1978-2019年全国硕士研究生入学统一考试(数学一)真题及部分答案

1、历年考研数学一真题 1987-20191987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当*=B1函数y = x2x取得极小值.(2)由曲线y =inx与两直线y=e+1_x及y=0所围成的平面图形的面积是.求微分方程y"，+6y “+(9+a2)y=1的通解，其中常数a >0.,只有一五、选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分.每小题给出的四个选项中个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 设四墨三詈一则在,"a处(A) f(x)的导数存在，且 f (a) =0(B)f (x

2、)取得极大值(C) f(x)取得极小值(D)f (x)的导数不存在(2)设f(x)为已知连续函数,i =tj：f (tx)dx, 其中 t . 0, s , 0, 则I的值(A)依赖于s和t(B)依赖于s、(C)依赖于t、x,不依赖于s(3)设常数k >0,则级数克(一1)。号 n 二n(D)依赖于s ,不依赖于t(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关设A为n阶方阵，且A的行列式(A) a|A| = a*0,而A*是A的伴随矩阵,则| A*|等于(B)1 a(C) a(D) an六、(本题满分10分)求哥级数£，xn的收敛域，并求其和函数. n/n i

3、 nl_2七、(本题满分10分)求曲面积分I = x(8y 1)dydz 2(1 -y2)dzdx - 4 yzdxdy , E其中£是由曲线f(X)=!Z=m1 1*y 3绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于工 X =02八、(本题满分10分)设函数f(x)在闭区间0,1上可微，对于0,1上的每一个X,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且fx) ¥ 1,证明在(0,1)内有且仅有一 个X,使得f (x) =X.九、(本题满分8分)问a,b为何值时，现线性方程组XX| + x2 + x3 + x4 = 0x2 +2x3 + 2x4 =14-x2 +

4、(a -3)x3 -2x4 =b、3x1+2x2+x3+ax4 =-1有唯一解，无解,有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中，事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为 ；而事件A至多发生 一次的概率为.(2)有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出1个球，此球是白球的概率为 .已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为 .(3)已知连续随机变量

5、x的概率密度函数为f (x) = Je2*,则x的数学期望为 , x的方差为.十一、(本题满分6分)设随机变量X,丫相互独立，其概率密度函数分别为fx(X)= ( 1 0'X'1, fY(y) = y >0,求 Z =2X +Y 的概率密度函数.I 0其它by <01988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题，每小题5分，满分15分),公、n(1)求哥级数£ (x”的收敛域.n n32(2)设 f (x) =ex , fN(x) =1 -x 且中(x)之 0 ,求甲(x)及其7E 义域.(3)设£为曲面x2十y2+z2=1

6、的外侧，计算曲面积分I = Jfx3dydz +y3dzdx +z3dxdy. T二、填空题(本题共4小题，每小题3分，满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若 f (t) = lim t(1 +1)2tx，贝U f '(t) =. xf：x3 1一.(A) 设 f(x) 连续且 (f(t)dt=x,则f (7) =.(3)设周期为2的周期函数，它在区间(.1,1上斗义为 f(x)= 2 T<-0,则的傅里叶(Fourier )级数在xn处收 x2 0 <x -1敛于.(4)设 4 阶矩阵 A = % 丫2, 丫3, %, B = 0 丫2, 丫3, 丫4,其中 ,丫3,

7、屹均为4维列向量，且已知彳亍列式IA =4jB = 1,则 行列式A + B =.三、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分. 每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f (x)可导且f H(x0)=-1,则AxT 0时，f (x)在沏处的 微分dy是(A)与心等价的无穷小(B)与心同阶的无穷小(C)比Ax低阶的无穷小(D)比Ax高阶的无穷小(2)设y=f(x)是方程y"-2y，+ 4y = 0的一个解且 f (Xo)>0, f'(x0)=0,则函数f (x)在点为处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单

