2019-2020学年江苏省无锡市南长实验、侨谊教育集团九年级(上)期中数学试卷(解析版)

1、2019-2020学年江苏省无锡市南长实验、侨谊教育集团九年级（上）期中数学试卷、选择题（共10小题）1 . （3分）下列方程为一元二次方程的是（）22._A.x20B .x2x3C. xy10D.x4x102.已知关于x的方程x2 2x 3k 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）11一 1 一1 一A. k -B , k -C, k 且 k 0 D, k 且 k 033333. （3分）某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元.设平均每次降价的百分率为x ,则下面列出的方程中正确的是（）22A. 1185x2 580B, 1185（1 x）2 5804.C. 1185

2、(1 x2) 580（3分）在平面直角坐标系中，以D.580(1。为圆心的圆过点 A（0,x)24),1185则点B( 2,3)O的位置关系是（）B.在圆外C.在圆上D.无法确定5.（3分）下列语句中，正确的是A.长度相等的两条弧是等弧B.相等的圆周角所对的弧相等6.7.C.相等的弧所对的圆心角相等（3分）关于x的方程2x2 mx(3分)已知正方形的周长为8,D.平分弦的直径垂直于弦0的两个根是2和1,则nm的值为C. 16D.16那么该正方形的外接圆的半径长为（A. 2C. 4D.8. （3分）已知圆锥的底面半径为 4cm,母线长为5cm ,则这个圆锥的侧面积是 （）2222A . 20 c

3、mB. 20cmC. 40 cmD. 40cm9. （3分）如图，ABC是等腰直角三角形，AC BC 2,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与 AC , BC相切于点D , E ,与AB分别交于点G , H ,且DG的延长线和CB的延长线交于点F,分析下列四个结论:HG 2 ；BG BF ；AH BG J2 1 ；CF J2 1 .其中正确的结论有（）B. 2个10. （3分）如图，已知P O外一点，Q电C. 3个D. 4个O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP , O的半径为2, OP 4 ,则线段OM的最小值是（）OA . 0B. 1C.D. 3二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分

4、）（2分）方程2x 2x的解是12.（2分）已知x 1是关于x的方程ax2 2x 3。的一个根，则a13.（2分）若|x,：2 4x 4|与，2x y 3互为相反数，则x y的值为O 中，弦 AB 16cm垂足为C , OC 6cm ,（2分）如图,14.15. （2分）如图，已知四边形 ACDB是圆内接四边形,1 130 ,贝U CDE度.A16. （2分）如图，若以平行四边形一边 AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D ,度.D17. （2分）如图）O在矩形ABCD内，且与AB、BC边都相切,E是BC上一点,沿DE对折，点C的对称点F恰好落噌。上，已知AB 20BC 25, CE 10DC

5、EOABC的边长为2,以。为圆心，EF为直径的半圆经过点接AE , CF相交于点P ,将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点A ,连O逆时针旋转90 ,交点P运动的路径长是Q、解答题（共9小题，满分84分）19. （16分）解方程:(1)7x(2)(5x1)23(5x1)(3)4x（用配方法）(4)4x（用公式法）20. (6分)如图，已知在 ABC中， A 90 .BC两边都相切(保留作(1)请用圆规和直尺作出Q P,使圆心P在AC边上，且与 AB图痕迹，不写作法和证明)P的面积.9x 25 m 0 .(1)若此方程有实数根，求 m的取值范围;(2)在(1)的条件下m取满足条件的

6、最大整数时，求此时方程的解.22. (8分)如图，C、D是半圆。上的三等分点，直径AB 4,连接AD、AC, DE AB, 垂足为E , DE交AC于点F .(1)求 AFE的度数；(2)求阴影部分的面积(结果保留和根号).23. (8分)山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？24. (8分)设a

7、、b、c是等腰 ABC的三条边，关于x的方程x2 2孔x 2c a 0有两个 相等的实数根，且 a、b为方程x2 mx 3m 0的两根，求m的值.25. (10分)如图，在半径为 30 O中，AB是直径，AC是弦，且AC 42 .过点。作 直径DE AC ,垂足为点P ,过点B的直线交AC的延长线和DE的延长线于点F、G .(1)求线段AP、CB的长；O的切线.数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称这个三角形为“智慧三角形”理解:(1)如图1,已知A、BO上两点，请在圆上找出满足条件的点C ,使ABC为“智慧三角形”(画出点C的位置，保留作图痕迹

