七下第九章整式乘法与因式分解知识点归纳小结

1、1七下第九章整式乘法与因式分解知识点归纳小结知识点归纳：一、幕的运算：1、同底数幕的乘法法则：am ?an am n (m,n都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：(a b)2?(a b)3 (a b)52、幕的乘方法则：(am)n amn ( m,n都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘。如：(35)2 310幕的乘方法则可以逆用：即amn (am)n (an)m如：46 (42)3 (43)23、积的乘方法则：(ab)n anbn (n是正整数)。积的乘方，等于各因数乘方在片壬口 力口 3 c 32 5/ c5c/ 35c/ 25c 5 cc 1

2、510 5日勺枳。如：(2x y z) =( 2) ?(x ) ?(y ) ?z 32x y z 4、同底数幕的除法法则：am an amn (a 0,m, n都是正整数，且m n)同底数幕相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4 (ab) (ab)3 a3b35、多项式按字母的升(降)哥排列：3223x 2x y xy 2y 1按x的升哥排列： 按x的降哥排列： 按y的升哥排列： 按y的降哥排列： 例.已知x2+x1 = 0,求W + 2x2+3的值.二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单 项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的

3、一个因式。如：2x2y3z?3xy (3xy)2 ( 2xy2) = ?( a2b)3 (a2b)2=?7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加,即 m(a b c) ma mb mc ( m,a,b,c 者B 是单项 式)。 如2x(2x 3y) 3y(x y) =。8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把 所的的积相加。9、合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项例如：3a a ； a2 a2； 3a 5b 2a 8b 3x2y 2xy xy2 4x2y 2x3 10xy 2x3 10、平方差公式：(a b)(

4、a b) a2 b2注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 选如：(x y z)(x y z) = 11、完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2完全平方公式的口诀：首平方+尾平方，首尾2倍在中央，符号跟着2倍走，系 数计算不能忘。22例如：2 a 5 b； x 3y11例(1) x - 2,求 x2 二的值。(2) (x y)2 16, (x y)2 = 4,求 xy 的值。xx公式的变形使用：(1) a2 b2 (a b)2 2ab (a b)2 2ab ;(a b)2 (a

5、b)2 4ab ,( a b)2 (a b)2 (a b)2;222(a b) (a b) (a b) ,b-a=-(a-b)(2)三项式的完全平方公式:(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc三、因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分： 系数一各项系数的最大公约数；字母一一各项含有的相同字母； 指数一一相同字母的最低次数；(2)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式. 需注意的是，提取完公因式后， 另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(3)注意点：提取公因式后各

6、因式应该是最简形式，即分解到“底”； 如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项 的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公 式：平方差公式：a 2 b2= (a+b) (ab)完全平方公式：a 2+ 2ab+b2= ( a+ b) 2a2 2ab+b2= (a- b) 2*在学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。如：对于任意自然数n, (n 7)2 (n 5)2都能被24整除3.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则 m的值等于()A.3B.-5C.7.D.7 或-12一一3 .配方法：分

7、解因式x6x16说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.24 .十字相乘法：(1) . x (p q)x pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之22和. x (p q)x pq x px qx pq x(x p) q(x p) (x p)(x q)2因此，x (p q)x pq (x p)(x q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.例1.把下列各式因式分解：22(1

8、) x 7x 6(2) x 13x 36说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同.例2.把下列各式因式分解：22(1) x 5x 24(2) x 2x 15说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数， 其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.例3.把下列各式因式分解：22.2、2 一 .2 一(1) x xy 6y(2) (x x) 8(x x) 12分析：(1)把x2 xy 6y2看成x的二次三项式，这时常数项是6y2, 一次项系数是y ,把6y2分解成3y与2y的积，而3y ( 2y) y,正好是一次项系数. .-.2(

9、2)由换兀思想，只要把 xx整体看作一个字母 a,可不必写出，只当作分解二次三项式 a2 8a 12.X5. 一般二次三项式ax2 bxc型的因式分解大家知道，(a1x2C2) a a? x(a C2a2c1)x c1c2 .反过来，就得到:“2a1a2x(a1c2 a2c1 )x c1c2(ax G)(a2x a)我们发现，二次项系数a分解成a1 a2,常数项c分解成c1c2,把a1,a2，G，c2写成a1a2c1c2这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2 a2G，如果它正好等于ax2 bx c的一次项系数b,那么ax2 bx c就可以分解成(&x q)(a2x c2),其中a，

10、c1位于上一行，a2,c2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.例4.把下列各式因式分解：2(1) 12x 5x 2_ 22(2) 5x 6xy 8 y6说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法 “凑"，看是否符 合一次项系数，否则用加法 “凑二先“凑“绝对值，然后调整，添加正、负号.6、分组分解法：a b ab 1

11、abc+baca2 -2ab+ b2- c2例题：1如图，矩形花园ABCD中，AB= a ,AD= b，花园中建有一条矩形道路 LMQP及一条平行四边形道路RSTK,若LM=RS=c,则花园中可绿化部分的面积为()A.B.C.D.2bc ab ac b2a ab bc ac2ab bc ac c22b bc a ab2.通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右A. a b 2 a22ab b2 B . aC. 2a a b 2a2 2ab D . ab3计算(1)-3(x2-xy) + x(2y+2x)(2) (x 3)(x 3)(x2 9)2(a 4)(a 4) (a 1)2(4) x 2y 3 x 2y 33.先化简，再求值:(3x 2)(3x 2)5x(x 1) (2x 1)2,其中 x2,、1211 一4 已知 a 3a+ 1 = 0.求 a 、a2-和 a 的值.a aa5 .若 m2 + 2mn+ 2n2 6n + 9=