8、调增加(D)某邻域内单调减少(B) 设 空 间 区 域Q : x2 +y2+z2 <R2,z>0,Q2 : x2+y2+z2 E R2,x 2 0, y ±0, z 之 0,贝U(C) hi xdv =4 hidv,I：/2(D) ill ydv = 4 ill ydv;(E) iiizdv =4 iiizdv'.1；2(F) i l l xyzdv =4 i n xyzdv6.1 心21(4)设哥级数£ an(x -1)n在x = 1处收敛，则此级数在n 1x =2处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5) n维向量组 卬%II

9、I, &(3«s«n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数ki,k2,m,ks,使k1al + k2 a2 + 用 + ks % = 0(B) a,孙川,鬼中任意两个向量均线性无关(C) a,如川,鬼中存在一个向量不能用其余向量线性表不(D) g, 02,01, &中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设u = yf(2)十xgd),其中函数f、g具有二阶连续导数， y x-2.2求x" Vvi、x . 2 y -.: xcx：y五、(本题满分8分)设函数y = y(x)满足微分方程y3y' +2y=2ex,其

10、图形在点(0,1)处的切线与曲线y = x2-x-1在该点处的切线重合，求函数y=y(x).01000 ,P = 2-10,求 A, A5.-1 _211 _六、(本题满分9分)设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为与(k A0为常数，r为A质点与M之间的距离),质点M沿直 r线y = ,2x -x2自B(2, 0)运动到O(0, 0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、(本题满分6分)1 0已知AP =BP ,其中B =卜00 0八、(本题满分8分)2 0 02 0 0已知矩阵A = 00 1与8= 0 y 0相似.0 1 x_0 0-1-求x与y.九、(本题满分9分

11、)设函数f (x)在区间a,b上连续，且在(a,b)内有f <x) a 0,证明：在(a,b)内存在唯一的之使曲线y = f(x)与两 直线y=f),x = a所围平面图形面积S是曲线y=f(x)与 两直线y=f(£),x = b所围平面图形面积S2的3倍.十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若 已知A至少出现一次的概率等于 电 则事件A在一次试验 27 中出现的概率是.(2)若在区间(0,1)内任取两个数，则事件”两数之和 小于6"的概率为.5(3)设随机变量x服从均值为10,均方差为

12、0.02的正 态分布，已知求一个满足P，AP =B的可逆阵P.2x 1-ur_(x) =_e 2 du, (2.5) =0.9938,-二 2：则X落在区间 （9.95,10.05） 内的概率为卜一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为fx（x）=1 求随X2 ,.（1 一 x ）机变量Y =1 -3又的概率密度函数fy（y）.3 0设矩阵A= 1 40 01989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)已知 f =2,则 lim "3一2一"3) =. h 0 2hi一 ,(2)设f

13、(x)是连续函数，且f(x)=x+2(f(t)dt,则f (x) =(3)设平面曲线l为下半圆周y=rK,则曲线积分L(x2y2)ds=.(4)向量场div u在点P(1,1,O)处的散度 div u 一01 0 00 ,I = 0 1 0 ,则矩阵3_P 0 1_1(A -2I) =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当x > 0日寸,曲线y=xsin x(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线，又无铅直渐近线(2)已知曲面

14、z = 4-x2-y2上点p处的切平面平行于平面2x +2y +z1 = 0，则点的坐标是(A) (1, -1,2)(B) (-1,1,2)(C) (1,1,2)(D) (-1,-1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数，则该非齐次方程的通解是(A) ay c2y2 y3(B) Gy1 c2y2 - (Ci c)、3(C) C1 y1 c2 y2 -(1 - G - C2 ) y3(D) G y1 c2y2 (1-c1-c2)y3 设 函 数 f (x) =x2,0 Mx父1,S(x) =£ bn sin nnx, <x < -He,其中 n 1

15、bn =2 1 f (x)sin nnxdx,n =1,2,3,|，贝U S(-)等于02(A) 2(C)1 4(B)(D)-4-2设A是n阶矩阵，且A的行列式A =0,则A中(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)设 z=f(2x-y)+g(x,xy),其中函数 f(t)二阶可导2,g(u,v)具有连续二阶偏导数，求三.二x ：y(2)设曲线积分1 xy2dx + y中(x)dy与路径无关,其中甲(x),cJ(00) xy2dx + y中(x)dy 的值

