2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷(一)(解析版)

1、【解析】2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.B. ；一二厂吃C.1 .已知集合同=x|x_l<4,E=尸卜=2'酒£用，则总门9=（）A. I一两【答案】D【解析】【分析】 先求出集合A, B,再求两集合的交集即可.【详解】 在集合A中51<2 ,得xv 3,即A= （8, 3）,在集合B中y=2x在（8, 3）递增，所以0vyv8,即B= （0, 8）, 则 An B= （0, 3）.【点睛】 本题考查了集合的交集及其运算，也

2、考查了指数函数的值域，属于基础题.Is2 .复数£二丁一一工。为虚数单位）的虚部为（）1一11 1 1.A. .B.C.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案.【详解】小一二=1：2 L 2故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题3 .双曲线勺/-16* = 1的焦点坐标为（）【答案】A【分析】11将双曲线勺-16/= 1化成标准方程，可得fl2 = -,=即可得焦点坐标.x2 y2z 111【详解】将双曲线外?16=1化成标准方程为：1 1一 ，得白” = ，所以 y169 16/=/ + *二+_=至，所以旦，又

3、该双曲线的焦点在 x轴上，所以焦点坐标为（土与0）.9 16 14412 VI ）故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题.4 .记%为等差数列4的前门项和，若叱+ % =斜，.%=38,则/二（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】设等差数列an的公差为d,首项为口1，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可.【详解】设等差数列an的公差为d,首项为n，由%+ % = 34,%=：阳，得 2ai+8d = 34, 4ai+：x4X3d = 38,解得 d=3, % =' £i故选：B.【点睛】 本题考查

4、等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想以及运算能力，属于基础题.5 .已知函数F5）在（-8, + 8）上单调递减，且当KW -2,1时，汽幻=一遍4,则关于工的不等式1的 解集为（）A.:B. L：）C. 1： L3iD. （- + C【答案】D【解析】【分析】当*E|一2周时，由/=，-攵-4二1 ,得工二-1,由函数/单调性的性质，即可得1的解集.【详解】当xE|2,1时，由代引= -2Ihl ,得工二-1或工二m （舍），又因为函数/在1一啊+ 3）上单调递减，所以/W < T的解集为（T + 口）.故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是理解函数单调性的性质

5、，属于基础题.6 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）俯视图A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积.【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体3积为，2 = 4.故选：B.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.7.设xi= 18, X2= 19, x3= 20, X4= 21, X5= 22,将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出值及其统计意义分别是（）即语.1，/结束)-/mm 5/*ts=s+

6、5A. S=2,这5个数据的方差B. S= 2,这5个数据的平均数C. S=10,这5个数据的方差D. S= 10,这5个数据的平均数【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，得输出的 S是5个数据的方差，先求这 5个数的均值，然后代入方差公式计算即可.【详解】根据程序框图，输出的 S是x118,X2= 19,X3= 20,X4= 21,X5= 22这5个数据的方差，因为_+ 19 + 20 + 21+22x =二 20,»】由方差的公式 S= "(IB 20)2 + (19:20)2 + 00 20产 + 21- 20)2 +(22-2O)2 = 2 . D1故选：A.【点

7、睛】 本题通过循环结构的程序框图考查了均值和方差，属于基础题.8 .已知月，B,。三点不共线，且点。满足16以一12由?-3元=0,则()A.二 一.7； + 步B. =/.' . 7C. + ：；*.D. ：, ：1.小【答案】A【解析】【分析】运用向量的减法运算，把已知等式中的向量而，沆,/A换为脑,而:表示内，整理后可求结果。【详解】已知/，B ,。三点不共线，且点。满足16OAT痴B-3优=0 ,所以 16OA-12OB-3OC = 12OA-+1OB = 3OA-3OC + CM =12 (OA-OB ) +3 (OA-OC ) +OA =0 ,所以故选：A【点睛】本题考查了

