立体几何翻折测试

1、1在直角ABC中，ACB=30°，B=90°，D为AC中点（左图），将ABD沿BD折起，使得ABCD（右图），则二面角ABDC的余弦值为（）A B C D2将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示，若E为线段BC的中点，则直线AE与平面ABD所成角的余弦为（）A B C D3如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将ABE，DCA翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角EBCF的余弦值为（）A B C D4如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C，E点在线段AC上，若二面角ABDE与二面角EBDC的大小分别为3

2、0°和45°，则=（）A B C D5如图，正方形A1BCD折成直二面角ABDC，则二面角ACDB的余弦值是（）A B C D6如图1，ABC是等腰三角形，其中A=90°，且DBBC，BCD=30°，现将ABC沿边BC折起，使得二面角ABCD大小为30°（如图2），则异面直线BC与AD所成的角为（）A30° B45° C60° D90°7如图，矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角AMNB的大小为，则折起后cosDOB为（）A B C

3、D8如图，正方形ABCD与正方形ABEF构成一个的二面角，将BEF绕BE旋转一周在旋转过程中，（）A直线AC必与平面BEF相交B直线BF与直线CD恒成角C直线BF与平面ABCD所成角的范围是，D平面BEF与平面ABCD所成的二面角必不小于9如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则（）AADB BADB CACB DACB10如图，四边形ABCD是矩形，沿直线BD将ABD翻折成ABD，异面直线CD与AB所成的角为，则（）AACA BACACACD DACD答案：1（2016秋射洪县校级期中）在直角ABC中，ACB=30°，B=90

4、°，D为AC中点（左图），将ABD沿BD折起，使得ABCD（右图），则二面角ABDC的余弦值为（）ABCD【分析】由（1）的证明可得AEF为二面角ABDC的平面角过A作AO面BCD，垂足为O由于面AEF面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，从而当ABCD时，由三垂线定理的逆定理得BMCM，由此可求得cosAEO=，利用互补得出二面角ABDC的余弦值为【解答】解：过A作AEBD，在原图延长角BC与F，过A作AO面BCD，垂足为O由于面AEF面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，在ABC中，ACB=30°，B=90°，D为AC中点，AB=，BD

5、=AC，ABD为等边三角形，BDAE，BDEF，AEF为二面角ABDC的平面角，过A作AO面BCD，垂足为O，面AEF面BCD，O在EF上，理解BO交CD延长线于M，当ABCD时，由三垂线定理的逆定理可知：MBCM，O为翻折之前的三角形ABD的中心，OE=AE，cosAEO=，cosAEF=，故选：A【点评】本题以平面图形为载体，考查图形的翻折，关键是搞清翻折前后有关元素的变与不变，考查面面角，考查线面角，关键是正确作出相应的角2（2017四川模拟）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示，若E为线段BC的中点，则直线AE与平面ABD所成角的余弦为（）ABCD【分析】取DB中点

6、O，连接CO、AO，过E作EHCO交DB于H，则有EH面ADBH为OB中点，连接AH，则EAH就是直线AE与平面ABD所成的角；在RtAHE中可求得直线AE与平面ABD所成角的余弦【解答】解：如图所示，取DB中点O，连接CO、AO，四边形ABCD为正方形，CODB又面DCB面ADB，CO面ABD，过E作EHCO交DB于H，则有EH面ADBH为OB中点，连接AH，则EAH就是直线AE与平面ABD所成的角设正方形ABCD的边长为2，则EH=，AH=，cosEAH=，直线AE与平面ABD所成角的余弦为故选：C【点评】本题考查了面面垂直的性质，线面角的求解，考查了转化思想，属于中档题3（2016温州一

7、模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将ABE，DCA翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角EBCF的余弦值为（）ABCD【分析】根据折叠前和折叠后的边长关系，结合二面角的平面角定义得到FOE是二面角EBCF的平面角进行求解即可【解答】解：取BC的中点O，连接OE，OF，BA=CD，BF=FC，即三角形BFC是等腰三角形，则FOBC，BE=CF，BEC是等腰三角形，EOBC，则FOE是二面角EBCF的平面角，EFCF，BFEF，EF平面BCF，EFFO，则直角三角形EFO中，OE=AB=2，EF=DE=，则sinFOE=，则cosFOE=，故选：B

8、【点评】本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键注意叠前和折叠后的线段边长的变化关系4（2016秋临川区校级期中）如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C，E点在线段AC上，若二面角ABDE与二面角EBDC的大小分别为30°和45°，则=（）ABCD【分析】取BD的中点O，连接AO，EO，CO，推导出AOE=30°，EOC=45°，OCE=OAE，由正弦定理能求出的值【解答】解：取BD的中点O，连接AO，EO，CO，菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C，E点在线段AC上，COBD，AOBD，OC=OA，