16、.(3)计算三重积分W(x + z)dv,其中C是由曲面 riz =质可 与z= Ji 一 x2 一 y2所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数 f (x) - arctan 年展为x的哥级数.1 - x五、(本题满分7分)x设 f (x) = sinx- J0(x-t)f(t)dt,其中 f 为连续函数，求 f (x).六、(本题满分7分)证明方程ln x -产j1-cos2xdx在区间(0,收)内有且 e .0仅有两个不同实根.七、(本题满分6分)具有连续的导数，且中(0) =0,计算问z为何值时,线性方程组率P(B) = 0.6及条件概率P(B | A) = 0.8,则和事件A|J B

17、的概率(1)已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概4x1 +x2 +2x3 = 2 +2< 6x1 +X2 +4x3 =2九+3有解，并求出解的一般形式.八、(本题满分8分)假设£为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明(1) 1为A工的特征值.九(2)同为A的伴随矩阵A*的特征值.九九、(本题满分9分)设半径为R的球面工的球心在定球面x2 +y2 +z2 =a2(a >0)上，问当R为何值时,球面Z在定球面 内部的那部分的面积最大？十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分. 把答案填在题中横线上)P(AIJ B)=.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次

18、 ，其命中 率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中 的概率为.(3)若随机变量U在(1,6)上服从均匀分布，则方程 x2 + £x + 1 = 0有实根的概率是.十一、(本题满分6分)设随机变量X与丫独立，且X服从均值为1、标准差(均 方差)为V2的正态分布，而丫服从标准正态分布.试求随 机变量Z =2X Y+3的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)'x =+2(1)过点M (1,21)且与直线y=3t -4垂直的平面方程是.z =t -1(2)设a为非零常数，

19、则iim( ±)x =. x 二 x -a(3)设函数f(x)= 1x*, 则0x >1f f ( x) =.22(4)积分f dx e-y dy的值等于0x(5) 已 知 向 量 组0cl =(1,2,3,4), 。2 =(2,3,4,5),出=(3,4,5,6),的=(4,5,6,7),则该向量组的秩是二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分. 每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)_x(1)设f(x)是连续函数，且F(x) = f (t)dt,则F，(x)等于(A) -e' f(e)- f(x)(B) -ef(e

20、)f(x)(C)e，f(e) f(x)(D) ef(e)f(x)(2)已知函数f(x)具有任意阶导数，且f'(x) = f(x)2, 则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n)(x)是(A) n!f(x)n1(B) nf(x)n1(C)f(x)2n(D) n!f(x)2n(3)设a为常数，则级数£ Snqiai 一； nd n . n(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关(4)已知f (x)在x =0的某个邻域内连续，且f (0) =0,lim f(x) =2,则在点 x =。处 f (x)X01 - cosx(A)不可导(B)可导，且 f

21、 (0) =0(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知0、日是非齐次线性方程组AX =b的两个不同 的解，四、是对应其次线性方程组AX =0的基础解析，K、ln(1 x) 2 dx. (2-x)(2)设z = f (2 x - y, y sin x),其中f (u, v)具有连续的一.阶偏导数，求Yz二 x:y 求微分方程y“ + 4 + 4y = e/x的通解(一般解).四、(本题满分6分)求哥级数才(2n+1)x。的收敛域，并求其和函数. n=0五、(本题满分8分)求曲面积分k2为任意常数，则方程组AX =b的通解(一般解)必是(A) k1al + k2 (如 + a2)+'1

22、一 02(B) ki& +k2(图 %) + 自 2 0(C) ki/i +k2(Bi +缶)+2、(D) ki/i +k2(由-fe)2I = yzdzdx 2dxdyS其中S是球面x2 + y2 + z2 = 4外侧在z之0的部分.六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数f (x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f (a) = f (b).证明在(a,b)内至少存在一三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)2 13 40 2 13, C =0 0 2 1-0 0 0 21点之使得代)>0.七、(本题满分6分)设四阶矩阵1-10001-10B =0 01-1