8、向量减法的运算，也考查了向量的线性表示，属于中档题.9 .在数列an中，若 ai=- 2, an+i = an+n?2n,则 an=()一一.1- 2 . LZ . A. (n-2) ?2B. 1一余C.三(1一丁)D. §(1一正)【答案】A【分析】利用累加法和错位相减法求数列的通项公式.【详解】. an+1 = an + n?2 , 1 1 an+1 an= n?2 ,且 a1 = - 2.an ai = an an 1 +an 1 an - 2+a2 ai = ( n 1 ) 2 2+ +2 ?2 +1?2 , 2 (an a1)= ( n1) ?2 + (n 2) 22+ +

9、2?2 +1 ?2 ,-得一(ana1)=一 ( n -1) ?2n+2n1+2n 2+.+23+22+2=-(n-1)?再卬5工1-2?2n-2+2n,.an ai = (n 1) 2 2 +2 2 ,所以an =(n-2) ? 2n【点睛】本题考查了数列递推式求通项公式,利用了累加法和错位相减法，属于中档题.10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了 “黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（I ）取线段AB= 2,过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BO :AB,连接AC;（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交 AC于点口（3）以A为圆心，以AD为半径

10、画弧，交 AB于点E.则点 E即为线段AB的黄金分割点.若在线段 AB上随机取一点F,则使得BEC AF< AE的概率约为（）（参考数据：赤2.236 ）A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618【答案】A【解析】【分析】-1.236-0.764由勾股定理可得：AC N2.236,由图易得：0.764WAFW 1.236,由几何概型可得概率约为 = 0.236.【详解】 由勾股定理可得：AC =xZ.236,由图可知：BC=CD = 1, AD =AE =-1 1.236, BE=2-1.236 = 0.764,则：0.764 WAFW 1.236,由几何概型可得：

11、使得BEwAFwAE的概率约为=1.236-0.764=0.236,故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理、几何概型求概率的问题，属于基础题.13y=c(2<ce)的三个相邻交点111.已知函数f (x) =sin (cox+g +-(3>0,v兀)的图象与直线的横坐标为2, 6, 18,若a=f (lg；), b=f (lg2),则以下关系式正确的是()A. a+b = 0B. a_ b = 0C. a+b= 1D. a-b=1【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的性质得出函数f (x)的周期及对称轴，解出 f (x)的解析式，利用正弦函数的奇偶性，结合lg：与lg2的关系即可判

12、断.27fH2 + 6【详解】由正弦函数的性质可知 f (x)的周期T=18-2=16,=-=-, f (x)的对称轴为x=-=1D M£4.且f (4) =$嘴乂4 +毋)+ 2=明伊+,因为v兀，产。.n 117T 117T 11开，11，f (x) =sinf+彳.lg-= - lg2.a= sin (- x+- , b=sin (一石火)+- = - sin (- x lg-) +Z ZZ Zij Z Zo z z故选：C.【点睛】 本题考查了正弦函数的图象与性质，对数的运算性质，函数奇偶性的应用，属于中档题.112.已知函数f (x) = ( kx+3ex- 2x,若f (

13、x) v 0的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为(212 1A. 2一 小2 12 1C.底片丁2 12 1B. (丁晨 3-22 12 1D. 7-? 12)【解析】【分析】把f (x) V0转化为(11 2x2xkx+ ) exv2x,即kx+ <,令g (x)=,利用导数研究22 eeg (x)的单调性，数形结合得答案.【详解】由f (x)<0m 1 vrr 1A -2X得(kx+；) e < 2x,即 kx+-< ,令 g (x)=, 22 ee则 g' (x)2ex-2xex当 xC ( 8,1)g' (x) >0,当 xC

14、(1, +oo)时，gz ( x) V0.1 g (x)在(-巴 1)上单调递A (1,1, +°0)B (2上单调递减.作出函数g (x)与y=kx+"的图象如图:y=kx+：的图象过定点P (0, 4J' . kPA =2-02 1. 实数k的取值范围为 =1 42 12 1丁 a ， 口)故选:A.【点睛】本题考查函数零点的判定，利用导数研究其单调性与最值，考查转化思想和数形结合的方法，属于中档题.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.12,十月&的展开式中，工2/的系数为.【答案】60【解析】【分析】利用二项式展开式通项确定满足