8、)(2)如图2,在正方形 ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且 CF断AEF是否为“智慧三角形”,并说明理由;运用:(3)如图3,在平面直角坐标系O上存在一点P ,使得xOy中,。O的半径为1,点Q是直线y 3上的一点，若OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标.527. (12分)如图1,直线lAB于点B ,点C在AB上，且AC : CB 2:1 ,点M是直线l上的动点，作点B关于直线CM的对称点B ,直线AB与直线CM相交于点P ,连接PB .(1)如图2,若点P与点M重合，则 PAB,线段PA与PB的比值为(2)如图3,若点P与点M不重合，设过P ,

9、 B , C三点的圆与直线 AP相交于D ,连接CD ,求证： CD CB ; PA 2PB ；(3)如图4,若AC 2 , BC 1,则满足条件PA 2PB的点都在一个确定的圆上，在以下 小题中选做一题：如果你能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程， 只要证明这个圆上的任意一点Q ,都满足QA 2QB ;如果你不能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么请取出几个特殊位置的P点，如点P在直线AB上，点P与点M重合等进行探究，求这个圆的半径.图4图参考答案一、选择题：（本大题共有10小题，每题3分，共30分.）1. （3分）下列方程为一元二次方程的是（）22A.x20B.x2x3C.

10、xy10D.x4x10解：A、x 2 0是一元一次方程，故 A错误；2B、x 2x 3是二次三项式，故 B错误；C、xy 1 0是二元二次方程，故 C错误；D、x2 4x 1 0是一元二次方程，故 D正确；故选：D .2. （3分）已知关于x的方程x2 2x 3k 0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是（）1_1_1 _1 -A. k -B,k -C,k 且 k0 D,k 且k 03333解：丫方程x2 2x 3k 0有两个不相等的实数根， 4 12k 0 ,解得：k1.3故选：A .3. （3分）某款手机连续两次降价，售价由原来的 1185元降到580元.设平均每次降价的百分率为x ,则

11、下面列出的方程中正确的是（）一 22A. 1185x 580B. 1185（1 x） 580_22_C. 1185（1 x2） 580D. 580（1 x）2 1185解：依题意得：第一次降价的手机售价为：1185（1 x）元，2则第二次降价的手机售价为:1185(1 x)(1 x) 1185(1 x)2 580;O的位置4. （3分）在平面直角坐标系中，以。为圆心的圆过点 A（0, 4）,则点B（ 2,3）关系是（）A.在圆内B.在圆外C.在圆上D.无法确定解：以。为圆心的圆过点 A（0, 4）,圆的半径r 4 ,.点 B（ 2,3）,OB 22 32 Vl3 4,点B（ 2,3） 。的位置

12、关系是在圆内, 故选：A .5. （3分）下列语句中，正确的是 （）A.长度相等的两条弧是等弧B.相等的圆周角所对的弧相等C.相等的弧所对的圆心角相等D.平分弦的直径垂直于弦解：A、长度相等的两条弧不一定为等弧，所以A选项错误;B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以 B选项错误;C、相等的弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以 D选项错误.故选：C .6. （3分）关于x的方程2x2mx0的两个根是2和1,则nm的值为B.C. 16D.16解：丫关于x的方程2x2mx0的两个根是2和1 ,故选:1,4)2n22,4,16.7. （3分）已知正方

13、形的周长为8,那么该正方形的外接圆的半径长为（B. &C. 4D, 2V2解：丫正方形的周长为8,边长AB 2,四边形是正方形，AOB 90OA AB sin 452故选：B .8. （3分）已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为5cm,则这个圆锥的侧面积是 （）2A. 20 cm解：圆锥的侧面积故选：A .9. （3分）如图，2B. 20cm24 5 2 20 .ABC是等腰直角三角形,一一 2-2C. 40cmD. 40cmAC BC 2,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC,BC相切于点D , E ,与AB分别交于点G , H ,且DG的延长线和CB的延长线交于点F,分析下列四个结论:H

14、G 2 ；BG BF ；AH BG J2 1 ；CF J2 1 .其中正确的结论有()A. 1个解：如右图所示,0。与 AC、B. 2个连接OD、OE,BC切于点D、E ,C. 3个D. 4个ODC OEC 90 , OE OD , 艾 ABC是等腰直角三角形，C 90 , A 45 ,四边形DCEO是正方形，OD/BC, OE OD, OD AC,ADO是等腰直角三角形，-1 -OD AD AC 1 , 2HG 2OD 2；故正确；1 AC BC , A ABC 45 ,EOB 45 ,ODG 135 ,1 OD OG ,OGD ODG 22.5 ,BGF 22.5 ,BGF F ABC 4

