初中数学专题讲义-四边形2

1、初中数学专题讲义-四边形(二)一、课标下复习指南1 .梯形及等腰梯形(1)梯形的定义一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.平行的两边叫做梯形的底(通常把较短的底叫做上底、较长的底叫做下底),不平行的两边叫做梯形的腰，两底间的距离叫做梯形的高.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.(2)等腰梯形的性质同一底上的两个角相等；两条对角线相等.(3)等腰梯形的判定依据等腰梯形的定义判定；同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形.2 .解梯形问题常用的辅助线(1)如图12-1,作梯形的高.图 12- 1(2)如图12 2,过梯形的一个顶点作一腰的平行线.图 12-2(3)如图12 3,过梯形的一腰的

2、中点作另一个腰的平行线，并与上底的延长线相交.图 12- 3(4)如图12 4,过梯形上底的一个端点作对角线的平行线，与梯形的下底的延长线相交.图 12-4(5)如图12 5,自梯形上底的一个端点，过梯形一腰的中点作射线，与下底的延长线相 交.图 12- 5(6)如图12 6,连接梯形的对角线.图 12-6(7)如图12 7,延长梯形的两腰，相交于一点.3 .简单平面图形的面积(1)三角形的面积公式三角形的面积等于它的底与高的乘积的一半.等底等高的两个三角形面积相等；等高的两个三角形的面积比等于相应底边的比；等底的两个三角形的面积比等于相应高的比.(2)平行四边形的面积等于一边与这边上的高的乘

3、积.(3)矩形的面积等于两条邻边的乘积.(4)菱形的面积等于一边与这边上的高的乘积，也等于两条对角线乘积的一半.(5)正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线平方的一半.(6)梯形的面积等于两底之和与高的乘积的一半.(7)多边形的面积等于它被分割的若干个三角形面积的和.4 .几何作图(1)依据已知条件，求作平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形.(2)求作与已知四边形面积相等的三角形.(3)求作与已知四边形关于某一点(或某一直线)对称的四边形.二、例题分析例 1 已知：如图 12 8,在梯形 ABCD 中，/ DCB=90 , AB/ DC, AB = 25, BC = 24,将该梯形折叠，点

4、A恰好与点D重合，BE为折痕，试求AD的长.图 12- 8分析 如图129,若作DHLAB于点H,则DH=CB = 24,欲求AD的长，只需求AH 的长，而 AH = ABBH = ABCD.D解如图12 9,作DHAB于点H.在梯形 ABCD中， AB/ DC, / DCB = 90 , 四边形DHBC是矩形.DH= BC=24, BH = DC . 点A与点D关于直线BE成轴对称， DB = AB = 25.在 RtADBC 中，/C=/90 , BC=24, BD = 25, 22DC BD2 BC27.AH = AB-BH= AB CD = 25 7= 18.AD AH 2 DH 2,

5、18224230.说明(1)如图129,作梯形ABCD的高DH是将有关直角梯形的计算问题转化为解直 角三角形的基本辅助线.而利用已知中的折叠条件，知A, D两点关于直线BE成轴对称，得BD = AB=25,又使RtDBC可解，使问题得以解决.(2)在计算线段AD的长时，可利用哥的运算法则及二次根式的性质简化运算，即AD 一 AH2 DH 2182 24262(3242),62324230.(3)如果例1还要求折痕BE的长，请想一想该如何解决 ？例 2 如图 1210,已知梯形 ABCD 中，AD/BC, AD=2, BC=4,对角线 AC=5, BD = 3.试求此梯形的面积.图 12 10解

6、 作AE / DB,交CB的延长线于 E,作AFLBE于F.易知ADBE为平行四边形. .AE=DB = 3, EB=AD = 2, CE=6.设 EF= x,有 AE2- EF2= AC2 CF2.5即 32-x2= 52-(6-x)2.解得 x 532 5 22AF 3( )- 14,3 31S梯 1AF (AD BC) 2.14.说明在解决有关梯形的问题时，要注意常用辅助线的作法.例 3 如图 12 11,在等腰梯形 ABCD 中，已知 AD/BC, AB=DC, AD=2, BC= 4, 延长BC至ij E,使CE = AD.图 12-11(1)求证： BADA DCE ;(2)如果A

