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1、精选优质文档-倾情为你奉上微论文有理数在实数上的稠密性姓 名： 尹 明 富 院 系： 数学科学学院 年级专业：13级数学与应用数学 电 话： 学 号： 指导教师： 张 裕 波 2015年 11月有理数在实数上的稠密性摘 要稠密是相对的概念,有理数相对实数稠密,有理数相对无理数稠密,甚至,无理数相对有理数也稠密,实数相对有理数也稠密.如果说在有理数上稠密,那就只能说明有理数属于实数,所以才这么说.关键词有理数集; 稠密集；实数1有理数全体是稠密集1.1有理数稠密性的相关定义定义：设，是直线上的两个点集，如果中每个点的任何邻域中必有的点（或中的任何开区间中必有的点），那么称在中稠密当是全直线时，即

2、在全直线上处处稠密时，那么称是稠密集定义1：设是直线上的点集若任何开区间(a,b)中存在开区间（a', b'）(,b），且在（a', b'）中没有的点，则称是疏朗集或称无处稠密集定义2：设a1,，a2，an，都是有理数假如对于任意的正有理数，有正整数，使当，时，不等式anam成立，就称an是基本有理数列，并称基本有理数列是一个实数.定理1有理数集是稠密集在此意义上讲，任意两个不同的有理数之间存在无数多个有理数。也就是有理数在实数中是处处稠密的，就是任何两个实数之间必有有理数换句话说，设，是任意两个实数，且，则必有有理数，使得。1.2有理数在实数里存在稠密性给定空

3、间 X 及其子集 A ，如果对于 X 中任一点 x，x 的任一邻域同 A 的交集不为空，则 A 称为在 X 中稠密。一般而言,不谈论某集合本身是否稠密这个问题,而是讨论某集合是否在另一集合中是否稠密.有理数是实数的真子集，实数有稠密性，显然有理数在实数中也存在稠密性。事实上，a,bQ且a<b,显然a与b平均数a+b2就是有理数，且在a与b之间，同样a与a+b2,b与a+b2的平均数也在a到b之间。显然，这样构成平均数的方法可无限次的做下去，于是，a与b之间存在无限多个有理数，即有理数集具有稠密性。我们也可设an（基本有理数列）bn（基本有理数列），由bn<an，必有正有理数和正整数

4、N, 使得当nN时,有bn-an>.又因为an及bn是基本有理数列，必有N1> N,使得当n,m>N1时，有an-am<4，bn-bm<4 .不妨设bN1-2=c,这是有理数，且当mN时，有bm-c=bm-bN1+2>-4+2=4>0,也即bm>c.又当mN1时,有c-an=bN1-2-am=bN1-aN1+aN1-am-2>-4-2=4>0,也即c>am.综上可知, am<c<bm,即a<c<b.有理数集的上述两个性质，意味着处处稠密的有理数和无处稠密（或疏朗）的正整数“一样多”，这个表面看来令人难以置信的事实，充分说明了要判断数学题的真伪，仅凭直觉是靠不住的在数学各领域中，许多问题的解决或理论的推导都要借助于有理数集的这两个性质。1夏道行，吴卓人，严绍宗,等.实变函数论与泛函分析：上

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