利用递推关系式求数列的通项公式(共25页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上利用递推关系式求数列的通项公式数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1,3,7,15,31,2、2,6,12,20,30,3、4、1,-1,1,-15、1、0、1、0二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2已知数列的前项和满足，求数

2、列的通项公式.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列，其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，（1） 写出与之间的关系式（）。（2） 设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。四、累加（乘）法对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4. 若在数列中，求通项。变式1：

3、已知数列满足，求数列的通项公式。变式2.已知数列中, 且,求数列的通项公式.例5.在数列中，（），求通项。变式3：设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.五、取倒（对）数法a、这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例6.设数列满足求例7 、 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.例8、设a 0为常数，且a n3 n -12 a n -1（n为正整数）证明对任意n1 ，  &

4、#160;   a n 3 n（1）n -1· 2 n （1）n · 2 n a 0 七、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。例9已知数列中，求数列的通项公式。例10已知数列满足，求数列的通项公式。例11 已知数列满足，求数列的通项公式。例12. 在数列中，,求通项.（待定系数法）八：特征根法。1、设已知数列的

5、项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.2.对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例13：已知数列满足，求数列的通项公式。九：不动点法，形如解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例14设数列满足,求

6、数列的通项公式.十：逐项相减法：递推公式中既有，又有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例15 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。十一。双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例16. 已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.十二、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例17：若数列满足，若，则的值为_。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（ ）A0BCD变式.在数列中，2013年秋季高二A数学（）第四讲课后作业本试卷共18题，时间60分钟，满分100分）班级：

7、 姓名： 一填空选择题（每题10分）1.已知数列的首项为1，且那么数列的通项公式为.2.已知数列满足，那么此数列的通项公式为.已知,那么数列的通项公式为.已知数列中，那么数列的通项公式为。5.数列中，若,且满足,求. 数列中，（n2），那么数列的通项公式为。 .已知数列满足，则=（ ）A0BCD. 已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式.设为常数，且证明对任意1，；10.已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.2013年秋季高二A数学（）第四讲利用递推关系式求数列的通项公式数列是高考中的重点内

8、容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1,3,7,15,31,2、1,2,3,5,8,13,3、4、1,-1,1,-15、1、0、1、0二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。解析：

9、a1=1, an=2n;由题意，又是等比数列，公比为，故数列是等比数列， 三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列，其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，（3） 写出与之间的关系式（）。（4） 设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。解析：（1） 是线段的中点， （2），=，=，猜想，下面用数学归纳法证明 当n=1时，显然成立； 假设n=k时命题成立，即 则n=k+1时，= = 当n=k+1时命题也成立， 命题对

10、任意都成立。四、累加（乘）法对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4. 若在数列中，求通项。解析：由得，所以，将以上各式相加得：，又所以 =变式1：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则变式2.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,则此题也可以用数学归纳法来求解.例5. 在数列中，（），求通项。解析：由已知，又，所以=变式3：设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.解：已知

11、等式可化为：()(n+1), 即；时，=.五、取倒（对）数法a、这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例6.设数列满足求解：原条件变形为两边同乘以得.例7 、 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则 是以2为公比的等比数列，.， 六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.例8、（2003·高考·广东）设a 0为常数，且a n3 n -12 a n -1（n为正整数）证明对任意n1 ，   

12、   a n 3 n（1）n -1· 2 n （1）n · 2 n a 0 证明：        a n3 n -12 a n -13 n -12（3 n -22 a n -2）          3 n -12· 3 n -22 2（3 n -32 a n -3）        

13、;  3 n -12 ·3 n -22 2 ·3 n -32 3（3 n -42 a n -4）                                3 n -12·3 n -22 2·3 n 3 （1）n -1·2 n -1（1

14、）n ·2 n a 0（1）n ·2 n a 0 前面的n项组成首项为3 n -1，公比为的等比数列，这n项的和为： 3 n（1）n -1·2 n /5  a n 3 n（1）n -1· 2 n /5（1）n · 2 n a 0七、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。例9已知数列中，求数列的通项公式。

15、解法一： 又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即解法二： 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的例10已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略例11.已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以例12 在数列中，,求通项.（待定系数法）解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是

16、一个等比数列，首项,公比为. 即：故.八：特征根法。1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.2.对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例13：（1）已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法：这种方法一般不用于解答

17、题）：数列：， 的特征方程是：。 ,。又由，于是 故(2)已知数列满足：求解：作方程 当时，数列是以为公比的等比数列.于是九：不动点法，形如解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例14设数列满足,求数列的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首项为，公比为的等比数列, =, 解得.方法2：，两边取倒数得，令b，则b,转化为累加法来求. 例15 已知数列满足

18、，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。十：逐项相减法 1、递推公式中既有，又有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例16 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。解：对任意有 当n=1时，解得或当n2时， -整理得：各项均为正数，当时，此时成立当时，此时不成立，故舍去所以十一。双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例17. 已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.解：因所以即（1）又因为所以.即（2）由（1）、（2）得

19、：， 十二、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例18：若数列满足，若，则的值为_。变式1:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（ ）A0BCD变式2.在数列中，解：由条件即即每间隔6项循环一次.1998=6×333，十五、开方法对有些数列，可先求再求2bn=an+an+1,a2n+1=bn·bn+1.例23、两个数列它们的每一项都是正整数，且对任意自然数、成等差数列，、成等比数列，解：由条件有： 由式得：把、代入得：，变形得）.0，.是等差数列.因故小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键

20、。做题时要不断总结经验，多加琢磨。 2013年秋季高二A数学（）第四讲课后作业答案本试卷共18题，时间60分钟，满分100分）班级： 姓名： 一填空选择题（每题10分）1.已知数列的首项为1，且那么数列的通项公式为.答案：2.已知数列满足，那么此数列的通项公式为答案：裂项求和 .已知,那么数列的通项公式为.答案：-1.解析：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.已知数列中，那么数列的通项公式为。答案：5.数列中，若,且满足,求.答案： . 数列中，（n2），那么数列的通项公式为。 答案：.已知数列满足，则=（ B）A0BCD解析

21、：这是一个周期数列，T=3；a1=0, ,a3=0, 故a20=a2=.答案：B. 已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式.解：，即，  将以上k个式子相加，得将代入，得，。经检验也适合，解法2：a1=1, a2=0, a3=3, a4=1+3, a5=1+3+32，a6=1+3+32-1，a7=1+3+32+33-1，a8=1+3+32+33， .设为常数，且证明对任意1，；解析：,l=-2/5; ;bn=-2bn-1,且b0=a0-1/5; ,从而得结论。10.已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.解：因所以即（1）又因为所以.即（2）由（1）、（2）得：，11.设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式 提示：用数学归纳法。.解：(1)当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2