7、CXBD,求等腰梯形 ABCD的高DF的长.解(1)证明：.AD / BC, ./ CDA = Z DCE .又四边形 ABCD是等腰梯形， ./ BAD = Z CDA , ./ BAD = Z DCE . . AB=DC, AD = CE, .BADADCE .(2) /AD = CE, AD / BC, 四边形ACED是平行四边形. .AC/ DE . ACXBD,DEXBD.由(1)可知， BAD DCE, BD=DE. .BDE是等腰直角三角形，/ E=45 .1 DF BE.2四边形ABCD是等腰梯形，而 AD = 2, BC = 4,1 1DF (BC CE) (BC AD) 3

8、. 22例 4 如图 12-12,在梯形 ABCD 中，AD / BC, CA 平分/ BCD . DE / AC,交 BC 的 延长线于点E, / B=2/E.fl F G C图 12 12(1)求证：AB = DC;(2)若 tanB=2, AB J5 ,求 BC 边的长.解 （1）证明：DE/AC, ，/BCA = /E. CA 平分/ BCD, ./ BCD = 2/BCA. ./ BCD = 2/E.又. /B=2/ E,，/B=/BCD. 梯形ABCD是等腰梯形，AB=DC.（2）如图 1212,作 AFXBC, DG BC,垂足分别为 F, G,则 AF / DG .在 RtAF

9、B 中，tanB = 2,，AF=2BF.又 AB 卮 且 AB2=AF2+BF2,5= 4BF2+BF2,得 BF = 1 .同理可知，在 RtADGC中，CG = 1. AD / BC, . DAC = Z ACB.又. /ACB=/ACD,，/DAC=/ACD.AD = DC .DC AB .5, AD .5. AD / BC, AF / DG, 四边形AFGD是平行四边形.FG AD 5.BC= BF+FG+ GC= 2 庭.三、课标下新题展示例5 （威海市）如图1213,四边形ABCD为一梯形纸片，AB/CD, AD = BC,翻折纸 片ABCD,使点A与点C重合，折痕为 EF,已知

10、CEXAB.图 12- 13(1)求证:EF/BD;(2)若AB=7, CD = 3,求线段 EF的长.解(1)证明：过C点作CH / BD,交AB的延长线于点 H;连接AC,交EF于点K, 则 AK=CK.(见图 1214)图 12-14AB/CD, BH = CD, BD = CH.AD = BC,AC=BD=CH.CEXAB, AE= EH. EK是 AHC的中位线. EK/ CH. EF / BD.(2)解:由(1)得 BH = CD, EF/BD. AEF = / ABD. AB=7, CD = 3,AH= 10. AE=CE, AE=EH, .AE=CE=EH=5. . CEXAB

11、,CH 52 BD. / EAF = / BAD, / AEF = / ABD, .AFEA ADB.AE EFAB BDAE BD 25.2EF AB- 7例6 (江西)如图1215(a),在等腰梯形 ABCD中，AD/BC, E是AB的中点，过点E 作 EF/ BC 交 CD 于 F. AB=4, BC = 6, /B=60 .求点E到BC的距离；(2)点P为线段EF上的一个动点，过 P作PM，EF交BC于点M ,过M作MN / AB交 折线ADC于点N,连接PN,设EP=x.当点N在线段AD上时(如图1215(b), APMN的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN的周长，若改变，请说明

12、理由；当点N在线段DC上时(如图12 15(c),是否存在点P,使4PMN为等腰三角形？若 存在，求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.(b)(c)图 12-15解 (1)如图1216,过点E作EGLBC于点G.12- 16.E是AB的中点，1 BE -AB 2.2在 RtAEBG 中，/ B=60 ,BG -BE 1, EG 22 12,3.2即点E至ij BC的距离为J3.(2)当点N在线段AD上运动时， PMN的形状不发生改变.PM EF, EGXEF, . PM /EG . EF/BC,. ，EP=GM, PM = EG=V3.同理 MN = AB= 4.如图1217,过点P

