北京市高一数学竞赛初赛的试题与答案

1、北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第10页 共6页北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答选择题答案123456AABDCD填空题答案123456782489.52504(12 472)41014/5、选择题：1 .集合A=2, 0,1,7, B=x| x2-2 A, x-2 A,则集合B的所有元素之积为(A) 36.(B) 54.(C) 72.(D) 108.答：A.解：由 x2- 2 A,可得 x2=4, 2, 3, 9,即 x= 2, V2 ,0 , 3.又因为x- 2 A,所以x 2, x 3,故x= - 2,90,-3.因止匕，集合 B=-2, - J2, 72,-

2、 J3, J3, -3.BAC、丁尸所以，集合B的所有元素的乘积等于(-2)(- 72)(72)(-J3)(J3)(-3)=36.2 .已知锐角 ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等，则 tan(A) .(B) .(C) 1.(D)4.32答：A.解：作锐角 ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形 内，高AD, CE相交于点H,锐角 ABC的垂心H也在形内.连接BO交。于K, BK为0O的直径.连接AK, CK.因为AD, CE是4ABC的高，/ KAB, / KCB是直径BK上的圆周角，所以Z KAB= /KCB=90°.于是KA/CE, KC/AD ,因此AKCH是平行四边形.所

3、以 KC=AH=AO=1 BK.2在直角KCB 中，由 KC=1BK,得/ BKC=60°,所以/ BAC=/BKC=60°.2故tan(事尸tan30=避. 233.将正奇数的集合1, 3, 5, 7,从小到大按第n组2n- 1个数进行分组：1 , 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,数 2017 位于第 k组中,则 k 为(A) 31.( B ) 32.( C ) 33.(D) 34.答：B.解：数2017是数列an= 2n - 1的第1009项.设2017位于第k组，贝U1+3+5+(2k-1)11009,且 1+3+5+ - +(2k-3)<

4、1009. .2即k是不等式组k1009的正整数解，解得k =32,所以2017在第32组中.4.如图，平面直角坐标系.3(C)2x-O-y中，A, B是函数y =OAB=90°且 AO = AB,(k 1)1009第I象限的图象上两点，满足/ 腰直角 OAB的面积等于2/ AOB=/ABO=45°.过点A做y轴垂线交解：依题意，/ OAB=90° 且 AO = AB, y轴于点C,过点B做y轴平行线，交直线 易见COAzXDAB.设点 A(a,),则点 B(a + , - a). aa a因为点B在函数y = 1的图象上，所以(a + 1)(- a)=1,即2-

5、 a2=1.因此Saabc =-OA2=-J + a2) = ；(!a2)14 -522 a22 a225,已知 f(x) =x5+aix4 + a2x3 +a34+ a4x + a5,且当 m =1,2, 3, 4时，f(m)=2017m,贝U f(10)-f (- 5)=(A) 71655.(B) 75156.( C ) 75615.( D ) 76515.答：C.解：因为 当 m =1,2, 3,4 时，f(m)=2017m,所以 1,2, 3, 4 是方程 f(x)-2017x=0 的 四个实根，由于5次多项式f(x)-2017x有5个根，设第5个根为p,则f (x)- 2017x =

6、 (x- 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4)(x- p)即 f(x) = (x- 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4)(x- p)+2017x.所以 f(10)=9 轨>7>6(10- p)+2017 X0, f(-5)=- 6>7>8>9(5+p)- 2017>5,因止匕 f (10)- f(-5)=15(9 8>7 >6+2017)=75615.lx I. x a.6,已知函数f (x)|2|,若存在实数m,使得关于x的方程f (x)=mx2 4ax 2a, x a.有四个不同的实根，则a的取值范围是-1, 、1一、 1, 、1(A

7、)a =.(B)a - .(C)a 二.(D)a 二.7654答：D.y=m的图像与y=f (x)的图像有解：要使方程f (x)=m有四个不同的实根，必须使得 4个不同的交点.而直线与 y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m与函数y=|x|, x< a的图像和y=x2- 4ax+2a, x>a的图像的交点分别都是 2个.而存在实数m,使y=m与y=|x|, x&a的图像有两个交点，需要a>0,止匕时0<m&a；4 2a (4a)2又因为y=x2- 4ax+2a, x>a顶点的纵坐标为，所以，要y=m与y=x2- 4ax+2a

8、,4x>a的图像有两个交点，需要m4 2a (4a)24因此y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足:20< m< a 且 m>4 2a (4a)24解得a、填空题:1.用x表示不超过x的最大整数，设s M 42 相,求衣的值 答：24.解：因为 12<1,2, 3V22,所以 1&/, J2, J3<2,因此hA应 h/3 1,共 3 个 1；同理，2204, 5, 6, 7,8< 32,因此，"痣通"焉2,共 5 个2;又 3209, 10, 11, 12, 13, 14, 1M 42,因此的 闻卜月3,

9、共 7 个3;依次类推，16 .1723,25 , 26HI,34.36 、37 .4749 . 50.6264 ,65.7981 ,82I"，98S =( 、2 、.3)+(、.4 .5V24 4 ,共 9 个 4;V35 5,共 11 个 5;N48 6,共 13 个 6;763 7 ,共 15 个 7;屈8 ,共17个8;V99 9 ,共 19 个 9.后"我)+ +(倔I"相)=1 8+2 >5+3 X7+4X9+5M1+6 M3+7X5+8X17+9X19=615.因为 242=576<615=S< 625=252,即 24V VS &

