2014竞赛第二讲一般物体的平衡答案

1、南华大学200 W00学年度第学期2014第二讲一般物体的平衡一、相关概念（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为 M=FL单位“牛米”。一般规定逆时针方 向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。（三）有固定转轴物体的平衡条件作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即2 M=0,或2 M逆=2M顺。（四）重心：计算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反 向）平行力合成法求重心位置。3、公式法：

2、x = migx1 +m2gx2 ,当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。 mig m2g -二、常用方法巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。三、巩固练习1 .如右图所示，匀质球质量为 MK半彳全为R;匀质棒B质量为m、长度为1。求它的重心合成的方法【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力 找出重心G C在AB连线上，且 AC- M=

3、BC- m； 第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为 -M的球A的合成，用反向平行力合成的 方法找出重心 C, C在 AB连线上，且(2M+m) g方法的结BC(2M+m) =AC ML不难看出两种MR-果都是BC = 乂。M m2 .将重为30N勺均匀球放在斜面上，球用绳子拉住，如图所示.纯ACf水平面平行，C点为球的最高点斜面倾角为370.求： 力(1理子的张力.幺(2)M面对球的摩擦力和弹力.答案：(1) 10N (2) 10N 30N解：(1)取球与斜面的接触点为转轴：mgRsin 370 -T(R + Rcos372)=0 ,得T=10N；(2)取球心为转轴得，f=T

4、=10N;取 C 点为转轴：f (R+RCOS370) _NRsin 370 =0 ,得 N=30N.3 .一个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩为小，如果在球上加一个竖直向下的力 F,如图所示.问；力F离球心的离s为多大，才能使球做逆时针转动？解当球开始转动时，hf2达到最大静摩擦F G = Ni f2M = fi分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.Fs = f1r + f2rJN因f1, f2为最大静摩擦爪2=皈擦因数都水平的距将以上方程联立可得:s= Yr r4 .如图所示，均匀杆的A端用钱链与墙连接，杆可绕A点自由转动，杆的另一端放在长方形木块上，不

5、计木块 与地之间的摩擦力，木块不受其它力作用时，木块对AB干的弹力为10N将木块向左拉出时，木块对杆的弹 力为9N那么将木块向右拉出时，木块对杆的弹力是多少？（答案：11.25Nsin = 1 GCos -Ncos2解:木块静止时弹力为10N可得杆重G=20N 向左拉时：NLcos + NiLsin =GLcos，或N2向右拉时：NLcos =N2Lsin +GLcos，或N2 sin =N2cos -1 Gcos22两式相比得4事,彳"代邱5 .有一轻质木板AB长为LA端用钱链固定在竖直墙壁上，另一端用水 平轻纯BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体，半径均为r,重均为G木板与

6、墙的夹角为（如图所示）一切摩擦均不计，求B或的张力.答案：八攀福+哥） 解:此题的解法很多，同学们可体会到取不同的研究对象，问题的难易程度不同.解法1对圆柱体一个一个分析，分别计算出圆柱体的弹力，再对木板分析，有力矩平衡求出BCM的张 力.比较麻烦.解法2:把三个球作为整体，可求出板对三个球的弹力，再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力的 力臂比较难求.解法3:先对三个球分析，受墙壁的弹力N=3Gcot .再把三个圆柱体和木板合为一整体，此整体受到墙壁的弹力MBCM的拉力T,重力3GA点的作用力NN对 A点的力矩为零）.对A点，有力矩平衡TAC=NiAD +3G（r+2rsin日）式中 AD

7、 = r / tan , AC =Lcos r 2有上述四式可行T =3Gr( 1 29).L 1 -cos 二cosi6 .如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C柱体放上去之前，A B两柱体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为仙。,柱体与柱体之间的动摩擦因数为u若系统处于平衡状态，仙0和小必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为 A B、C之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。设每个圆柱的重力均为G,首先隔离C球，受力分析如图1 7所示，由12 Fg=0可得312丁 ”=G 再隔留A球，受力分析如图

8、1 8所示，由三凤=0得.31 .-N1f1 - N2 G = 022 由 22 FA>=0 得*Ni -1Ni22f1R =f2R由以上四式可得f1 = f2Ni2 ,322- 3. GN2 = G而 f2 EN0N2 ,fi <Ni0 -23, J -2 - ,3 37.（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片 AB （i=1,2）， / /、入其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此 6个薄片 人 * ）架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起 Bi恰在碗口上，另一端小突起A位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为 m的质点放在薄片A6B6

9、上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起 A6的距离，则薄片AB6中点所受的（由另一薄片的小突起 A所施的）压力。答案：mg/42解析：本题共有六个物体，通过观察会发现， ABi、A2B2、A5B5的受力情况完全相同，因此将 AB、A2B2、A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力 N、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力 N+i.选碗边B点为轴，根据力矩平衡有LN1111-Ni L =Ni+ /寸Ni =所以 N1= 一Nz= mN3=A=()N62222 22再以AB6