23、-0 001且矩阵A满足关系式质点P沿着以AB为直径的半圆周，从点A(1,2)运动到点B(3, 4)的 过程中受变力；作用(见图).2的 大小等于点P与原点O之间的距 离，其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于色求变力对2质点P所作的功.A(E C,B) C =E其中E为四阶单位矩阵，C表示C的逆矩阵，C 表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.八、(本题满分8分)求一个正交变换化二次型f =x +4x2 +4x2 -4x1x2 +4x1x3 -8*公3成标准型.九、(本题满分8分)十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函

24、数f (x) = 1 ex,-二：x ：二则X的概率分布函数F (x) =.(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率 P( aB) =.(3)已知离散型随机变量x服从参数为2的泊松k 2(Poisson )分布，即 PX =k = ,k = 0,1,2|,则随机变量 k!Z =3X -2的数学期望E(Z)=.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(x,Y)在区域D : 0 <x <1,|y <x内服从均匀分布，求关于x的边缘概率密度函数及随机变量Z =2 X +1 的方差 D(Z).(C) ex ln 219

25、91年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1) M *=二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分. 每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)x2(1)曲线y = L% -e(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线十/，贝"屯=.| y =cost dx(2)由方程xyz十Jx2 + y(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数f(x)满足关系式f (x)= J02"fg)dt+ln2, 则f (x)等于十z2 =/所确定的函

26、数 z =z(x, y)在点(1, 0, -1)处的全微分 dz=.(3) 已知两条直线的方程是h =j ：*=j .则过11且平行于I2的10-1211平面方程是.1(4)已知当xt 0时,(1+ax2)(A) exln2(B) e2x ln 2 -1与cos x -1是等价无穷小贝U常数a =.5 2 0 0(5)设4阶方阵a= I2 1 0 0 ,则a的逆阵 0 0 1-20 0 11 _A -=.(D) e2x ln 2(3)已知级数克(-1)nan=2,f a2n,=5,则级数fan等于 n三n皂nq1(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设d是平面xoy上以 (1,1)、 (-i,

27、i)和(-i,-i) 为顶点的三角形区域，Di是D在第一象限的部分，则Kxy + cos x sin y)dxdy 等于D(A) 2 11cos x sin ydxdy(B) 2 11 xydxdyDiDi(C) 4 ii(xy cosxsin y)dxdy(D)0Di(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式abc = E，其中E是n阶单位阵，则必有(A) ACB =E(B) CBA =E(C) BAC = E(D) BCA = E三、(本题共3小题，每小题5分，满分i5分)(i)求 ijm,cosG)2.(2)设n是曲面2x2 +3y2 +z2 =6在点P(i,i,i)处的指向外侧的法向量，求函

28、数u = 46' '8y2在点P处沿方向1的方 z向导数.一 一一 2(3)m(x2+y2+z)dv,其中C是由即线y =2z绕z轴旋转 x 0一周而成的曲面与平面z = 4所围城3立体.四、(本题满分6分)过点O (0, 0)和A(n , 0)的曲线族y = a sin x(a > 0)中，求一'条曲线L,使沿该曲线。从到A的积分L(i + y3)dx + (2x+y)dy 的值最小.五、(本题满分8分)将函数f(x) = 21x(-iMxMi)展开成以2为周期的傅里 叶级数,并由此求级数£目的和.nd n六、(本题满分7分)设函数f(x)在0,i上连

29、续,(0,i)内可导，且3 1 f (x)dx = f (0),证明在(0,1)内存在一点 c,使(c) =0.3七、(本题满分8分)已知M =(1,0,2,3), © =(1,1,3,5), % =(1,1,a +2,1), & =(1,2,4,a +8)及 B =(1,1, b 3,5).(1) a、b为何值日寸，B不能表不成01, 0(2, 03, 0(4的线性组合？(2) a、b为何值时，0有伪，如的, %的唯一的线性表示式？ 写出该表示式.八、(本题满分6分)设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线

30、，其上任一点P(x,y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段pq长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴 平行.十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量x服从均值为2、方差为仃2的正态分布，且 P2 < X < 4 =0.3,贝U PX <0 =.(2)随机地向半圆0<yc V2ax-x2(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于e的概率为(本题满分6分)设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f (x, y)二2e"x 2y)