15、5 ,F 22.5 ,BG BF ,故正确；1 OE OD ,O在ACB的角平分线上，O是AB中点，AD CD ,l lX AC 2,AD CD OD OE 1 ,OG 1,:AB 2AC 242,OB 72,BG OB OG 22 1,同理AH BG 22 1,故正确；CF 2 BF 亚1 .故正确.，连接OP ,10. （3分）如图，已知PO外一点，Qg）0上的动点，线段PQ的中点为M OM .狗 O的半径为2, OP 4 ,则线段OM的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解：设OP O交于点N ,连结MN , OQ ,如图，7 OP 4 , ON 2 ,N是OP的中点，M M为P

16、Q的中点，MN为 POQ的中位线，1 1MN OQ 2 1 , 22点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为 1,线段OM的最小值为1 .故选：B .二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）11. （2 分）方程 x2 2x 的解是 _x1 0 _ X2 2_.解：？ x2 2x 0,x(x 2) 0,x 0或 x 2 0,x1 0, x2 2.故答案为xi 0, x22.12. （2分）已知x 1是关于x的方程ax2 2x 3 0的一个根，则a _ 1解：把x 1代入方程，得a 2 3 0 ,解得a 1 .故答案为1 .13. （2 分）若 |x2 4x

17、4| 与3一y解：由题意得：x2 4x 4 0 , 2x解得：x 2 , y 1 ,则 x y 3,故答案为：3.14. （2分）如图，在0 O中，弦AB解：连接OA ,如图，3互为相反数，则x y的值为 3 .y 3 0,16cm , OC AB ,垂足为 C , OC 6cm ,扃。的半径为 10 cm .7 OC AB,_ 1AC BC AB 8, 2在 Rt OAC 中，OA 62 82 1 0,O的半径为10cm .故答案为10.15. （2分）如图，已知四边形 ACDB是圆内接四边形，1 130 ,则 CDE 65度.CDE A 65 .故答案为65.16. （2分）如图，若以平行

18、四边形一边 AB为直径的圆恰好与对边 CD相切于点D ,则 COD CD ,四边形ABCD是平行四边形,AB / /CD ,AB OD ,AOD 90 ,O OA OD ,A ADO 45故答案为45.17. （2分）如图,0O在矩形ABCD内，且与AB、BC边都相切,E是BC上一点，将 DCE沿DE对折，点C的对称点F恰好落吩。上，已知AB 203解:的半径为 5过点F作AD , BC的垂线GH ,过。作MN / /BC交AB于MGH于N四边形ABCD是矩形,;将DCE沿DE对折,占八、C的对称点F恰好落汽） O上,DFE90 ，GFDHFE90GFDGDF90GDFHFEDGFsDGFHG

19、FHEDFEFAB20,BC25,CE10,DGHC16,GF12设圆O的半径为r在直角三角形FON中,二 22(9 r) (8 r),解得：r 5,18. （2分）如图，正方形 OABC的边长为2,以。为圆心，EF为直径的半圆经过点 A ,连 接AE , CF相交于点P ,将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点 O逆时 针旋转90 ,交点P运动的路径长是22.180解：如图点P运动的路径是以 G为圆心的弧EF , g） G上取一点H ,连接EH、FH.四边形AOCB是正方形，AOC 90 ,1AFP AOC 45 ,27 EF O直径，EAF 90 ,APF AFP 45 ,EP

20、F 135 ,7 EF是定值，点P在以点G为圆心，GE为半径的圆上，H APF 45 ,EGF 2H 90 ,7 EF 4, GE GF ,EG GF 22 ,EF的长故答案为.2三、解答题(共9小题，满分84分)19. (16分)解方程：(1) x2 7x 6 02(2) (5x 1)3(5x 1)(3) x2 4x 3 0 (用配方法)(4) x2 4x 2 0 (用公式法)解：(1)； (x 1)(x 6) 0,x 1 0或 x 6 0 ,贝U x 1或x 6 ;(2)7 (5x 1) 3(5x 1) 0,(5x 1)(5x 4) 0 ,贝U 5x 1 0 或 5x 4 0 ,解得 x

