2020届高考数学(理)一轮复习讲义高考专题突破6高考中的概率与统计问题

1、高考专题突破六高考中的概率与统计问题题型一离散型随机变量的期望与方差例1某品牌汽车4s店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示.已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元.用 刀表示经销一辆7车的利润.付款方式分3期分6期分9期分12期分15期频数4020a10b(1)求上表中的a, b值；(2)若以频率作为概率，求事件 A “购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A);求刀的分布列及期望E(M. a解 (1)由有=02

2、得a=20.又 40+20+a+10+b=100,所以 b= 10.(2)记分期付款的期数为匕E的可能取值是3,6,9,12,15.依题意，得P(e 3) = 1400=0.4, P(土 6)=1200=0.2, P(E= 9) =0.2,1010P(土 12)=0=0.1, P(E= 15)=0=0.1.P ) 100100则“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有 1位分9期付款”的概率为P(A)=0.83+C3X 0.2 X (1 0.2)2=0.896.(3)由题意，可知 E只能取3,6,9,12,15.而 E= 3 时，r= 1;6 时，r= 1.5;9 时，1.5; E= 12 时，刀

3、=2; E= 15 时，刀=2.所以刀的可能取值为 1,1.5,2,且 P(r= 1)=P(E= 3) =0.4, P(1.5)=P(E= 6) + P( 9) =0.4,P(r= 2) = P(E= 12)+P( 15) = 0.1+0.1 = 0.2.故刀的分布列为11.52P0.40.40.2所以 刀的期望 E(y)=1X0.4+1.5X0.4+2X 0.2=1.4.思维升华离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型； 二是定性，对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解，而

4、对于一般类型的随机 变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应.跟踪训练1某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选 3名学生中 的女生人数为X,求X的分布列及期望.解 因为8名学生会干部中有 5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数 N = 8, M = 3, n = 3的超几何分布. c3c5 iX 的所有可能取值为0,1,2,3,其中 P(X=i)=T3(i=0, 1,2,3),则 P(X=0) =c3c55C8 -28P(X= 1)=C3C2 15C

5、3 -28P(X = 2) =C3c5 15C3 =56P(X = 3) =C3c51C8 =56.所以X的分布列为X0123P51515A28285656所以X期望为 e(x)=0x28+1 嗡+2T+34=56= 9.题型二 概率与统计的综合应用例2 (2016全国I )某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机

6、器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1) 求 X 的分布列；(2)若要求P(X0.5,确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n= 19与n=20之中选其一，应选用哪个？解(1) 由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,110.2， 0.4,0.2,0.2 ， X 的可能取值为16,17,18,19,20,21,22 ，从而P（X=16）= 0.2X0.2 = 0.04;P（X=17）= 2X 0.

7、2X 0.4= 0.16;P（X=18）= 2X 0.2X 0.2+ 0.4X 0.4 = 0.24;P（X=19）= 2X 0.2X 0.2+ 2X 0.4 X 0.2=0.24;P（X = 20）= 2X 0.2X 0.4+ 0.2X 0.2 = 0.2;P（X = 21）= 2X 0.2X 0.2= 0.08;P（X = 22）= 0.2X0.2 = 0.04;所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由知 P(XW18) = 0.44, P(X 19) = 0.68,故 n 的最小值为 19.(3)记丫表示2台机器在购买

8、易损零件上所需的费用(单位：元).当 n= 19 时，E(Y)= 19X 200X 0.68+(19X 200+ 500)X 0.2+(19X 200+ 2X 500)X 0.08 + (19 X 200+ 3X 500) X 0.04=4 040(元).当 n= 20 时，E(Y) = 20X200X 0.88+(20X200+500)X 0.08+(20X 200+ 2X500)X 0.04 = 4 080(元).可知当n= 19时所需费用的期望值小于n= 20时所需费用的期望值，故应选n=19.思维升华概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.它与其他知

9、识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.跟踪训练2经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布 直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位：t,100WXW150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润 T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需

10、求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 XC 100,110),则取X=105,且* =105的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求T的期望.解 (1)当 XC 100,130)时,T = 500X- 300(130-X)= 800X 39 000.当 XC 130,150时，T= 500X 130= 65 000.800X-39 000, 100WX7.879.所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.(2)视频率为概率，在我市“移动支付达人中，随机抽取1名用户,该用户为男“移动支付达人的概率为3,女“移动支付达人的概率为2抽取的4名用

11、户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为P = 1记抽出的男“移动支付达人人数为Y,则X = 300Y.由题意得YB4,01P(Y=0)=C0 34=坦811 1 p(y=i)=c4 33=32.812 2482=:81 270=81.2 1P(Y=2)=C2 ；331P(Y=3)=C3 3“ 1P(Y=4)=C4 ；3所以Y的分布列为Y01234P163288r以X的分布列为X03006009001 200P16813281827881181由 E(Y)=4X；=4, 3 3得 X 的期望 E(X)= 300E(Y)= 400.思维升华 概率与统

12、计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识.跟踪训练3电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的 2X2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女i055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观

13、众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求 X的分布列、期望 E(X)和方差D(X).ni+n2+n+in+2_2 a o n niin22 ni2n2i 附：P（小0）0.i00.050.0ik02.7063.84i6.635解(i)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为i00X(i0X 0.020+i0X 0.005)=25,“非体育迷”人数为75,从而2X2列联表如下:非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将2X2列联表的数据代入公式计算，得22_ n n11n22n12n21

14、x =m+n2+n+1n+2100X 30X 10-45X 15 1 2 10045X 55X 75X 2533= 3.030.1 3D(X)=np(1-p)= 3x4X4916.因为 2.7063.0303.841 ,所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率，即从观众中抽取11一名 体育迷 的概率为4.由题意，XB 3, Z ,从而X的分布列为X0123P27279- 1646464642上随机取一个数 x,则sin x+ cos xC 1 ,42的概率是（）1A；3B.43C.85D.8答案解析因为xC6，2,所以

15、x+卞:,i兀 一i由 sin x+cos x=*sin x+41 , 取,/口 %/2 .兀 I/ 匕li、1兀- 兀 _3兀得：-v sin x+ 4 1,所以Wx + zW,兀 C 2-0所以xC 0,。故所要求的概率为_=3 jt 4.62.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为3答案5 为* 5.解析 取2个点的所有情况为C5= 10（种）,所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率3 .为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取 50人，从女生中随机抽取 70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表:优秀非优秀合计男生153550女生304070合计4575120(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关?(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出人组成宣传小组.现从这 6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X的分布列和期望.P（尹 k0）0.250.150.100.050.0250.010k01.3232.0722.7063.8415.0246.63