SARS传播的数学原理及预测与控制

1、sarS专播的数学原理及预测与控制邹宇庭，郑晓练，缪旭晖指导教师：谭忠（厦门大学，福建厦门 361005）编者按：本文建立了 SARSt播的具有负反馈的差分方程模型。 用两个参数 分别刻画疾病传播能力和对疾病采取措施的能力， 并用标准差趋于稳定来判定数 据拟合的合理性，是本文的突出优点。文章将这一方法用于北京，广州，山西和 香港，均获得较好的效果。摘要：众说周知，SARS寸中国社会带来了重大影响。我们以北京地区 4月 到6月有关SARS勺数据为参考资料，就在分析该系统参数实际意义的情况下， 建立时间序列的模型。该模型将传染率定义为时间的函数， 以拟合数据和实际数 据之间的总残差最小为目标，利用

2、 matlab中的fminsearch函数模拟得到最 优解的模型参数。该模型可以较好地预测出 SARS勺发展趋势，且可以就此趋势 提出如何控制SARS专播的措施。继而，本文通过模拟出在不同日期提前或滞后 5天实施隔离政策所引起SARSt展趋势变化的曲线，分析了卫生部门实施隔离 政策的日期对SARSe展趋势的影响。在SARS寸经济影响的问题上，本文适当选取医疗业具有代表性的17支股 市，构造了医疗板块指数，以此测度医疗业的经济表现。在传统的CAPMK型中， 我们引入了虚拟变量，利用 OLS技术进行估计分析，检验出SARS这一事件对医药业的经济影响是正影响。该影响反应在医疗版指数的日收益上， 但这

3、个影响是由SARSSI起的，会随着SARS勺结束而结束。关键词：SARS；负反馈系统；时间序列模型；资本资产定价模型分类号：AMS（2000） 62M10中图分类号：文献标识码：A1 数学模型的分析与建立假设与符号说明1）统计数据是可靠地；2）病人处于潜伏期时不传染他人；3）采取的所有控 制措施对于阻止SARSI毒的传播都是有效的。In：到第n天为止累计确诊的病 人数；Dn ：到第n天为止累计死亡的病人数；Sn :第n大的疑似病人数；Cn : 第n天为止治愈的病人数；d：死亡率；g：治愈率；Si：新增病人与新增疑似病 人的比值；S2：疑似病人转化为正常人的比率；Ko：区域内的自反馈参量；Fn：

4、 反馈变量；Kf :反馈系数。现在我们分析问题并建立相应的数学模型：社会的反应往往是一个渐变的过程，会随疫情的变化而变化，是一个负反馈 过程，比如，当疫情严重时人们会自觉的减少与他人接触， 相反的当疫情不显著 时人们会放松警惕而增加与他人接触的机会。为此我们建立如下负反馈系统（图 Do将实际情况与控制力度的关系通过反馈系数实现自动调节， 这样就能及时采 取控制措施，使得病情传播速度迅速减小，以求最后达到消灭病毒的目的«1绛本版大相殳融大俗18(为C反馈附话反馈系散%图1系统示意在以上系统中:(1a是开环增益(Open Loop Gain),表示基本放大器的放大倍率,即为2) Kf是反

5、馈网输出信号与输入信号的比值。在研究SARS专播的模型中，我们将此定义为SARS 病毒在未受控制情况下的自然传播速度， 即病毒的基本传播率。络中的反馈系数，即反馈信号与输出信号的比值。在该模型中我们将它定义为各种反应因数的总和，通过负反馈可以减小病毒传播速速。输入信号Xi定义为 当前情况下SARS勺传播情况。输出信号X。定义为t时间社会上SARS勺传 播情况。通过以上系统，我们得到参量A, Kf与输入信号(Xi, Xj),输出信号(X。)以及反馈信号Xf之间的关系:X 。 A X , (1), Xf Kf Xo, (2), Xi Xj Xf (3)定义闭环增益(Closed Loop Gain

6、 ) Af为病毒的实际传播率，定义反馈深度F,表示对调节元件灵敏度的折中，并将(1) (2) (3)带入则AfX。 AXf Xf Xo1- 101 Kf AXi X。 X1有上式分析得到:当反馈系数Kf 0时，系统是负反馈的，这正是我们需要的系统。这样社会上 病毒传播速度即系统中的输出量变化时，系统参数自我调节为：XI Xj X0 Kf A X1当正反馈系数Kf 0时，系统是正反馈的，由于控制措施的目的是阻止 病毒传播，因此Kf不可能是正直，除非处理SARS勺方法是错误的。对于这个系 统来说，可以不考虑这种情况。基于对以上系统的分析，我们考虑建立现实的 SARS专播模型：(1因为要控制的实际量