10、lt;25,所以，VS=24.1111112,确定(2017皿2017 2017喻2017 2017喻2017 >2017咻2017 2017皿22017 户的化 答：8.1解：原式=(2017log20172 >2017log20174 >2017log20178 X2017log201716 >2017log2017 32)石 11=(2 M>8X16>32)5= (21>22>23>24>25) 11=q1+2+3+4+5)5 =(215) 5 =23=8.3 .已知AABC的边AB=J29厘米，BC=J13厘米，CA= J34

11、厘米，求 ABC的面积.答：9.5平方厘米.解：注意至I 13=32+22, 29=52+22, 34=52+32,作边长为 5 厘 米的正方形AMNP,分成25个1平方厘米的正方形网格，如图.根 据勾股定理，可知，ab=T29厘米，bc=J13厘米，ca=J34厘 米，因此 ABC的面积可求.111一、一.ABC 的面积=5X5 M>5_ _ >2>5- - >2 >3=9.5 (平万厘米).2224 .设函数f(x) x-)一1n2(，X1 x)的最大值为m,最小值为N,试确定M+Nx 1的化答：2.2x 1n( x2 1 x)解：由已知得f(x) 1x 1因

12、为IW .x x) 1n( ( x)2 1 ( x) In屋(x)2 1 ( x)(,. ( x)2 1 ( x) 22=ln( x)2 1 ( x)2) ln1 0 ,所以 1nd x)21 ( x)ln( Jx2 1 x),因此，ln(Jx2 1 x)是奇函数.进而可判定，函数g(x) 2x 1n(2' 1 x)为奇函数. x 1则g(x)的最大值Mi和最小值N1满足Mi+Ni= 0.因为 M =Mi+1, N = Ni+1,所以 M + N = 2.5 .设A是数集1,2,，2017的n元子集，且A中的任意两个数既不互质，又不 存在整除关系，确定n的最大值.答：504.解：在数集

13、1,2,，2017中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子 集是偶数集2, 4,，2016共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010 的2倍是2020,所以集合A=1010, 1012, 1014,，2016中，任意两个数既不互质， 又不存在整除关系，A中恰有504个元素.事实上504是n的最大值.因为若从1009, 1011，2017中任取一个奇数,会与A中的与它相邻的偶数互质;若从1,2, 3,，1008中任取一数，则它的2倍在A中,6 .如图，以长为4厘米的线段AB的中点。为圆 心、2厘米为半径画圆，交AB的中垂线于点E和F.再 分别以A、B为圆心，4厘米为半径

14、画圆弧交射线 AE于 点C,交射线BE于点D.再以E为圆心DE为半径画圆 弧DC ,求这4条实曲线弧连接成的“卵形" AFBCDA 的面积.（圆周率用冗表示，不取近似值）答：（12-4 72）4平方厘米.1 C解：半圆（O, 2）的面积=1兀X22=2几.因为 AO=OB=2,所以 AB=AC=BD =4, AE=BE=2>/2 , ED=EC=4- 272 .又/ AEB=ZCED=90° , / EAB =/ EBA=45° ,因此，扇形BAD的面积二扇形ACB的面积=1兀X42=2 & 4AEB的面积=1X4>2=4,82直角扇形EDC的

15、面积=13-272)2= 6 7-472 %卵形AFBCDA的面积=半圆（O, 2）的面积+扇形BAD的面积+扇形ACB的面积-AAEB的面积+直角扇形EDC的面积=2 t+2>2 7-4+6 汇 4 J2 冗=（12-4石）田4 （平方厘米）.2一，一x7.已知 f(x) -,求 f(1)+f (2)+f(100)的化x 100x 5000答：101.解：设 g(x) = x2- 100x+5000,则g(100- x) = (100-x)2- 100(100- x)+5000=1002- 200x+x2- 1002+100x+5000 =x2- 100x+5000= g(x),即 g

16、(k) = g(100- k) .所以 f(k) + f(100- k)=2222k (100 k) k (100 k) 0 2- = =2g(k) g(100 k)g(k)p5021002又 f(50) =-=1, f(100)=-2=2.502 100 50 50007 1002 100 100 5000所以，f(1)+ f(2)+-+ f(100)=(f(1)+ f(99)+ (f(2)+ f (98)+ (f(49)+ f(51)+ f(50)+ f(100) =2 >49+1+2=101.8.如图，在锐角 ABC中，AC = BC = 10, D是边AB上一点， ACD的内切圆 和4BCD的与BD边相切的旁切圆的半径都等于 2,求AB的长.答：4乖.解：线段AB被两圆与AB的切点及点D分成四段，由于 两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于 是可将这四段线段长度分别记为 a, b, b, c,由于圆O2的切线 长 CE = CG,所以 BC+a = CD+b = (AC-c+b)+b,而 AC = BC,所以 a+c = 2b.2(AC CD AD)所以得处些，即AF O正S ACD S BCD A