31、x 01y 00 其它求随机变量Z = X十2Y的分布函数.dy = dx(2)函数 u = ln(x2 + y2 + z2)在点 m (1, 2, -2)处的梯度gradu m(3)设 f (x)=-1 T<x<0,则其以2n为周期的傅1 x2 0 ： x 一 二里叶级数在点xln处收敛于微分方程 y，+ y tan x = cos x 的a2b1Illi_anb1ab2 a2b1IHanb2IIIIIIIIIIIIaha2bnIIIanbn 一ai #0,bi =0,(i =1,2川，n).贝U矩1992年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共5小题，每小题

32、3分，满分15分.把答案填在题中横线上）（1）设函数y = y（x）由方程ex4y+cos（xy） =0确定,则二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分. 每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内）21.一（1）当xT1时，函数=e瑞的极限x - 1(A)等于2(B)等于0(C)为2(D)不存在但不为二(2)级数克(一1)。(1一3三)(常数a>0) n 1n(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线x=t,y=T2,z=t3的所有切线中，与平面x -2y，z =4 平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至

33、少有3条(D)不存在(4)设f(x)=3x3 +xx，则使f(n)(0)存在的最高阶数n为(A)0(B)11、要使自=0只要系数矩阵A为(A) 1-2 1 2(C)0 21：。110 1-1(D) 4 -2 -2 0 11 -(C)2(D)3&= 1都是线性方程组1AX = 0的解,叫0 0-：三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)求 limex-sin x -1 1 -d-x2 设z= f(exsiny,x2 + y2),其中f具有二阶连续偏导数:x.:y设 f(x)12 xW0,求j3f(x-2)dxe *x 01四、(本题满分6分)求微分方程y“十2y= 3y=ex的

34、通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分JJ(x3 +az2)dydz +(y3 +ax2)dzdx +(z3 +ay2)dxdy,其中工为上半 球面z=Ja2-x2-y2的上侧.六、(本题满分7分)设 f "(x) <0, f (0) =0,证明对任何、>042>0,有 f(xi +x2) <f(xi) + f(x2).七、(本题满分8分)在变力F=yzi" + zxj+xyk的作用下，质点由原点沿直线 .222运动到椭球面 '+” +4=1上第一>限的点m(3),问 222a b c当已、”、U取何值时，力F所做的功W最大？并求出W的

35、最 大值.八、(本题满分7分)设向量组如，0C2,出线性相关，向量组0C2, 03,的线性无关,问：(1) 1能否由见为线性表出？证明你的结论.(2) &能否由卬如的线性表出？证明你的结论.九、(本题满分7分)设3阶矩阵a的特征值为九i = 1九=22 3,对应的特征 向量依次为41"& = 1 , &= 2 , &= 3 ,又向量 B= 2 .149)(1)将B用1 . &线性表出.(2)求A nW为自然数).十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)P(A) =P(B) =P(C) =1,P(AB) =0, P(

36、AC) =P(BC)=，贝U 事件 46A、B、C全不发生的概率为(2)设随机变量x服从参数为1的指数分布，则数学 期望 EX e"X=卜一、(本题满分6分)设随机变量x与丫独立，x服从正态分布N(N,q2),Y服 从工不上的均匀分布，试求z = x十丫的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数中表示，其中中(x)=.2二x上一e 2 dt).1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数F(x)=(2

37、.)dt(xA0)的单调减少区间为22(2)由曲笨 3X +2V =12绕y轴旋转一周得到的旋转Z z =0面在点(0,上，柩处的指向外侧的单位法向量为(3)设函数f (x) =nx+x2(-n <x <n)的傅里叶级数展开式为也+9acosnx+bnsinnx),则其中系数b3的值为2 n 1所选项前的字母填在题后的括号内)sin x(1)设 f (x) = J0 sin(t )dt,g(x) = x +x，则当 xt 0 时，f (x) 是g (x)的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线(x2 + y2)2 = x2-y2所围成