10、为研究对象，受力情况如图乙所示，AB6受到薄片AB5向上的支持力N、碗向上的支持力和后一个薄片AB1向下的压力N、质点向下的压力mg.选B6点为轴，根据力矩平衡有N1 - +mg .3L = N6 .L24由、联立，解得 N=mg/42所以，AB薄片对A6B6的压力为mg42.8 .(第十届全国决赛)用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L,横截面为h=上的正方形，求此桥具有的最大跨度(即桥孔底宽)4试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。解设1号右端面到2号右端面的距离为 与，x1=L1木块的22号右端面到3号右端面到的距离

11、为X2，以第2号左端为转轴力矩平衡：GL，GL =2G(L-x2)，可以得出x2,24同理:第3号右与第4号右端的距离为X3,以第3号木块的左端为转轴力矩平衡2GL+G,； = 3G(L-x3)求得x3 =6第k号的右端面的距离为xk，则第k号由力矩平衡知:(k 1)GL +G L =kG(L xj求得:2页脚内容7南华大学200 W00学年度第学期解得Xk =-2kn 1 I n则桥拱长的一半为s = x1 X2 L Xk = 上=L2K2k kk由图 1 可知 h =(n1)h=1(n1)L4所以包=士91。将n=10代入可得.H n -1 K4k=1.258 H9 .有一质量为m=50k

12、g的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数N = 0.3 ,杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角 8=30°,如图所示。(1)若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离h1 =2L/5(L为杆长)，要使杆不滑倒，力F最大 不能越过多少?(2)若将作用点移到h2 =4L/5处时，情况又如何？解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的 力的大小还与h有关，讨论力与h的关系是关键。杆的受力如图57一甲所小，由平衡条件得F -Tsinu - f = 0N -T cos- - mg = 0F(L -h) -fL -0页脚内容#南华大学200 W00学年度第学期页

13、脚内容15另由上式可知，F增大时，f相应也增大，故当f增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：f =N解得:F masmgL tan 二(L - h)tan? /-h由上式又可知， 当(L -h) tan0/邑一hTf即当h0 =0.66L时对F就没有限制了。一 2(1)当几=-L <ho ,将有关数据代入5Fmax的表达式得Fmax = 385N(2)当h2 =4L >h0,无论F为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁 510用两个爬犁(雪橇)在水平雪地上运送一根质量为 m长为l的均匀 h横粱，横 梁保持水平，简化示意示图，如图1-41所示.每个爬犁的上端A与 二涔登科

14、* ?被运送的 横梁端头周连，下端B与雪地接触，假设接触而积很小.一水平牵引 日息aJT 力F作用/-4杷于前爬犁.作用点到雪地的距离用 h表示.已知前爬犁与雪地间的动摩擦因数为k1.后爬犁与雪地间的动摩擦因数为 k2.问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动.h应满足什么条件 公平牵引力F应多大被爬犁的质量可忽略不计.分析正确地物体进行受力分析，应用物体平衡的条件|*F=0是求解平衡问题的基本出发点，准确地二 M =0领会题中隐含信息，则是求解的关键所在，本题体现了这一解题思路.解整个装置的受力如解图平衡条件有1-24所示，其中N与N2分别为雪地对爬犁的支持力，f1和f

15、2分别为摩擦力根据F = f1 + f2mg = N1 + N21公Fh +N2l = mgl2根据摩擦力与正压力的关系有：f1=k1N1f2 =k2N2h越大以爬犁与地白前接触点为轴，F的力矩越大.故M越小.h最大时对应 睡=0的情况.将凡=0代入以上 各式，可以解得：l h =2 kll 1 l(ki k2)F 二2 l -(k1 -k2)hmg故:h应满足的条件是:h <2 kl11半径为r,质量为m的三个刚性球放在光滑的水平面上，两两接触.用 形刚性圆筒（上、下土§无盖）将此三球套在筒内.圆筒的半径取适当值一个圆柱使得各球间以及球与筒壁之间保持接触，但互相无作用力.现取

16、一个质量亦为m、半径为R的第四个球，放在三个球的上方正中.四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为=3/5（约等于0.775）.问R取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？答案：（233 -1）r <R M32333 -1）r.解：当上面一个小球放上去后，下面三个小球有向外挤的趋势，互相之间既无弹力也无摩擦力.因此可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析，受力图如图所示.对上面小球，根据竖直方向受力平衡有3Nsin -3f2soc = mg-(或下面的小球，对球与筒接触点为转轴，力矩平衡 Nrsin +mgr=f2r(1+cos )再对四个小球为整体，在竖

