振动波动和波动光学

1、P.1/66振动学基础关于振动波动和波动光学2/26/2022现在学习的是第一页，共49页P.2/66振动学基础2/26/2022 振动 任一物理量在某一定值附近往复变化. 机械振动 物体围绕一固定位置往复运动. 其运动形式有直线、平面和空间振动. 周期和非周期振动 简谐运动 最简单、最基本的振动.谐振子 作简谐运动的物体.例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.简谐运动复杂振动合成分解111 简谐运动 振幅 周期和频率 相位现在学习的是第二页，共49页P.3/66振动学基础2/26/2022形成简谐振动的条件：（1）具有指向平衡位置的弹性回复力的作用（2）物体具有惯性。谐

2、振动的特点：（1）运动的周期性：相邻两次相同运动状态出现所经历的时间间隔称周期。（2）加速度方向始终与位移方向相反。（3）系统机械能守恒。 现在学习的是第三页，共49页P.4/66振动学基础2/26/2022kl0 xmoAA 弹簧振子的振动00Fx现在学习的是第四页，共49页P.5/66振动学基础2/26/2022makxFxtx222ddmk2令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa积分常数，根据初始条件确定)cos(tAxxxFmo现在学习的是第五页，共49页P.6/66振动学基础2/26/2022tx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(

3、tAx0取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa现在学习的是第六页，共49页P.7/66振动学基础2/26/2022)cos(tAx一 振幅maxxA 二 周期、频率kmT2弹簧振子周期2T 周期21T 频率T22 圆频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关注意tx图AAxT2Tto现在学习的是第七页，共49页P.8/66振动学基础2/26/20221） 存在一一对应的关系;),(vxt202）相位在 内变化，质点无相同的运动状态； 三 相位t3）初相位 描述质点初始时刻的运动状态. ) 0( t) (2nn相差 为整数 质点运动状态全同.（

4、周期性）20( 取 或 )tx图AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAx 简谐运动中， 和 间不存在一一对应的关系.xvvvv现在学习的是第八页，共49页P.9/66振动学基础2/26/202222020vxA00tanxv四 常数 和 的确定A000vv xxt初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAx现在学习的是第九页，共49页P.10/66振动学基础2/26/2022cos0A2 0sin0Av2 0sin取0, 0, 0vxt已知 求讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto现在学习

5、的是第十页，共49页P.11/66振动学基础2/26/2022 以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAcos0Ax 当 时0t0 x112 旋转矢量现在学习的是第十一页，共49页P.12/66振动学基础2/26/2022 以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAtt t)cos(tAx时现在学习的是第十二页，共49页P.13/66振动学基础2/26/2022)cos(tAx 旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.xA现在学习的是第十三页，共49页P.14/66振动学基础2/26/2022Amv)2 cos(tAv)c

6、os(2tAa2nAa 2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa现在学习的是第十四页，共49页P.15/66振动学基础2/26/2022 （旋转矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的 图tx现在学习的是第十五页，共49页P.16/66振动学基础2/26/2022AAx2AtoabxAA0讨论 相位差：表示两个相位之差 . 1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt现在学习的是第十六页，共49页P.17/66振动学基础2/26/20220 xto同步 2）对于两个同

7、频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它超前落后txo反相现在学习的是第十七页，共49页P.18/66振动学基础2/26/2022 例11-1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数 ，物体的质量 . （1）把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释放，求简谐运动方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3）如果物体在 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 ，求其运动方程.2A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；m/ x

8、o0.05现在学习的是第十八页，共49页P.19/66振动学基础2/26/2022ox解 （1）11s0 . 6kg02. 0mN72. 0mkm05. 0022020 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋转矢量图可知 0)cos(tAx)s0 . 6cos()m05. 0(1t现在学习的是第十九页，共49页P.20/66振动学基础2/26/2022oxA2A解 )cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3 5 3或tA3t由旋转矢量图可知tAsinv1sm26. 0（负号表示速度沿 轴负方向）Ox2A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；现在学习的是第二十页，共49

9、页P.21/66振动学基础2/26/2022解 m0707. 022020vxA1tan00 xv4 3 4或 oxA4)cos(tAx4)s0 . 6cos()m0707. 0(1tm05. 0 x10sm30. 0v （3）如果物体在 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 ，求其运动方程.因为 ，由旋转矢量图可知400v现在学习的是第二十一页，共49页P.22/66振动学基础2/26/2022例11-2 一质量为 的物体作简谐运动，其振幅为 ，周期为 ，起始时刻物体在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0处，向 轴负方向运动（如图）.试求Ox （1） 时，物体所处的位置和所受的力；

