中考数学复习专题-代数式

1、中考数学复习专题代数式.教学目标:1 .复习整式的有关概念，整式的运算2 .理解因式分解的概念， 掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式。3 .掌握分式的概念、性质，掌握分式的约分、通分、混合运算。4 .理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的 平方根、算术平方根和立方根，了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和 同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的

2、分母有理化。2 .教学重点、难点：因式分解法在整式、分式、二次根式的化简与混合运算中的综合运用。3 .知识要点：知识点1整式的概念.工单项式单项式的次数系数整式,3项式 多项式的次数 项数 系数 升降嘉排列(1)整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式；(2)单项式的次数是所有字母的指数之和；多项式的次数是多项式中最高次项的次数；(3)单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号(4)同类项概念的两个相同与两个无关：两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同；两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的顺序无关；(5)整式加减的实质是合并同类项；(6

3、)因式分解与整式乘法的过程恰为相反。知识点2 整式的运算(如结构图)哥的运算单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式乘法公式m n m -na a = amn=aab n -anbn提公因式法提公因式法公式法(a +b，= a2 + 2ab + b2知识点3因式分解多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为 止.分解因式的常用方法有：(1)提公因式法如多项式 am bm cm ; m(a b c),m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式.其中m叫做这个多项式各项的公因式，(2)运用公式法，即用a2 -b2 =(a - b)(a -b)

4、,a2 ±2ab +b2 =(a ±b)2,写出结果a3 二b3 =(a 二b)(a2 -ab，b2)+ px+q,寻找满足ab=q, a+b=p的a, b,如有，则2_ax +bx + c(a *0),寻找满足c2,如有，贝U ax2 bx c = (a1x c1)(a2x c2 ).(3)十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式 x2 +px +q =(x +a)(x+b);对于一般的二次三项式 aia2 = a, ciC2= c，aiC2 + a2Ci = b 的 ai, a2, ci，(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进

5、行.分组时要用到添括号：括号前面是“ 十 ”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是”号，括到 括号里的各项都改变符号. 求根公式法：如果ax2 +bx +c = 0(a丰0),有两个根xi, x?,那么ax2 +bx + c = a(x -x1)(x -x2) o知识点4分式的概念(1)分式的定义：整式 A除以整式B,可以表示成 a的形式。如果除式 B中含有字母，那么称 公为分BB式，其中A称为分式的分子，B为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。(2)分式的约分(3)分式的通分知识点5分式的性质a与b同号；分式的值为负：a与b异号；分式的(1) Am=A(m#0) (2)已知分式

6、W ,分式的值为正: Bn Bb值为零：a= 0且b#0;分式有意义：b#0。(3)零指数 a°=1(a#0)1(4)负整数指数 a" = (a /0,p为正整数). a(5)整数哥的运算性质上述等式中的m、n可以是 知识点6根式的有关概念m n m ：加a a = a ,m . nm _n /a - a = a (a = 0),mn mn(a ) =a , (ab)n =anbn0或负整数.page 8 of 71 .平方根：若x2=a (a>0),则x叫做a的平方根，记为±v'a °注意：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是

7、0;负数没有平方根;2 .算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；3 .立方根：若x3= a (a>0),则x叫做a的立方根，记为3'a 。4 .最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。5 .同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。(，a)2 =a(a - 0)-a 、a= (a-0,b 0) b - b知识点7二次根式的性质,a(a _0)是一一个非负数；Ja(a 0)(a)2 =|a |= 0(a =0)-a(a ：二 0) ab = Ja , b(a _ 0,b _ 0)知识点8二次根式的运算(1)二

8、次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.(2)二次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即.a b = . ab(a -0, b _ 0).二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式.(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分).把分母的根号化去，叫做分母有理化.例题精讲例1.如果单项式max y3n与-5x的和为0时,a、m、n各为多少？ 仍为一

9、个单项式,a、 m、各为多少？a = 5解：Jm =23n -1a为有理数二5m =1n =2'm = 2 m3n -1 =5'm =12_2例2.因式分解：(1) 4mx 9my解：原式=m (2x+3y) (2x 3y)2原式=(a - b d)令-2x2 5xy 2y2 =0222(2) (a+b)+ 2(a+b)+1(3) 2x2+5xy + 2y2-5y 二 25y2 16y2原式=-4541 、2 (xy )45 二.41x 二4/5 - 41(x一'4例 3. (1)a3解：(i)已知(3a2 2a+1)(a+k)的结果中不含a2项，求k的值; a2 +a

10、 +k的一个因式是 a +1,求k的值；a2 的系数为：3k2=0 k=-3(2)当 a= 1 时(1) 3 ( 1) 2+ ( 1) + k=0k = 3例 4.利用简便方法计算：(2+ 1) (22+ 1 ) (24+ 1 ) (28+ 1) (216+ 1) (232+ 1 )的值,你能确定积的个位数是几吗？解：(2+ 1 ) (22+ 1 ) ( 24+ 1)= 264- 1.264的个位数为例5. x为何值时，下列分式的值为(28+ 1 ) (216+ 1) (23, 1)6 .积的个位数字为 50?无意义？(1)x -2x 2解：当x = 2(2)x2 -3x 2x2 -x -2时