17、直方向3f1=4 mg下面的小球，对球心为为转轴，有力矩平衡条件 fir=f2r,得fi=f2-(这是确对下面的小球，取fi和f2作用线的交点为转轴，有力矩平衡得N>N2,故大球与小球接触处先滑动定何处先滑动的常用方法)而大球沿筒滚动，当R最大时：f2= N2 有上述四式得：128soC +24cos -77=0，解得：cos =卫,16因 cos6 =2 J3r /(r +R) =口 ,所以 R =(32" 3 一 1)r。31633但上面的小球不能太小，否则上球要从下面三个小球之间掉下去，必须使R>(23 -1)r.3故得（“R得一 1）r.四、自主招生试题O重合,1

18、. (2009清华大学)质量为m、长为L的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端 底端A、B、C的间距均为L,如图所示。(1球OA棒顶端所受的作用力F的大小。(2)若有一质量也为m的人(视为质点)坐在OA棒的中点处，三 不动，这时OA奉顶端所受的作用力F的大小又为多大？(3)在(2)的情况下，地面与棒之间的静摩擦因数小至少为多析：(1) Fh =mg a棒仍然保持a =(-/ /3) 2 =-323h>77=-6i3F =mg 1 l /( l) = mg 2 334(2)在OCfr点坐一人匚6 I $F1 1 = F2 l ' mg l336-3362mg l = 2F

19、2 l F116333F2”L 1F2 = 6 mg, F1 =3 . 2 TmgF合=J(2F2)2 + Fl2 =233mg2. (2010北大) 如图，一个质量MK棱边长为L的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及对应的摩擦因素。设想立方体开始翻转后，施加的外力 F大小和方向会改变，以维持F始终为最小值。南华大学200 W00学年度第学期页脚内容21解：先考虑向前翻倒的情况，设:C与水平而夹。角.显热这时加垂直AC连线斜向上的力尸时满足加求，如图所示*至三的则M LAlg 审口 一式中口中4。,9口1,因此

20、口=4潸时所需F最大一这也让心要施加的最小山，故 晨扁占我地门,这表明只要D点能够离升地面.以后产即使变小一些.立J?体也 能龌沽.在D点将要离开地面府，f Fc0-4 丁 髀孑豆三W-FsinlS" " 1以后为使力F始最小，则F 直垂直一由？斜向 在图示情况F*另取山5和F的交点为轴.看x L, L f 1N产一 2%还血。）蜘*、£ _ in tfcosa . sin ag)s aiK芦 卢 X7 I :_ M:22m 1 + sm »2 sinflf - a>s卜当exit 0 =厄时，曲h三3工6*时外;“一峰4不过口更大于等于必，故向前

21、翩转立方密，动摩攫内数两址；产二 1,噂即可 而向后翻的情改下.立方体以D点为轴转动.同样，开始最难翻动,施加的拉力F垂直DA水平向左时对媒的?最小、设3方体边愧为九则Mgl.JZ -= F L得P Hg/2此时m生（=蠢=口5产后如果尸始韩垂直边而J1援慢制转土方体.则,会变小.H N反而变 大,这表明力处只要-开蜡小滑动就不可能怦滑动3. （2010南大强化）如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地为A,与环面接触点为Bo已知两个物体的质量线密度均为在质量均面接触点直杆与地面夹角为日，圆环半径为R,所有接触点的摩擦力足够大。求：（1地给圆环

22、的摩擦力。求A、B两点静摩擦系数的取值范围。解；球受力如图所示.水平方向合力为零得:以圆心。点为轴有，八R即汽二九，对球以A点为轴有：Nin?叼/+N"即,$=叫依一$，再取球、杆整体为研究 对象以启点为轴有：解得jV2；ym 饵 CO5 8 kF5】g史必丝4 网伊2(1 + CGS 斤)8处静摩擦因数口n-t=寸焉=un7A处桥摩擦因数wn 2* co“2 cos QfA . ft jgV A 711 战十加国 一 N? in fl(1一 0, 5cosfi)五、备用1 .（第二届全国复赛）如图所示，匀质管子AB长为L,重为G,其A端放在水平面上，而点C则靠在高h =-=45&#

23、176;,试求要使管子处于平衡时，它与水关面之间的摩的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角8 擦因数的最小值。2 .（第十届全国预赛）半径为R质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和A（E悬挂于 同一点A,并处于平衡，如图所示.已知悬点A到球心的距为L,不考虑纯的质量内、和纯与球间的摩擦，求悬挂圆球的纯 AD与竖直方向AB的夹角.答案：鱼、M2R"arcsin2L（Mi M2）解:球受重力M1g,AD纯受拉力为T,ACEE力为N因重力Mig通过圆心，N也通过圆心（但不是水平方向）， 所以T也通过圆（三力共点），OA=L.取整体为研究对象对A点的力矩平衡,MgOB=M2