21、0.2 , x2 0.8 ；(3), x2 4x 3 , 22_x 4x 4 3 4 ,即(x 2)7 ,即为 2 , X2 2 ；(5) 16 4 2 8 0,4 2 2 xXi2 222 , X22 近.20. （6分）如图，已知在 ABC中， A 90 .（1）请用圆规和直尺作出Q P,使圆心P在AC边上，且与 AB, BC两边都相切（保留作 图痕迹，不写作法和证明）.P的面积.解：（1）如图所示，则 P为所求作的圆.（2）：B 60 , BP 平分 ABC ,ABP 30 ,AP. tan ABP AB, 92 4 1 (25m) 19 4m 0,m的取值范围为194（2）由（1）得

22、m5,原方程为x2 9x20 0 ,即(x 4)( x 5) 0 ,5,当m 5时，方程的解为 4和5 .22. （8分）如图，C、D是半圆。上的三等分点， 直径AB 4,连接AD、AC, DE 垂足为E , DE交AC于点F .（1）求 AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留和根号）.解：（1）连接 OD , OC ,C C、D是半圆。上的三等分点,AD CD BC ,AOD DOC COB 60 ,CAB 30 ,7 DE AB ,AEF 90 ,AFE 903060 ；(2)由(1)知， AOD 60 ,O OA OD , AB 4 ,AOD是等边三角形,OA 2DE AO2DE

23、 36022360DC)5S阴影S扇形AODS AOD23. （8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答:（1）每千克核桃应降价多少元?（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售?【解答】（1）解：设每千克核桃应降价 x元.x根据题意，得 （60 x 40）（100 220) 2240 .化简，得x2 10X 24 0解得X14 , X2答：每千克核桃应降价 4元或6

24、元.（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价 4元或6元.因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60 6 54 （元），设按原售价的m折出售，则有：60 m 54,10解得m 9答：该店应按原售价的九折出售.24. （8分）设a、b、c是等腰 ABC的三条边，关于x的方程x2 2孔x 2c a 0有两个 相等的实数根，且 a、b为方程x2 mx 3m 0的两根，求m的值.解：方程x2 2& 2c a 0有两个相等的实数根，即：4b 4 (2c a) 0a b 2c 0 ,即 a b 2c,7 a、b、c是等腰 ABC的三条边，a b c .a、b为方程x2 mx 3m

25、。的两根，方程x2 mx 3m 0有两个相等的实数根，2m 4 （ 3m） 0 ,解得m 12或m 0 （舍去）25. （10分）如图，在半径为 3 O中，AB是直径，AC是弦，且AC 4M .过点。作 直径DE AC ,垂足为点P ,过点B的直线交AC的延长线和DE的延长线于点F、G .（1）求线段AP、CB的长;O的切线.解：（1）： DE ） O的直径，且DE AC1AP PC - AC 2A AC 4g, AP 2v 2文. OA 3, OP 1又AB O的直径，。为AB的中点，-1OP - BC , BC 2OP 2 .33,OG OBOA OPBOG POA,BOGs POAGBO

26、 OPA90又7点BO上,FG 的切线26. (10分)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称这个三角形为“智慧三角形”理解：(1)如图1,已知A、B O上两点，请在圆上找出满足条件的点C ,使 ABC为“智慧三角形”(画出点C的位置，保留作图痕迹)；(2)如图2,在正方形 ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且 CF 1 CD ,试判4断AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：(3)如图3,在平面直角坐标系 xOy中,0 O的半径为1,点Q是直线y 3上的一点，若。上存在一点P ,使得 OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最

27、小值时，直接写出此时点P的坐标.解：(1)如图1所示：(2) AEF是“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a , 7 E是BC的中点,BE EC 2a ,CD : FC 4:1 ,FC a , DF 4a a 3a ,在 Rt ABE 中，AE2 (4a)2 (2a)2 20a2,2222在 Rt ECF 中，EF (2a) a 5a ,在 Rt ADF 中，AF2 (4a)2 (3a)2 25a2 ,22_2AE2 EF2 AF2 ,AEF是直角三角形，:斜边AF上的中线等于 AF的一半，AEF为“智慧三角形”；(3)如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形,根据题意可得一条直角边 OP 1 ,PQ最小时，POQ的面积最小,即OQ最小，由垂线段最短可得斜边最小为3,由勾股定理可得PQ 3 12 2亚,11根据面积得， OQ PM -OP PQ , 22一 2 2PM 1 2 2 3 , 3由勾股定理可求得 OM .12 (2；2)21 ,33故点p的坐标(R2, 1),(迪，1). 333327. (12分