9、BD平面AOC，EOBD，二面角ABDE与二面角EBDC的大小分别为30°和45°，AOE=30°，EOC=45°，OC=OA，OCE=OAE，由正弦定理得=，=故选：C【点评】本题考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养5（2015丹东二模）如图，正方形A1BCD折成直二面角ABDC，则二面角ACDB的余弦值是（）ABCD【分析】由已知可得AO平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，分别求出平面ACD和平面BCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角ACDB的余弦值【解答】解

10、：正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，平面ABD平面BCD，连接BD，A1C，相交于O，则AOBD，平面ABD平面BCD=BD，AO平面ABDAO平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz设正方形的棱长为1，则O（0，0，0），A（0，0，），C（，0，0），B（0，0），D（0，0），=（0，0，）是平面BCD的一个法向量=（，0，），=（，0），=（，0）设平面ACD的法向量=（x，y，z），则，即，即，令x=1，则y=1，z=1，解得=（1，1，1）从而|cos，|=，二面角ACDB的余弦值为，故选：B【点评】本题考查的知识点是用空

11、间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，解答的关键是分别求出平面ACD和平面BCD的法向量，利用向量法是解决空间二面角大小的基本方法6（2015衢州一模）如图1，ABC是等腰三角形，其中A=90°，且DBBC，BCD=30°，现将ABC沿边BC折起，使得二面角ABCD大小为30°（如图2），则异面直线BC与AD所成的角为（）A30°B45°C60°D90°【分析】设AB=AC=2，则BC=2，BD=BCtan30°=，过点C作CM和BD平行且相等，则由题意可得BDMC为矩形，从而ADM（或

12、其补角）为异面直线BC与AD所成的角由此能求出异面直线BC与AD所成的角【解答】解：设AB=AC=2，则BC=2，BD=BCtan30°=，过点C作CM和BD平行且相等，则由题意可得BDMC为矩形，ADM（或其补角）为异面直线BC与AD所成的角取BC中点O，DM中点H，连结AO，HO，由已知得AOBC，HOBC，AOH是二面角ABCD的平面角，AOH=30°，由已知得AO=，HO=BD=，AH=，又AD=AM，H是DM中点，DH=，AHDM，tan=，ADM=30°，异面直线BC与AD所成的角为30°故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是中档题

13、，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养7（2015秋沙坪坝区校级期末）如图，矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角AMNB的大小为，则折起后cosDOB为（）ABCD【分析】先求出BO=DO=，再以N为原点，NM为x轴，NC为y轴，过N垂直于平面NMBC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出|BD|，由此利用余弦定理能求出折起后cosDOB【解答】解矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角AMNB的大小为，BO=DO=，如图，以N为原点，NM为x轴，NC

14、为y轴，过N垂直于平面NMBC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（，1，0），D（0，），|BD|=，cosDOB=，折起后cosDOB=故选：C【点评】本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法及余弦定理的合理运用8（2016绍兴二模）如图，正方形ABCD与正方形ABEF构成一个的二面角，将BEF绕BE旋转一周在旋转过程中，（）A直线AC必与平面BEF相交B直线BF与直线CD恒成角C直线BF与平面ABCD所成角的范围是，D平面BEF与平面ABCD所成的二面角必不小于【分析】首先确定旋转后的图形为圆锥，进一步求出线面夹角的最值，然后依次进行判断即可【解答】解：正方形A

15、BCD与正方形ABEF构成一个的二面角，CBE=，将BEF绕BE旋转一周，则对应的轨迹是以BE为轴的圆锥，此时EBF=，则在旋转过程中直线AC不可能与平面BEF相交，故A错误，当平面BEF和CD垂直时，此时直线BF与直线CD为角，故B错误，当BF旋转到与BE，BC在一个平面时，直线BF与平面ABCD的夹角达到最大和最小值最小值为：FBC=由于FBC=+=，所以最大值为：=则直线BF与平面ABCD所成角的范围是，故C错误，故只有D正确，故选：D【点评】本题主要考查二面角和线面的夹角的应用，平面图形的旋转问题，主要考查学生的空间想象能力和对问题的应用能力综合性较强，难度较大9（2015浙江）如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则（）AADBBADBCACBDACB【分析】解：画出图形，分AC=BC，ACBC两种情况讨论即可【解答】解：当AC=BC时，ADB=；当ACBC时，如图，点A投影在AE上，=AOE，连结AA，易得ADAAOA，ADBAOE，即ADB综上所述，ADB，故选：B【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题10（2016济南二模）如图，四边形ABCD是矩形，沿直线BD将ABD翻折成ABD，异面直线CD与AB所成的角为，则（AACABACACACDDACD【分析】假设ABCD是