10、 s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xv解m08. 0A1s22T现在学习的是第二十二页，共49页P.23/66振动学基础2/26/2022o08. 004. 004. 008. 0m/x300vm04. 0, 0 xt代入)cos(tAxcos)m08. 0(m04. 03A33)s2cos()m08. 0(1txm08. 0A1s22T现在学习的是第二十三页，共49页P.24/66振动学基础2/26/2022o08. 004. 004. 008. 0m/xv3)s2cos()m08.0(1txs0 . 1t代入上式得m069. 0 xxmkxF2)m069. 0(

11、)s2)(kg01. 0(21N1070. 13kg01. 0m现在学习的是第二十四页，共49页P.25/66振动学基础2/26/2022o08. 004. 004. 008. 0m/xv （2）由起始位置运动到 处所需要的最短时间.m04. 0 x 法一 设由起始位置运动到 处所需要的最短时间为m04. 0 xt3)s2cos()m08. 0(m04. 01ts23)21(arccosts667. 0s32现在学习的是第二十五页，共49页P.26/66振动学基础2/26/2022o08. 004. 004. 008. 0m/x解法二33起始时刻 时刻tt3ts667. 0s32t1s2现在学

12、习的是第二十六页，共49页P.27/66振动学基础2/26/2022: 两质点作同方向、同频率的简谐运动，振幅相等。当质点1在 x1=A/2 处，且向左运动时，另一个质点2在 x2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。)(cos11tAxA-AOA/2-A/2)(cos22tAx质点1：3021tAxv质点2：34021tAxv334)()(12tt现在学习的是第二十七页，共49页P.28/66振动学基础2/26/2022)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒 以弹簧振子为例)sin()cos(

13、tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的动力学意义）现在学习的是第二十八页，共49页P.29/66振动学基础2/26/2022简 谐 运 动 能 量 图txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21现在学习的是第二十九页，共49页P.30/66振动学基础2/26/2022简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAE EBCAApExO现在学习的是第三十页，共49页P.31/66振动学基础2/26/2022能量守恒简谐运动方程推导常量222121kxmEv0)2121

14、(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx现在学习的是第三十一页，共49页P.32/66振动学基础2/26/20222kp21kAEEEEAkkxEAx4122121222p时时：当当: 各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？EEEE43pk220212121kAkxAAx707. 0210现在学习的是第三十二页，共49页P.33/66振动学基础2/26/2022 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其运动表达式分别表示为)cos(111tAx)cos(222tAx21AAA21xxx)cos(tAx1x2xx1A2A12xA

15、现在学习的是第三十三页，共49页P.34/66振动学基础2/26/2022)cos(tAx122122212cos2AAAAA21, 的具体象限要根据 确定。2211221112212221coscossinsintan2AAAAAAAAA 一起以 转动，保持相对静止。AAA,21x1x2xx1A2A12A现在学习的是第三十四页，共49页P.35/66振动学基础2/26/2022一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。结论：)cos(212212221AAAAA221122111coscossinsintanAAAA, 2, 1, 02:) 1 (12kk若若2

16、12122212:AAAAAAA则则, 2, 1, 0) 12(:) 2(12kk若若212112212:AAAAAAA则则现在学习的是第三十五页，共49页P.36/66振动学基础2/26/202211Axo二 多个同方向同频率简谐运动的合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动现在学习的是第三十六页，共49页P.37/66振动学基础2/26/20221A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx) 1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3

17、A4AxO5A6A0A),2, 1,(kkNk2） 2kN1）2k),2, 1,0(k 个矢量依次相接构成一个闭合的多边形 .N讨论现在学习的是第三十七页，共49页P.38/66振动学基础2/26/2022: 两个同方向的简谐运动曲线(如图所示) (1) 求合振动的振幅。(2) 求合振动的振动方程。1212AAA解: (1)0cos11A22110cos22A22222A1AxT)(1tx)(2txtO)3cos(2212tTAAxT223:由由矢矢量量图图(2)1A2Ax现在学习的是第三十八页，共49页P.39/66振动学基础2/26/2022三 两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率较大而

18、频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.现在学习的是第三十九页，共49页P.40/66振动学基础2/26/2022合振动频率振幅部分tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112讨论 , 的情况 ttAx22cos)22cos2(12121tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx 方法一现在学习的是第四十页，共49页P.41/66振动学基础2/26/20222212T121TtAA22cos2121122)(211max2AA0minA合振动频率振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅 振动频率拍频（振幅变化的频率）现在学习的是第四十一页，共49页P.42/66振动学基础2/26/2022xocos2212221AAAAA)()(1212t2A2x2xA1A1x111t)()(1212t22t 方法二：旋转矢量合成法12021t )( 212现在学习的是第四十二页，共49页P.43/66振动学基础2/26/20222A2x2xAxo1A1x112t1t )(12t2cos2212221AAA