15、条件的系数.【详解】二项式(2x+y) 6的展开式中，展开式的含 x2y4的项为匚箫町"二附，/,所以含x2y4的项的系数是60.故答案为：60.【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，属于基础题.14.设茗y满足约束条件则胃= 2x + y的最大值为【答案】7【解析】【分析】作出可行域，由目标函数变型得y=-2x+z,根据可行域找出最大值即可.【详解】 作出约束条件表示的可行域如图所示:由目标函数 z=2x+y得y = - 2x+z,由图象可知当直线 y=- 2x+z经过点B时，截距最大，即 z最大.解方程组其占丁，得x=3, y=1,即B (3, 1).z的最大值为2X

16、3+1 = 7.故答案为：7.【点睛】 本题考查了简单的线性规划,考查数形结合思想，属于中档题.,以2为半径作一个P为球心，以2为半15 .已知三棱锥 P-ABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为 0 以顶点P为球心 球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于【分析】根据数形结合和弧长公式求解即可.【详解】如图所示，RE*叫REMHH为等腰直角三角形，且直P =月月二4。3以顶点Jl7Tf 7T7T径作一个球与 REAP4：的 PC/。分别交于 KN，得 AN=1, 4PN二,所以士NPM = MN = X2=_ , 612126同理=1=-.Gf是以顶点P为圆心，以2为半径的

17、圆周长的工，所以=史二 二空，球622663面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于£+工+工+丝=空=剪.6 6 2362故答案为：.【点睛】 本题考查球面距离及相关计算、正方体的几何性质，考查运算求解能力，化归与转化思想.属于中档题.16 .已知F'为抛物线Q /= 2内 >。）的焦点，曲线G是以F为圆心，（为半径的圆，直线3P = 0与尸|R5|曲线c, C从左至右依次相交于p,Q出,5,则=.21【答案】 a J【解析】【分析】由直线 2值x-6y+*=0过焦点 F,得|RS|=|SF|1 = %+）；1=%+1, |PQ|=|PF| 1=y+： 1=&am

18、p;+：,求 Ii T"TT"Xd TT"出S, P的纵坐标代入即可.2【详解】L瓜'nl2yJ 25V +耐=口，因为直线2降十却=。与曲线C , J从左至右依 Zy JX - uy 十 Sp U3次相交于巳QEJ,所以K = y? = P .由直线2® - by+3p =。过抛物线C： x2= 2py（p > 0）的焦点F,所和74_P"4v P P v P 塔=»+ 一=2 44? PQ1 V| I PF十一|PQ|=|PF|-彳以 |RS|= |SF|-=ys+-=Xv+ TT24421.：.-+ -6 412故

19、答案为：» J【点睛】 本题考查了抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分172肥的内角4瓦的对边分别为凡瓦c,已知“sN + ./3csinA = b + a _(1)求c；1 1(2)若D在边BC上,且日。= HD。，cosH = - , 5%=及乖，求小。.1471.【答案】(1) C = - (2)八9=丽【解析】【分析】(1)由正弦定理和辅助角公式化简求解即可；(2)由正弦定理和三角

20、形的面积求得必1日。的a, b, c,在白/DC中，由余弦定理得AD.【详解】(1)在中，因为ucosA + yj3cninA = b + a,所以, 1'''.又同+刊+(?=叮，所以5而B =+所以 sinCcDsA + 回ECsinA =sin(A + 0 + sinA ,贝u sinCcosA 十 SainCsinA = 5c + 加由出。+ 万in百，即一' .因为$出百羊。，所以展;出"bK + 1,即5叩一步.7T因为0CC<TT,所以。=彳.n 11. c 5建(2)因为2筝口 =调，所以5切3 = 方，5 / 1 11 J3 4

21、J5所以 ！'. 一 .所以。山:c 三或几工5出日:江9。=用5:7,不妨设口 = 8L, b = St,因为%1叱=10向所以5必双:二3乂母xKt x曰=1点,解得"1,即日. = 8, h=5,。= 7,因为 90 二常力。，所以 BD = 6 , DC = 2 .在心”北、中，由余弦定理得 AD2 = CD2+CA2-2CD - CA - cosC = 19,所以：.【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，也考查了三角形的面积公式和辅助角公式的化简，属于中档题.18 .已知五面体力BCDEF中,四边形 8EF为矩形，CD - ZDE = 2.AD = 2AB，= 4 ,