13、作PH，MN于H, MN / AB,图 12- 17NMC = / B = 60 , Z PMH =3013PH PM *223MH PM cos30 235则 NH MN MH 422,7.在 RtPNH 中，PN NH2 PH2 J(5)2 (手)2.PMN 的周长 PM PN MN3.7 4.当点N在线段DC上运动时， PMN的形状发生改变，但 MNC恒为等边三角形.(i)当 PM = PN 时，如图 12 18,作 PR MN 于 R,则 MR= NR.图 12-18类似，MR 32MN= 2MR=3. MNC是等边三角形， MC=MN = 3.此时，x=EP=GM = BCBGMC

14、= 2.(ii)当 MP = MN 时，如图 12 19,这时 MC= MN=MP= 33，此时 x=EP=GM = 5- 33 .图 12- 19(iii)当 NP= NM 时，如图 1220, Z NPM =Z PMN = 30图 12-20则/PNM = 120 ,又/ MNC = 60 , ./ PNM + / MNC=180 .因此点P与F重合， PMC为直角三角形.MC= PM - tan30 = 1 .此时，x=EP=GM = 4.综上所述，当x= 2或4或（5J3）时， PMN为等腰三角形.四、课标考试达标题（一）选择题AD=2, BC=8,则此1 .已知：如图 12 21,等

15、腰梯形 ABCD 中，AD/ BC, / B=60 ,梯形的周长为（)C. 21A. 192 .若等腰梯形的三边长分别为A. 21C. 21 或 29B.203 , 4, 11,则这个梯形的周长为（B. 29D. 21 或 22 或 29D. 22)3.如图 12 22,梯形 ABCD 中，AD / BC, /B=45 , /C = 120,AB=8,则CD的长为（)A.8、63C图 12-22B, 476C.D4, 24.如图A.C.70505.下列各图中每个正方形网格都是由四个边长为.、一一 .5 .一小正方形面积的5倍的是（）.2B.D.16045的小正方形组成，其中阴影部分面积是122

16、3,梯形ABCD内接于。O,AB/ CD,CO平分/ BCD,则/ CBA的度数为（）.6.如图12 24,把边长为2的正方形的局部进行图（a）图（d）的变化，拼成图（e）,则图（e） 的面积是（）.(a)(b)(c)(d)e)图 12-24A. 18B. 16C. 12D. 8(二)填空题7 .如图1225,在等腰梯形 ABCD中，AD/BC, ABAD,对角线 AC, BD相交于点 O, 如下四结论：梯形ABCD是轴对称图形；/ DAC = / DCA ;AOBQ DOC;AODsboc.请把其中正确结论的序号填在横线上：.8 .如图1226, C, D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两

17、端 A和B的正东方向上, 且D位于C的北偏东30方向上，CD = 6km,则AB =km.图 12-269 .如图12 27,梯形 ABCD中，AB / CD, AD=CD, E, F分别是 AB, BC的中点，若 / 1 = 35 则/ D =.ti t： A图 12-2710 .在梯形 ABCD中，AD / BC,对角线的交点为 。，若AD ： BC = 4 : 7,梯形ABCD的面 积为121cm2,则 AOD的面积为 , AOB的面积为 , ABC的面积为(三)解答题11 .如图1228,在梯形 ABCD中，AB/CD, AD = BC , E, F是AB边上两点，且 AE =BF,

18、DE与CF相交于梯形 ABCD内一点O.图 12-28(1)求证：OE = OF;(2)当EF = CD时，请你连接你的结论.DF、CE,判断四边形 DCEF是什么样的四边形，并证明12.已知：如图1229,在梯形ABCD 中,DC/AB, DAXAB, /B=45 ,延长 CD 到点E,使 DE= DA,连接 AE.图 12-29(1)求证：AE/BC;(2)若AB=3, CD = 1,求四边形 ABCE的面积.13 .如图1230,在等腰梯形 ABCD中，AB/CD, AC, BD是对角线，若将 ABD沿AB 向下翻折到 ABE的位置，试判定四边形 AEBC的形状，并证明你的结论.图 12-3014 .如图12-31,等腰梯形 ABCD中，AD / BC, / DBC=45 ,翻折梯形 ABCD ,使点B 重合于点D,折痕分别交边 AB, BC于点F, E