= 3。三、课堂小结： 要牢记法则，熟练正确的合并同类项，以防止2x2 + 3x2=5x4的错误。 从实际问题中类比概括得出合并同类项法则，并能运用法则，正确的合并同类项。四、自我检测2、下面计算正确的事()A. 3x2 x2=3 B. 3a2 + 2a'

17、=5a51C. 3 + x =3 x D. 0.25 ab + ba =043、下列运算中正确的是()2 2 2 2 2 2 2 2A、3a 2a a B、3a 2a 1 C、3x 2x 3 D、3x x 2x4、已知单项式3amb2与一-a4bn 1的和是单项式，那么m =, n =35、化简下列各式.(1)5a 3b 6a 7b整式的加减(3)一、新授利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？现在我们来看本章引言中的问题(3):在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通过非冻土地段的时间为(t 0.5)小时，于是，冻土地段的

18、路程为100t千米，非冻土地段的路程为120( t 0.5)千米，因此，这段铁路全长为100t+120 (t 0.5)千米 冻土地段与非冻土地段相差100t 120 (t 0.5)千米 问题：上面的式子、都带有括号，它们应如何化简？利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：100t+120 (t 0.5) =100t+120t+120>C 0.5) =220t 60100t 120 (t 0.5) =100t 120t 120 X( 0.5) = 20t+60我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号.上面两式去括号部分变形分别为：+120 (t 0.5) =+120t 60120 (t

19、 0.5) = 120t+60比较、两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.特别地，+ (x 3)与(x 3)可以分别看作1与1分别乘(x 3).利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得：+ (x 3) =x 3(括号没了，括号内的每一项都没有变号)(x 3) = x+3(括号没了，括号内的每一项都改变了符号)去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予考虑，做到要变都变；要不变，则谁也不变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项.二、范例

20、学习例1 .化简下列各式：(1) 8a+2b+ (5a b);(2) (5a 3b) 3 (a2 2b).例2两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，？两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时.(1) 2小时后两船相距多远？(2) 2小时后甲船比乙船多航行多少千米？思路点拨：船顺水航行的速度=船在静水中的速度+水流速度， 船逆水航行速度=船在静水中行驶速度-水流速度.去括号时强调：括号内每一项都要乘以2，括号前是负因数时，去掉括号后，括号内每一项都要变号.为了防止出错，可以先用分配律将数字 2与括号内的各项相乘，然后再去括 号，熟练后，再省去这一步，直接去括号.三、

21、巩固练习计算：5xy2_3xy2_( 4xy2 2x2y) +2x2y- xy2 5xy 2四、课堂小结去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是”号时，括号连同括号前面的 ”号去掉，括号里的各项都改变符号去括号规律可以简单记为”变牛”不变，要变全都变.当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿 漏乘某些项.五、自我检测1、下面各题去括号错误的是()A.B.11x (6 y ) =x 6 y + -2212m +( n + a 一3b ) =2m - n + 1 a - b3C.(4x 6y + 3)=2x + 3y + 32、A.11-b)(23下列计算正

22、确的是a 2 (b+c) =a 2b 2cD.(a +c+ - ) =a +7a 2b c 4d=a c 2(b+4d)15C. 2 (a b) + (3a 2b) = 2 (a b)D. (3x2y xy) ( yx2 3xy) =3x2y yx2 4xy3、化简 a 2a ( a b)等于A. 2aB. 2aC. 4a bD. 2a 2b4、已知：2a+3b=4, 3a 2b=5,贝U 10a+2b 的值是A. 19B. 27C. 18D. 345、 化简：( x 3y) (y 2x)(x3 2y3 3x2y) ( 3x3 3y3 7x2y)6、计算：3a2 5aQa 3) +2a2 +4

23、7、若 |x|=2，求下式的值：3x2 7x2 2 (x2 3x) 2x整式的加减(4)、复习引入：1 添括号的法则：观察：观察下边两个式子，你能得出什么结论?通过观察与分析，可以得到添括号法则：所添括号前面是“ + ”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。2.例题：例1 :做一做：在括号内填入适当的项：(1)x2 x+1= X2 ();(2) 2x2 3x 1= 2x2+()；(a b) (c d)= ()。(4)(a+b c)(a b+c)= : a+( ) a():例2 :用简便方法计算：(1)214a + 47a + 53a;(2)214a

24、 39a 61a.例5 :按要求将2x2+3x 6 :(2)写成一个单项式与一个二项式的差。(1)写成一个单项式与一个二项式的和;三、课堂小结：1、 这两节课我们学习了去括号法则和添括号法则，这两个法则在整式变形中经常用到, 而利用它们进行整式变形的前提是原来整式的值不变。2、去、添括号时，一定要注意括号前的符号，这里括号里各项变不变号的依据。法则顺口溜：添括号，看符号：是“ +号，不变号；是 “一号，全变号。整式的加减1 整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合。2 整式的加减的一般步骤：如果有括号，那么先算括号。如果有同类项，则合并同类项。3 求多项式的值，一般先将多项式化简

25、再代入求值，这样使计算简便。4 数学是解决实际问题的重要工具。四、自我检测1、下列去括号错误的是()2 2A、a (a b c) a a b cB、5 a 2(3a 5) 5 a 6a 5C、3a 1(3a22a)33a a2 2 a3D、a3a2( b)a3a2 b2、化简下列各式(1)2(2a 2b) 3(2b 3a)(2) 2(x2 xy) 3(2x23xy) 2x2 (2x2xy y2)?分别如何叙述？整式的加减去(添)括号 合并同类项。、练习与巩固:1.例题：例1:找出下列代数式中的单项式、多项式和整式。x y z，4xy，321 m n 21，X +x+， 0，a 2x2. 01

26、X 10535x3y5zxy5，53指出多项式a3a2b ab2+b3 1是几次几项式，最高次项、常数项各是什么?指出下列单项式的系数、次数:ab， x2,例4 :化简，并将结果按x的降幕排列:(1)(2x4 5x2 4x+1) (3x35x2 3x);1(x+-) (x 1)；3、先化简，再求值：1(1)2x3 4xx2 (x 3x2 2x3)，其中 x 3;1(2) 4x2y 6 xy 2 (4xy 2)- x2y + 1,其中 x= 一 ,y=1.2(3) 2(x 2y)2 4(x 2y) + (x 2y)2 3(x 2y)，其中 x = 1, y =g (4) (2x2y 2xy2)( 3x2y2 3x2y) (3x2y2 3xy2)，其中 x= 1,y= 2.4、已知 A= 3a2 b 3ab2b4，b= a2b 11ab2 a4，c= 8ab2 2a2b c4,求 a+b c.复习课一、复习引入：1 主要概念：(1) 关于单项式，你都知道什么 ？(2) 关于多项式，你又知道什么 ？(3) 什么叫整式？2 主要法则：提问：在本章中，我们学习了哪几个重要的法则(3) 3(1 x22xy+y2)+ f (2x2xy 2y2)。1 12 例 5:化简、求值