22、 AC = 2 ,且二面角E-AB-C 的大小为(1)证明：小日_1平面小。£；(2)求二面角E的余弦值.【答案】(1)见解析；(2).才.【解析】【分析】(1)先证EF |平面ARCf),由线面平行的性质定理得 EF | AB ,所以CD ；由线面垂直的判定定理得CD J_ 平面力DE,从而得A?_L平面HDE；(2)以。为坐标原点，以 公!所在的直线为下轴，过。平行于口。的直线为y轴，0E所在的直线为w轴，建立空间直角坐标系，【详解】(1)在五面体 WCDEF中，四边形CD介为矩形，所以EFIICD, CDLDE.因为EFb平面百BCD,。仁平面再EC。，所以EF|平面百月。，因

23、为EF匚平面ABFE ,平面4RFE n平面ARCD二AH ,所以EF | AH ,又|，故仃D 11-4/?.因为CO=4 ,力口二2 , 封=酒所以匚因为小口门=所以fD_L平面/WE,又CDIME,所以ZlH _L平面/IDE .(2)过点小作正!人0,垂足为。,以口为坐标原点，以口乩所在的直线为，轴，过门平行于此的直线为J轴，口E所在的直线为e轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面E吟 平面RCF的法向量，利用向量法求 解即可.则打0出悯，B02O), C(IAO),代仇4,他，沅=(-220), *(-L0桶，金=(-L-4甫),设平面EBO的一个法向量为n = (x”工否)，

24、则|作：二i即(-2勺 + 2yl = 0, xl4y1 + 后勺= 0，不妨令% =书,则=郃木5).设平面也产的一个法向量为前二区外町则停:靠士即毒：'后 - L =1111肉尸不妨令七"黄，则m =(假相1),则mw.m=有一-=.卡1 X / z 1 f由图知二面角方一ACF为锐角，所以二面角斤一百CF的余弦值为1A票.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和线面垂直的判定定理，利用向量法解二面角的问题，属于中档 题.L 他 KV /19 .已知点(1卡)，(刀,一符都在椭圆C. + -= l(a>>0)±. 乙a b(1)求椭圆。的方程；(2)过

25、点M(tu)的直线1与椭圆。交于不同的两点P, Q (异于顶点)，记椭圆。与y轴的两个交点分别为 4,4, 若直线劣尸与勺Q交于点5,证明：点§恒在直线y = 4上./ x2【答案】(1) 5-+-= 1; (2)见解析.42【解析】【分析】盘y2 X2(1)把点(L后，(与-*)代入椭圆方程会+5= lS>b>0),得附即可；22(yLx2k-3(2)设P(马,打)，Q伊£，心)，联立Z + 5 - L得累1+勺二也F，X1X2 = -,联立直线AP和直线4W的尸=区+ L* +上"+上方程，得(七+2)40-艺尸32FQ + 2),把韦达定理代入化

26、简即可22*22.2【详解】（1）由题意得% ，得巴=4故椭圆。的方程为人 上二.口吃=1,42a2 2/j2（2）由题意可设直线i的方程为尸=-十1, p%，Q（其必. 22y X联立L整理得（/ + 2）/+次尤-3=。. y-kx + 1,2fr 3所以邑十勺二3二，2 = 71-, A十2H十2则 2kx1x2 = 3（篮1 + x2）.由题意不妨设 勺2）,金电-2）,则直线为P的方程为左二上石0-2）, 勺直线&Q的方程为x =十2）.为十/产三-21联立：；整理得（及+2）q0 -2） = - 2M（y + 2）,所以， ,把弋入上式，得（34 + x2y - 4及，1及

