2013年江苏高考数学试卷解析版

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学I注意事项绝密启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1 .本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为 120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2 .答题前，请您务必将自己的、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定 位置.3 .请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的、号与您本人是否相符.4 .作答试题必须用0. 5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.5 .如需作困，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、

2、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 .函数y = 3sin（2x-?）的最小正周期为.解析：T= =22 .设z = （2 i）2（i为虚数单位），则复数z的模为 解析：Z = 3-4/,|Z| = 32+（-4）2=5223 .双曲线二一2_ = 1的两条渐近线的方程为 .（第5题）16 93解析：y=±x44 .集合（-1,0共有 个子集.解析：23=8 （个）5 .右图是一个算法的流程图，则输出的"的值是解析：经过了两次循环，n值变为36 .抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下:运动员第1

3、次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为.解析：易知均值都是90,乙方差较小， 252-x) =|(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2) = 27 .现有某类病毒记作X,”匕，其中正整数"7,“(? W 7, < 9)可以任意选取，则1,八都取到奇数的概率为 .解析：机可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个可以取的值有：1,2,3,45,6,7,8,9共9个所以总共有7x9 = 63种可能符合题意的根可以取1,3,5,7共4个符合题意的可以

4、取1,3,57,9共5个所以总共有4x5 = 20种可能符合题意所以符合题意的概率为空 638 .如图，在三棱柱ABG-ABC中，Q,乙尸分别是A6,AC,AA的中点，设三棱锥厂一AOE的体积为匕，三棱柱44cABC的体积为匕，则用：%=.解析：V =Ls.nJi=LxLsuiCx-h1=V11 3 m九 13 4，血 2 224 2所以匕：匕=-1 - 249 .抛物线），= /在x = l处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形部和边界）.若点夕。,），）是区域O的任意一点，则x+2y的取值国是 .解析：易知切线方程为：y = 2x-l所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A（0

5、,0）3（0.5,0）C（0,1）易知过C点时有最小值一2,过B点时有最大值0.51210 .设D,E分别 是AABC的边AB.BC上 的点，AD = -AB , BE = -BC ,若23QE = 4而衣（4，4为实数），则4+4的值为 .解析：易知。石月月+2（4e一4月）=一14后2323、763所以4 +4 =万11 .已知/（X）是定义在R上的奇函数.当x>0时，/（x） = x2-4x,则不等式，（x）>x的解集用区 间表示为 .解析：因为.f(x)是定义在R上的奇函数，所以易知x<0时，/(x) = -x2-4x解不等式得到/(X)> x的解集用区间表示为

6、(一5,0)U(5,+8)=1(。>0力>0),右焦点为尸，右准12 .在平面直角坐标系xQy中，椭圆。的标准方程为 线为/,短轴的一个端点为3,设原点到直线8尸的距离为4，尸到/的距离为“2若4 = 7石4,则椭圆的离心率为.解析：】无上乙， be ,a2b2由题意知4 =& =。= a -cc所以有匚=娓忙两边平方得到即/ 一/=6/两边同除以“4得到1一/=6°4,解得/=1,即6 =正 3313 ,平面直角坐标系xOy中，设定点P是函数y =1(x>0)图像上一动点，若点RAN x间最短距离为2右,则满足条件的实数4的所有值为.解析:令4+_!_ =

7、 /卜之2)xo则 PA2=f(t)=t2 -2cit + 2cr-2(/>2)对称轴L心2时，尸71"2) = 2/-.+ 22c/ 一 4+ 2 = 8a = - , a = 3 (舍去)2.心2时，一出"(°)=八2/-2 = 8a = >/To , a = -VlO （舍去）综上。=-1或 =14.在正项等比数列”中，“5 =1，4+的=3.则满足 +“2 +%+4 >“Q2。3“4”的最大2正整数的值为 解析:1 公%=54+%=3 aq + aq = 3q2 +f/-6 = 0；q>0 q = 2% = 2-6. q +a2 +

8、cq + + a > aa2ay.an n2-l br. 2-s - 2-5 > 21J-】 in. 2n-5 - 2-2> 2-5 > 0u ir -1 In77-5 > 213-V12913 + 7129<n< 1 < h < 12, n e N.又，2 = 12时符合题意，所以的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。15.（本小题满分14分）已知 a = (cosa, sin。)，b = (cos/?, sin/7), 0< p <a<

9、n.（1）若 a求证： (2)设c = (0,l),若a + B = c,求a,4的值.解:(1) a = (costz,sinab = (cossin4),0</3<a<7tv a-b = y/2：. a-b = 2 a + b -2ab = 21 +1 -2a,B = 2 , a-b = 0 , a Lb(2),c = (0,l),a + /? = c(cosa + cos /3, sin a + sin /7) = (0J)cos a + cos p = 0.sin a + sin 0 = 1?+2得：2+2cos(a/7) = 1,得 cos(a-/7) = - 2:

10、 b<。<a <亢 :.Q<a-J3c 2/r:.a- p =3cos a + cos 0 = 0 又,.a + / =乃5%-笈(M 16 题):a = ，Z = o o如图，在三棱锥S 45c中，平面以平面S8C,16.（本小题满分14分）AB±BC 9 AS = AB.过4 作 AE«LS8,垂足为 E,点 AE,G分别是侧棱S4.SC的中点.求证：（1）平面EFG/平面ABC；（2） BC± SA.解：（1）;石,6分别是侧棱54,5（7的中点/. EG/AC.AC在平面A8C中，EG在平面外二.EG平面 A8C-AS = AB.A

11、F±SB:.F为SB中点/. EF/ABA8在平面ABC中，政在平面外/. EF/ 平面 ABCEF与EG相交于EEF,EG在平面EFG中平面EFG/平面48c（2） .平面 S48_L 平面 SBCSB为交线A户在 S45 中，AF±SBAFX.平面 SBCAFLBCBCA.ABAF与A8相交于AARAB在平面S48中/. 8C_L 平面BCLSA17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0,3）,直线/： y = 2x 4.设圆的半径为1,圆心在/上.（1）若圆心C也在直线y = x l上，过点A作圆。的切线，求切线的方程； (2)若圆。上存在点使

12、M4 = 2MO,求圆心。的横坐标，的取值围.解:y = 2x-4® y=x-®与联立得到圆心坐标C(3,2) 圆方程为(入-3)2+(y 2)2=1 切线斜率不存在时，不合题意设切线方程为旷=6+3.做-2 + 3| . f;13解得攵=0或攵=一二4切线方程为y = 3或y = -3x + 34(2)设。亿2-4)则圆方程为(x-a+(y-2a + 4=1设由题意-+(% - 2a+4)2 =1MA = 2Mov+(yo-3)2=4v+4>o2即/2+(% + 1)2=4M存在圆(犬一4)2+()，-2 + 4=1与圆/+()，+ 1=4有交点即两圆相交或相切.-

13、.(2-1)2<6/2<(2 + 1)2即 14,-0+(24-4-(-1)y<912：.0<a< 518.(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径.一种是从沿A直线步行到C,另一种是 先从A沿索道乘缆车到8,然后从8沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿4C匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A 乘缆车到8,在8处停留lmin后，再从3匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为123130m/min,山路 AC 长为 1260m,经测量，cos A = , cosC =.135(1)求索道A3的长；(

14、2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟, 乙步行的速度应控制在什么围？解：(1).()< A < 乃,0< 8 < 九,0 v C< 汽 .* sin A , sin C =一135A + 8+C=乃12134_635655 3in B= sin (A+C) = sin A cos C+cos A sin C= 一 - +1AC AB _ BCsin B sin C sin A,-AB=£fAC=rl 1260=1040mBC=AC=500设乙出发t(Y8)分钟后，甲到了。处，乙到了 E处则有

15、 A0=50t+100 AE = 30t根据余弦定理。石2 = AE2 + AD2 - 2AEAD - cos A即 DE2 = 7400产-14000/ +100002 7400 37有最小值DE =250g37(3)设甲所用时间为加，乙所用时间为t,，乙步行速度为匕妹* 1260 126 .由现忌九尸=min505tz =2+J1040 , 500 一 500 .+1+ =11+ min<3，中解不等式得詈“匕“鲁记 =77 e N * ,19.(本小题满分16分)设为是首项为.，公差为"的等差数列(d WO), S”是其前项和.其中c为实数.(1)若c = 0,且4，4,

16、 4成等比数列，证明：5成=2sJz,£N*)； (2)若也是等差数列，证明：c = 0.解：< 1)4 =4 + (-l)d(d 00)0 n2 - nS, = na +2b ="=1 1,伍也也成等比.他=b；.cl2 = lad " H 0d = 2aS tl =S“k =n'k%5 =n2k2aA二 Snk = n0(2)由已知4=，生=ir +c2n2a + n3d -n2d2n2+2c- /.设/乙=kn+h (k,b为常数)/.有(2k-d)n' +(2b + d-2a)J + 2chi + 2bc = 0 对任意 e N*恒成

17、立'2k-d = 02b + d - 2a = 0-2ck=02bc = 0" WOk W Oh =此时：.c = 02a - d2命题得证20.(本小题满分16分)设函数/(x) = Inx - ax , g(x) =。'- at,其中为实数.(1)若/(x)在(1,+s)上是单调减函数，且g(x)在(1,+s)上有最小值，求a的围;(2)若g(x)在(一1,+s)上是单调增函数，试求/(X)的零点个数，并证明你的结论.解：(1)f(x) =xl-ag(x) =ex -a由题意：/*) <0对xe(l,+s)恒成立即a Nx"对xe(l,yo)恒成立/. a > 1,/ g(x)在(1,+cO)上有最小值a<0时，g(x)>o恒成立，g(x)在(1,XO)无最值a >0时，由题意Ina>1a > e综上：。的围是：a> e(2) g(x)在(一1,一)上是单调增函数g(x)'z。对 xe(-l,*o)恒成立即对xe(-l,4<Q)恒成立：.a < /In x令 fM = 0 ,则 a =-xIn Y则有/W的零点个数即为)