7、为SARSI诊病人数，因此Xi就为In, X0为Ini，In 表示到第n天为止累计确诊的病数。量化时间，以天为单位。选定某一区域为研究区域，在模型中建立各反馈参量：a)设该地区的自反馈参量为K0,表示该地区在未采取控制措施时 SARS勺传播能 力。b)设该地区反馈量Fn的变化率为fk ,即每增加一个病人引起反馈量 Fn的变化量，fk 表示该地区的病情控制情况。由此，建立以下时间序列模型：Fn K0 fk (In Sn)In 1 In Fn In Cn (Dn Dn 1)Dni Dn d(In Dn Cn)Sni Sn (Ini In) G Sn S2Cni Cn g （In 小）其中式（1）表

8、示反馈量是自反馈量和人为控制后的反馈参数的和；式（2）表示确诊病人总数的变化情况；式（3）表示死亡人数的变化情况；（4）表示疑 似病例数量的变化情况；式（5）表示治愈病人数的变化情况。如果病情得到控 制，既病人不再增加，那么反馈量应该是 0,易得fk必须为负数。所以lim Fn0 limIn1Inlim Dn 1Dn lim Sn10xxxx问题的求解设实际数据为Ino,拟合数据为In,则我们确定参数的目标是使总残差最小，n即：min e （In Ino）2 。我们用matlab中的fminsearch函数来求解，得 n 0到总残差最小时的参数 , fk并由模型中式（1）、（2）迭代求出In发

9、展趋势的 曲线。取用实际数据量不同，各参数以及最小总残差便不同。模拟时，只要达到 一定的数据量就可以很好地拟合出曲线，我们以标准差来判断数据量是否已经足 够。数据量从10天变化到64天，标准差变化的曲线如图2所示：0B 2标港篁曲线将标准差接近平稳状态的数据量取值区间抽出:数据量232425262728293031标准差可见，数据量取到25天以上后标准差已经稳定。因此可以认为拟合北京市SARSg展趋势线只要取其4月1日开始的25次数据即可。因篇幅有限删除具体 计算程序。取前25天数据拟合出的发展曲线如图3所示UJU ?6£»20 1500 心500 0幻"0 93

10、696tf=-0DDlK状似清制实际发窗夜事合的确淖箱别发展青展 a诊制制实际夏菜的发，死亡病例实际及重勤援合的无士需例*及曲线i1甲6期加005kMl725口 1。箝30«)50 即 maoso田3发艮曲线该曲线不仅描绘出25天的发展情况，而且通过预测描绘出25天以后的发展情况。对比25天后预测数据和实际数据： d对于累计确诊病人数，他们之间的 标准差稳定在附近，因此两者是十分吻合的。对于疑似病人数，由于疑似病例的判断受主观因素的影响，拟合情况不如其他两条曲线。 对于死亡病人数， 吻合程度依然比较高，误差产生的原因可能是个人的免疫力不同这个原因无法在 定义的反馈系数中体现出来。由此

11、可看出以上的预测十分成功。.为验证该方法的有效性，我们分别计算了广州，山西和香港的积累确诊 病例发展趋势，得到的预测数据和实际数据吻合程度很高， 可见该方法十分是有 效的。具体见图46:对卫生部门措施的评论A）对发展趋势曲线的影响:图7体现了从不同时间点开始提前或滞后5天实施隔离政策，得到的总患病人数随日期的发展变化，如图中取了 d、四个时间点。原始数据反映的总患病人数的曲线为（一），若提前5天采取隔离政策，则对应四个时间点的总患病人数的曲线分别为（二）、（四）、（六）、（八），若推迟5天采取隔离 政策，则对应四个时间点的总患病人数的曲线分别为（三）、（五）、（七）、（九）， 从图中可以明显地

12、看到从任一给定时刻起提前5天采取政策比正常情况下可减少一定的患病者，而滞后5天则会增加患病者，这一时刻取得越早，就可以使越 多的人免于患病，因而政策的效用就越大。B）对总确诊人数的影响：（图8中的每一对点对应统一的横坐标）影响值滞后5天提前5天影响值滞后5天提前5天影响值滞后5天提前5天影响值滞后5天提前5天影响值滞后5天提前5天第10天11天第12天第17天第22天第27天第13天第14天第15天16天第18天第19天第20天21天第23天第24天第25天26天第28天第29天第30天31天上表为从第5天时间点即第5天开始考虑提前和滞后5天采取隔离措施带来 的总确诊人数的影响，影响值以影响后