38、的区域面积可用定 积分表示为(A) 2 设数量 场 u = ln Jx2+y2+z2,则 div(grad u) =. cos 21dl - 0 n(B) 4 f04 cos 26 d6 ji i(C) 2 04 /cos2三d 1 二c(D) - f04 (cos 20) d(3)设有直线l1:q=T=皿与J x-y=(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为 n.1,则线性方程组AX =0的通解为.贝h与1-21- 2y z = 312的夹角为(A) 6(B)-(C) 3(D)-设曲线积分JJ f (t) exsin ydx - f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶

39、连续导数，且f (0)=0，则(A)(C).x xe -e2x_xe e /-12f (x)x等于(B)二2x . x(D)1_e_已知一1Q = 2-331t ,P为三阶非零矩阵，且满足9PQ =0,贝U(A)t6时P的秩必为1(B) t(C) t ¥6时P的秩必为1(D) t¥6 时p的秩必为2 p的秩必为2三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)求 limsin 2+cos1)x. xx xx求Hxdx., ex-1(3)求微分方程x2y，+xy = y2,满足初始条件y|g= 1的 特解.四、(本题满分6分)计算 2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy

40、,其中工是由曲面 z = Jx2 + y2与z=q12-x2- y2所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数£歹一"1)的和. nW2六、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)(1)设在0,y)上函数f(x)有连续导数，且 f x) > k > 0, f (0) < 0,证明f (x)在(0,依C)内有且仅有一个零八、.(2)设 b a a > e,证明 a b > ba.七、(本题满分8分)已知一次型 f (x1, x2 ,x3) =2x；+3x；+3x；+2ax2x3(a a 0)通 过正交变换化成标准形 f =y12 +2y2 +

41、5y2,求参数a及所用 的正交变换矩阵.八、(本题满分6分)设A是n Mm矩阵,B是mxn矩阵，其中n <m,I是n阶单位 矩阵，若AB =I ,证明B的列向量组线性无关.九、(本题满分6分)设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正 向运动.物体B从点(.1,0)与A同时出发，其速度大小为2V, 方向始终指向A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分 方程，并写出初始条件.把答案填在题中横线上)(1) 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两 次,每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次 品的概率为.(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变 量丫 = X

42、2在(0, 4)内的概率分布密度fY(y)=.十一、(本题满分6分)设随机变量X的概率分布密度为.,、1 ixf (x) = - e，-二二 x -；： ".(1)求X的数学期望EX和方差DX .(2)求X与凶的协方差，并问X与|X|是否不相关？十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分.(3)问X与凶是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上) lim0 cot 二(-1- -) =.x0sin x x、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一

43、个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 设2 sinx2：.2-21 xnjicos xdx,N = (4) 设 区 域 d 为x2+y2ER2, 则22x y!.!.( 72) dxdy =.D a b(5)已知 a =1,2,3, B =1,1,1,设 A = /B,其中 /是 a 的转 3置，则A n =. (sin x cos x)dx,P = 2 (x sin x- cos x)dx,"2-2则有(2)曲面z-ex+2xy=3在点(i, 2, 0)处的切平面方程为-2设u=e，n3,则包在点(2,工)处的值为y二x.y二(A) N ： P ： M(B) M

44、 ： P ： N(C) N :二 M :二 P(D) P ：: M ： N(2)二元函数f (x, y)在点(xo,y。)处两个偏导数f：(x0,yo)、fy(xo,yo)存在是f(x, y)在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件设常数z>0,且级数克a2收敛，则级数n 1 曲面z ex+2xy = 3在点（1,2, 0）处的切平面方程为收敛（A）发散（B）条件lu；x.y（2）处的JI(D)收22口 信 /dxdy =(A) b =4d(B) b = -4d 已知 a = 1,2,3, § = 1,；：

45、,设A =2 3冶其中/是a的转(C) a =4c(D) a =Mc置，则An（C）绝对收敛 敛性与之有关 lim atanx+bd-l =2，其中 a2+c、0,则必有 xT cln(1 2x) d(1 e* )已知向量组知如%的线性无关，则向量组1994年全国硕士研究生入学统一考试二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.数学（一）试卷每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 所选项前的字母填在题后的括号内）、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）1(1) lxm0 cot 冗(一2 sinx二,2-21 xcos4 xdx,N = 2 (sin3