27、十%- 2勺=可/十工*十6彳- 2勺=12勺+4， 1当勺手-3%时，可得y = 4,当勺=-3/时，易求%产二%w = F-,即&PIIaQ不符合题意.综上，故点5恒在直线y = 4上.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，也考查了韦达定理的应用，属于中档题.20 .随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一 .若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有 5次参加科目二考试的机会（这 5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利J通过，即进入下一科目考试；若 5 次都没有通

28、过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交 200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到 下表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止(1)求这对夫妻在本次报

29、名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为火元，求了的分布列与数学期望.9【答案】(1)讪；(2)见解析.【解析】事件4表示男学员在第，次考科目二通过，事件 均表示女学员在第，次考科目二通过(其中i = L?,3,4,5) (1)这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；(2)补考费用之和为火元可能取值为400, 600, 800, 1000, 1200,根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望.【详解】事件4表示男学员在第i次考科目二通过，事件所表示女学员在第次

30、考科目二通过(其中i =.(1)事件M表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.=+现4匹吃+/取闻 +P(碟匹场)4341 3 14314139= -x-x-x-x-+-x-x- + -x X -X-: :I I -:(2)算的可能取值为 400, 600, 800, 1000, 1200.4 3 3P0 = 400) = PA = -X- = -,4 13 1 4 327P(乂 = 6。产 P(4跖氏 十/幺心 3) =5X4X4+5X?X4 = io(r 141341111 r111/乂=800)=收/人4/% + 力3哂 + 硒%)=-XAX-+-X-x- +-X-X- = 口 Qt口T&

31、quot;TOT-J. UUP（x = 1000） = p（为哂瓦 + 再“3口。14 1111137=-x X-X -4- X -x-x -=55 44 5544 4005一Ml , 一 ！：；：；： J； ! 一 _ "匚 M J ： 一 J：则，的分布列为:X40060080010001200p3527_10011 Too74001 4003271171一故 =X-+ 600 X 4 800 x + 1000 X + 1200 X 一 一 二 510.5(元).51。0100400400【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的

32、灵活运用，属于基础题.21 .已知函数f(x)二()(口 E R).(1)讨论六吟的单调性；(2)当。.=2时，FM=f(x)-x + lnx,记函数 y = F(<i在上的最大值为 rn,证明：4<m<3. 4【答案】(1)单调递减区间为(-3,口-1),单调递增区间为 g-L + 8)；(2)见解析.【解析】【分析】(1)利用导数求函数的单调性即可；(2)对F(x)求导，得)C 因为所以K-1C0,令人刈= "一：,求导得网汇在6上单调递增，3 %；,使得亦%) 二 口，进而得F(x)在"改)上单调递增，在上单调递减；所以加二代町3二/(%)二1-三-

33、29，令敏=1-2-左，求导得G(x)在工上单调递增，进而求得 m的范 xoxM ./围.【详解】(1)因为(刃=0-印产，所以f®) =9-以+ 1)靖，当闷-1)时，八尤)<。；当E(a-L + 8) 时，八町)0,故人时的单调递减区间为(-8-1),单调递增区间为 S-L+B).(2)当。.=2时，F(x)= (x- 2)ex -x- tnx,则1)-1 + ?- (x- 1)(靖-ij,1 ：. 1当W<#<时，jt-ko,令g&)= e则放町二十或0,所以飙琦在（抖上单调递增,因为咱=/-2<0, g(D1>。,所以存在戈06（/），使

34、得例砧=0,即即仇/=-%.故当 ：时，双工）0,此时F （町）0当x E （而,1）时, 。,此时户 0.上单调递增，在（#01|上单调递减.K_ Q 1_2则 .24 v ,22(1 -x2)令6g) = 12下，x E L11,则6(巧二方2二- xM/X1 1所以火可在,E gl)上单调递增，所以G(X) > G(1 = - 4, c< 6(1)= -3.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 .在平面直角坐标系皿了中，曲线却的参数方程为自：郑清（日为参数），已知点Q（4,0）,点P是曲线G上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，厅轴正半轴为极轴建立极坐标系 .（1）求点时的轨迹Cz的极坐标方程；（2）已知直线I：尸=心与曲线G交于41s两点，若扇=3肪，求M的值.【答案】（1）+ 3 =（2） k= +.【解析】【分析】（