13、的总确诊人数与无影响下的总确诊人数的 比值表示。由上表和图78可见，越早实施隔离政策，最后总确诊病例数就越 少，而且新增病人数就越快接近 0,这意味着SARST倩越早得以控制。2 SARS对经济影响的数学模型分析与建立SARS对国民经济的各方面均带了冲击，并给国民经济带来重大损失，但 同时SARS也给某些行业，如医疗业带来正面的影响。下面构建带虚拟变量的 CAPMK型实证检验图7用及乐超势力线的影响闺8提励现牌后5无的总埔壕病人致SAR%否给医疗业带来影响和多大程度的影响。行业的股票指数在一定程度上反映了整个行业在大经济环境下的业绩表现。模型的数据的获取从选取时问段从2002年9月2号到200

14、3年6月30号。选取的股票为：万东医疗，浙江医药，恒瑞医药，南京医药，鲁抗医药，上海医药，华东医药，三九医药，广济药业，金陵药业，新华制药，百科药业，东北药业， ST海药，包和制药，云南 白药。定义：Pit为第i只股票第t日的收盘价格；PMt为深圳成指的第t日的收盘价 格；Et医疗股指的日收益；址市场指数的日收益率。构建医疗业板块的股票指 数：以等权重法计算医疗业股指，计算过程中考虑到了新增股和个股退市的权重调整，具体表达式为PitI建立模型如下(% rf)trEtlnPEtPEt1rf)trMtDtlnPMt1_ (0t处于2002年9月2号到2003年2月11号U| _ 11t处于2002

15、年2月11号到SARS结束以后其中Dt为虚拟变量，当有SAR影响时Dt为1,无影响则为0。由于SARSF始 的日期为200孙2月11日，因此采取的数据时往前至2002年2月往后倒200孙6月 30号。,为待估计系数，其中：为截距项；即为CAP肿的”系数,用以衡量个股(板块)的系统风险；为分析的重点，如果 统计上显著异于零，则说明SAR创医疗业发生了显著影响，并且影响程度为，t为扰动项；rf为无风险利率，在本模型中用银行3月期存款利率测度；.为市场指数收益，本模 型中用深圳成分指数测度。模型求解VariableCoefficientt-StatisticCRM-RFDR-squaredAdjus

16、ted R-squaredregerssionSum squared residMean dependent var .dependent varAkaike Info criterionSchwarz criterionF-statisticLog likelihoodPro(F-statistic)Durbin-Watson stat从表中可以看出：SARSJ爆发对医疗设备，医疗药物的需求带来了冲击性的影响，反映在医疗版指数的日收益上，带来了%勺额外收益。当然，这些收益是由于SAR魏来的，随着SARS：平息，这个收益也会随之平息。这便是 SARS 对医疗行业的经济影响。参考文献1姜启源.数

17、学模型.北京：高等教育出版社.20022邓聚龙.郭洪.灰色理论.北京：全华出版.20023谢嘉奎.电子线路一线性部分.北京：高等教育出版社.19994 James .时间序列分析.北京：中国社会科学出版社.1999The Mathematical PrincipleOf The Spread OfSARS and Its ApplicationOn Forcasting andControlling SARS EpidemicZOU Yu-ting , ZHENG Xiao-lian , MIAO Xu-huiAdivisor : TAN Zhong(Xiamen University , X

18、iamen , Fujian 361005)Abstract: It is well known that SARS has a tremendous effect on Chinese society . Based on the statistics related to SARS in Beijing from April to June in 2003 , we modeled the Negative Feedback system of the spreading of SRASy introducing the concept of Negative System in elec

19、tro - circuit and the nature of the SRASvirus , Moreover , by analyzing the practical meaning of the parameters in this system ,a complete Time Sequences derived model is presented . It define the spreading rate as a function of time ,and adopts the fminsearch function in matlab to give the best par

20、ameters , with the object of minimum total difference between the actual statistics and computed results , This model well forecasts the spreading trend of SARS, according to which proper advices can be put forward on controlling policies , Further , curves are drawn that simulate the different development trends as the result of the quarantine carried out five days ahead of or five days later than a series of different dates . Comparison between these curves makes it possible to analyze the impact exerted by