最大面积的问题

1、2.7 最大面积是多少教学目标如下：（一 ）知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系， 并能够运用二次函数的知 识解决实际问题中的最大 （小 ）值（二）过程与方法 1通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断 能力2通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力 （三）情感态度与价值观1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问 题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值2能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格 3进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的

2、价值，增进对数学的理解和学好数 学的信心，具有初步的创新精神和实践能力教学重点 1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问 题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数 的知识解决实际问题教学难点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系， 并能运用二次函数的有关 知识解决最大面积的问题三、教学过程分析 本节课分为五个环节，分别是：创设问题情境引入新课、归纳升华、课堂练习活动探究、课 时小结、课后作业第一环节 创设问题情境，引入新课 上节课我们利用二次函数

3、解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的最大 值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题 解决这类问题的关键是要审清题意， 明确要 解决的是什么， 分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型。在此基础上，利用我们所学 过的数学知识，逐步得到问题的解答过程本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题 活动内容：由四个实际问题构成1问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上（1）设长方形的一边 AB = x m，那么AD边的长度如何表示？（2）设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 问题一的设计目的：对

4、于这个问题， 教师将其作为例题， 不论是对问题本身的分析，还是具体的解法过程， 都将 作出细致、规范的讲解和示范。具体的过程如下：分析：（1）要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是厶EBC中的一边，因此可以用三 角形相似求出 BC 由 EBC EAF，得 即所以AD = BC = （40-x）.要求面积y的最大值，即求函数y= AB-AD = x -(40 x)的最大值，就转化为数学问题了. 下面请小组开始讨论并写出解题步骤(1) / BC / AD , EBCEAF .又 AB = x, BE = 40 x,. BC = (40 x). - AD = BC = (40 x) = 30

5、x.(2) y = AB-AD = x(30 x) = x2 + 30x= (x2 40x400 400)= (x2 40x400)300= (x 20)2 300当 x= 20 时， y 最大= 300 即当x取20m时，y的值最大，最大值是 300m2.2问题二：将问题一变式： “设 AD 边的长为 x m ，则问题会怎样呢？ ”解： DC / AB , FDCFAE ./AD = x, FD = 30 x. DC= (30 x) AB=DC= (30x)y= AB -AD = x -(30 x)= x2 40x= (x2 30x225 225)= (x 15)2 300当 x= 15 时

6、， y 最大= 300即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2 .活动目的： 在活动解决之初(末) ，揭示该问题与问题一的关系3问题三：对问题一再变式如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上 .(1) .设矩形的一边 BC=xm， 那么 AB 边的长度如何表示？(2) .设矩形的面积为 ym2， 当 x 取何值时 ，y 的最大值是多少 ?活动目的： 有了前面两题作基础，这个问题可以留给学生自己解决，作为练习4问题四： 某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为1

7、5m 当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) ? 此时，窗户的面积是多少？分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系.要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy x2 最大，而由于 4y+ 4x + 3x + n x 7x + 4y+ n x 15,所以 y=.面积 S= n x2 2xy = n x2b 2x = n x2b = 3.5x2 + 7.5x,这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可.解：T 7x + 4y + n = 15, y =.设窗户的面积是 S(m2)，贝US=

8、 n xZ 2xy=n xZ 2x =n xZ= 3.5x2Z 7.5x= 3.5(x2 x) = 3.5(x )2Z 当 x=沁 1.07时，S 最大= 4.02即当x 1.07m时，S最大4.02m2此时，窗户通过的光线最多.实际教学效果：问题四中的数量关系, 较前面 3 个问题, 处理起来比较繁琐, 教师要给予学生及时的指导和 帮助。第二环节 归纳升华 活动内容：同学们能否根据前面的例子作一下总结, 解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交 流活动目的： 通过前面例题的学习和感受,学生讨论交流,在教师的帮助下归纳出： 基本流程为：理解题目分析已知量与未知量转化为数学问题解决此类问题的

9、基本思路是：(1) 理解问题；(2) 分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3) 用数学的方式表示它们之间的关系；(4) 做函数求解；(5) 检验结果的合理性,拓展等第三环节 课堂练习,活动探究 活动内容：1. 用 48 米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场 ,养鸡场一面用砖砌成 ,另三面用竹篱笆围成 ,并且在 与砖墙相对的一面开 2 米宽的门 (不用篱笆 ),问养鸡场的边长为多少米时 ,养鸡场占地面积最 大?最大面积是多少 ?2. 正方形 ABCD 边长5cm,等腰三角形 PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一直线I上，当C、Q两点重合时，等腰 PQR以1cm/s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动， ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题：(1)当t=3s时，求S的值；当t=3s时，求S的值；