46、 x cos4 x)dx,P = 2 (x2 sisin x-cos4 x)dx,sin x则有敛性与7-有关(A) N :二 P ：: M(B) M ：: P ：: N时 atanx+b(1-cosx)2 =2，其中 a2 + c0,则必有 x 力 cln(1 2x) d(1 e，)(A) b = 4d(B) b = _4d(C) N :二 M :二 P(C) a =4c(D) a - -4c(D) P :二 M :二 N二兀函数f (x, y)在点(Xo, 丫。)处两个偏导数已知向量组孙如生,如线性无关，则向量组(A)oq十02,02+a3, %十04,04十01线性无关fx(X0,%)、

47、 fytXoy。)存在是f(x,y)在该点连续的(B)o) a2,oc2a3,a3a4,a4%线性无关(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数九0,且级数克an2收敛，则级数 ni(C)(D)o)+ a2, a2 + a3, a3 + a4, a4%线性无关O)+a2,a2*a3,a3-a4,a4-0cl线性无关T)nn=1(A)发散收敛(B)条件三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)x=cos(t2)2(1)*2 J 1，求也、编在tJ"y=tcos(t )cosudu dx dx ，21 2 ,； u的

48、值.(2)将函数f(x) = 1ln1xarctan x-x展开成x的帚级41 - x 2(C)绝对收敛(D)收数.蚂岸=0,证明级数9 f (1)绝对收敛. nm n(3)求1dX. sin(2 x) 2sin x四、(本题满分6分)II2 .计算曲面积分.dydz 2zdxdy,其中s是由曲面 S X y zX2 +y2 =R2&z = R,z = R(R >0)两平面所围成立体表面的夕卜侧.五、(本题满分9分)设f (x)具有二阶连续函数，f (0) =0, f =1,且xy(x+y) - f(x)ydx+f'(x)+x2ydy =0 为一全微分方程,求f(x)及此

49、全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设f (x)在点x =0的某一邻域内具有二阶连续导数，且七、(本题满分6分)已知点A与B的直角坐标分别为(1,0, 0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.八、(本题满分8分)设四元线性齐次方程组(I )为x * x2 = 0 ,Ix2 - M = 0又已知某线性齐次方程组(n )的通解为 k1(0,1,1,0) - k2(-1,2,2,1).(1)求线性方程组(I )的基础解析.(2)问线性方程组(I)和(n)是否有非零公共解？若 有,则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.九、(

50、本题满分6分)设A为n阶非零方阵，A *是八的伴随矩阵，A，是A的转置 矩阵，当A * =A，时，证明|A #0.十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB) =P(AB),且 P(A) =p,贝U P(B) =.(2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率, 且X的分布率为X0111P22则随机变量Z =max X,Y的分布率为 .十一、(本题满分6分)设随机变量X和丫分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42)，且X与丫的相关系数Pxy=z='+Y, y 232(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.(2)求X

51、与Z的相关系数.(3)问X与丫是否相互独立？为什么？1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上) lim(1 3x)s =卷 x02xcost2dt=.(3)设(a b)_c =2,(a +b) M( b +c)|_(c +a) =.(4) 哥级数£nx23的收敛半径 nm 2n(-3)n所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线L：X + 3y + 2z + 1 = 0，及平面：,2x - y-10z 3=0n:4x_2y+z2=0,贝!1直线 L(A)平行于冗(B)在冗上(C)垂直于冗(D)与冗斜交(2)设在0,1上 f"(x)A0,贝 U f 70), f71), f (1) - f (0)或f (0) - f (1)的大小顺序是(A) f (1) . f (0) . f (1) - f (0)(B) f (1) f (1) - f (0) . f (0)(5)设三阶方阵a , B满足关系式 A/BA =6A+BA，且(C) f (1) - f (0) . f (1) . f (0)00，则 b =17(D) f