24、gBC或 MigLsin =M2g（R-Lsin ），得 =arcsinMR一 .L（Mi M2）3 .如图所示，一根细长棒上端Aa用钱链与天花板相连，下端用钱链与另一细棒相连，两棒的长度相等, 两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计较链处的摩擦，当在 幽加一个适当的外力（在纸面内）可使 两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为 90 ,且C®正好在A端的正下方。（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。（2）如果AEW的质量为mi, BCS的质量为m2,求此外力的大小和方向。答案：（1） F勺方向与AC5角范围18 .24 -45问；（2） F

25、三g再行OmTFmT解（1）设F勺方向与ACe角为，如果当mi质量很小时，ABtBC勺作用力沿ABJ向，则F的方向必交1于 AB的中点，=45 -tan-1 2 =18 .24 ;如果当m2质量很小时，则F勺方向沿BCT向，=45 。所以FT向的范围是=18 .24 -45问。(2)以她转轴，对两棒有：(m, +m2)g Jsin 450 =f 乂0Lsin 日- 2以B为转轴，对 BCf: m2g L sin 45° - F Lsin(45° _力sin(45 - )=sin45 cos -cso45 sin -有式得 F勺大/J、： F =；g,2m2 +1°

26、m2 +8m1m2 ;F的方向与竖直线的夹角=tan 1文 电.3m2 mi可见，mi=° 时，=tan1=18 .24 ; m2=° 时，=tan , 1 =453整个系统处4.如图两把相同的均匀梯子 AC® BC由C端的钱链 连起来，组成人字形梯子，下端A和B相距6m, C端离水平地面4m,总重20° N 一人重60° N由B端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数以= 0.6,则 人爬到何处梯子就要滑动？解：进行受力分析，如图所示，把人和梯子看成一个整体,于平衡状态：AB=6m, CD=4m AC=BC=5m设人到钱链C的距离为l满足 £

27、; F =° , £ M =°所以G.Gac .Gbc =Fn1 .Fn2南华大学200 W00学年度第学期页脚内容29Ff1 =Ff2 .一 1 一G l cos - GbcBD , , Fni CD = Fni，BD2整理后：Fni =Fn2 =400N , l=2.5m所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动5.架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦解法1:设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为时达到最大，与上题有区别）水平方向：1Ni=N>,竖直方向：2N2+N=G,得：G= 2N2+ N2/1取 A点为转轴

28、:G cosot LN 2 sin 支-L 也 N 2 cosct -02万/日1 科&口 n工1 日1卜2斛行 tan 口= 即 a =tan 。2K2内解法2:地对梯和墙对梯的一个全反力与重力必交于一片则有：tan 1=1,tan 2=2,后门/中壬左 xBC DH -DEDH DE 1 ,由1有几何关系： tans= = cot%AC2AH2AH 2EB 2;24,则有 f1= 1N1,f2= 2N2 （同Izl?（如图的 D点）:tan 中2 ,因数分别为1、2。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。（答案：.=tan上士士）可解得：autan。1一内心 。2山6 .如图所示.梯

29、子长为21,重量为G,梯子上的人的重量为G',人离梯子下端距离为h,梯子与地面夹角为，梯子下端与地面间的摩擦因数为，梯子上端与墙的摩擦力忽略不计，试求梯子不滑动时的 h化解杆的受力情况如图所示：由于杆静止，、F =0L M =0N = fN '=G'+G|GLcosi G hcos -N2Lsin1f =N解方程可以得出：h =21(G G )tan- -G1 (原答案有误)G所以，只要h M 2l(G G )tan"G1 ,梯子就不会滑动。G7 .如图所示，方桌重G=100 N前后腿与地面的动摩擦因数口 =0.20 , 与高相等。求：(1脑力F、地面对前、后

30、腿的支持力和摩擦力。(2)设前、后腿与地面间的静摩擦因数 1=0.60。在方桌的前端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿为轴 向前翻倒？口)据物悴一般平街条件有(加 工.。产* + N=由-G* =0H/=-*.Nj f , =fJt Nf联立以上四式可得出.广 20 Nt M -30 N, $ -70Nt fY -14、 f.H处用力和摩赛力均恰好为零时，以A点为轴：由 F'人 G，： =口 得 F：.-5ON* 而同时 小G = SON而同拥方桌会滑动)故.A - N <F £6、8 .如图所示，一根细棒AB, A端用绞链与天花板相连，B端用绞链与另一细棒 皿飞、一田 BCffi连，二 棒长度相等.限于在图示的竖直面内运动，且不计绞链处的摩擦，当在 5| 加一个适当的外力(与AB, BCE一个平面内)可使二棒静止在图示位置，即二棒相互垂直.且CtA端的正下方(1论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？式说明理由(2)如