11、为零 当x=2x=2, x= 1时分式无意义例6.分式的约分与通分2n 2nl0.8x y1 约分 1 . L 2n 2n +1.4x y- 4x解：原式=w 7y4a2.通分5b2c8a3c3c '10a2b 3bc3例7.先化简后再求值: 222 , -22 -10a b c 10a b C-3.x -2x - 31+.5b-2ac2_3-25ab2 ,2, 2 210abe(x 1)(x -1)111=十 =x -1 x 1当 x= J2 + 1 时,x2 -1 x2 2x 1 x 1x (X+1)2(x 1)(x -3) x 12x例8.若最简二次根式x2 -1原式=1-<

12、;1 +a与3干4a2 -2是同类二次根式，求 2a的值。解：1 + a= 4a 2=0,a = 1 )a2=4例9.已知:a= 一二，求2 .3a2 - 2a 1)-+(-)0 值a解：.a= -= a= 2 v3 v 12,3原式=当a=, 一，、21a 1|(a 1) + 1a (a -1) a -11-时,a= 2 弋'3 ,2 .3=1 a - (a- 1) + 1 a(a - 1)1 =23aa+1+1= a+ 2二原式=12 - q3 - 2+ .3 + 2 = - 2例10.把根号外的因式移到根号内：(1) aj1； a(3)解：（1）原式=/a（2）原式=_ Ji _

13、 x例11.观察下列各式及其验证过程（3）原式=(4) (2-x).12xJ x (4)原式=Jx 2验证:叵二 1(23 -2)+2 3 F22 -12(22 一1) 22 2,22-13a 333(33 -3) - 33(32 -1) 3. 33；8,8 二 32-1 二 32 -13 8根据上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想心的变形结果并进行验证。，并给出证明。n4(42 -1) 442 -115n3 -n +n _ 'n(n2 -1) +n ,n2 -1- n2-1针对上述各式反映的规律，写出用n （n为任意自然数，且 n>2）表示的等式235D. (-b) (-2

14、b) =2bD. (a 1) (a+ 6)D. 5D.小于0D. - . a - 2目则归 课后练习一.选择题1 .下列运算正确的是()A. 2x3 3x2 =6x6 B. 3am 4a =12am C. -2a3 (-3a) = 6a42 .把a2 a6分解因式，正确的是()A. a (a 1) 6B. (a 2)(a+ 3)C. (a+2)(a 3)3 .设(x+ y) (x+ 2+ y) 15= 0,则 x+ y 的值是()A. 5或 3B.3或 5C. 34 .不论a为何值，代数式a 2+ 4 a 5的值()A.大于或等于0B. 0C.大于0a 25 .化简二次根式a(- -了 的结果

15、是()A. ； a -2B. - -a -2C. a - 26.下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.当1<x<2时，化简I 1 x I + 144x+x2的结果是（）A. -1B. 2x-1C. 1D. 3-2x二.填空题8 .矩形的面积为 6x2+13x+5 （x>0）,其中一边长为 2x+1,则另一边为 。9 .对于分式x：y ,如果x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值 x10 .若x2+kx 6有一个因式是（x-

16、2）,则k的值是;11 . （r/2）2的平方根是 , 9的算术平方根是 , 是一64的立方根。12 .亚J3的倒数是 ; 42J3的绝对值是 。 J8的有理化因式是 ,，x y的 有理化因式是。三.计算与解答题一C ' 去 ，1 ,一，一 ，1 ,一 、人A13 .三角形某一边等于 2a + b ,第二边比第一边小（一b + 2）,而第三边比第一边大（一b - 2 ）,这个三角22形周长为多少？14 . a、b、c为ABC三边，利用因式分解说明b 2a2+2acc 2的符号15 .实数范围内因式分解(3) 2x2+4xy + y 2(1) x之 一 2 x 一 4(2) 4x? +

17、8x - 1o . x2+3xy16 .已知 x -5xy + 6y = 0 求 2y2 y 的值17 .试求函数1= 2 3x 2+12 x 9的最大值和最小值。旦加练习答案试题答案 一.选择题。15 CCADB 67DC二.填空题。8. 3x + 519. 是原来的一310. 111. 士。2,3,-412. = - 2 - 3. 3-22 x - y三.解答题111313. 2a+ b ( b + 2 ) = 2a+ _ b -22a+ b+ ( b -2) = 2a+ - b -22222(2a+b) + (2a+1b 2) + ( 2a+ 3b2) =6a+3b42214 .原式=b2 (a c) 2= (