参数方程所确定的函数的高阶导数的一种逐次求导法

1、第38卷第11期2008年6月数学的实践与认识Vol138No111June,2008教学园地参数方程所确定的函数的高阶导数的一种逐次求导法明祖芬(贵州大学理学院,摘要:、简便的逐次求导方法.;1常规求导法首先注意复合函数的求导法则:若函数u=g(x)在x0可导,函数y=f(u)在u0(u0=g(x0)可导,则复合函数y=f(g(x)在x0可导,且有:dxx=x0(u0) g(x0)=f(1)利用公式(1)求复合函数导数时,一定要分析清楚函数的复合关系,按照复合函数的前后顺序,层层求导,得出最后结果.例如:求y=ctg23的导数2解:先明确复合关系为:y=u,u=ctgv,v=3则y= =du

2、dvdxu-22-22 (-csc2v) =-323 (ctgv)-2 csc2v=-3 ctg3 csc23再注意参数方程的求导法则:设有参数方程x=(t)y=(t)(t)(2)(t)0,则由(2)所确定的函数y=f(x)的导数为:其中(t),(t)在(,)上可导且(3)=(t)dxdtdt若对(2)求二阶以上的导数就复杂了(假设满足二阶以上导数的条件).先看一例:收稿日期:200721021511期明祖芬:参数方程所确定的函数的高阶导数的一种逐次求导法205)sin3设求3)=3(1-cos)dxy=(解:按照教材常规求导法,首先应用公式(3)有:=dxdd(4)=2(-x=(第二按照复合

3、函数及商的求导法,由(4)有:=2=dxdx2()(5)第三由(5)232xx3=()5()-3().( - -(6)最后, , ,再代入(6)有33=)4dx4(1-cos由此看出:求三阶导数都是如此复杂,若要求四阶以上的导数,那么它的难度就可想而知了.2一种逐次导法2为了克服常规求导法的烦琐性,可采用下面直观、简便的逐次求导法,例如求2时,实dx22际上为2=令z=y,则2=,即转化为求新参数方程:dxdxdxdx)z=y=z()x=(所确定的函数z的一阶导数,所以2=2=dxdxdxdx ddx仍是)sin为例)y=3(1-cos:z=y=x=2(-x=2(-)2(1-cos)sin所以

4、2=2=)2dx d4(1-cosdx333同样,求3时,实际上为3=令z=y,则3=,即转化为求新参数方程.dxdxdxdxdx206数学的实践与认识38卷z=y=x=2(-)24(1-cos)sin所确定的函数z的一阶导数.所以32=3=2=)4dxdxdxdx d4(1-cosdx444求4时,实际上为求4=令z=y ,则=dxdxdxdxdz=y =4-=2(-3=,43=)5dxdxdxdx d8(1-cosn因此,在一般情况下,求n(n为任意正整数).dx()nn-1实际上就是:令z=y(n-n=dxdx(n-1)()z=y所确定的函数z的一阶导数,即:)x=(1)n,则n=,即转

5、化为求新参数方程dxdxnn=上述方法的最大优点,求n时,都转化为求一阶导数,比教材上的dxdx ddxndx常规求导法要简单方便得多.参考文献:1欧阳光中,朱学炎,秦兽复.数学分析M.上海:上海科技出版社,1982.2同济大学应用数学主编.高等数学M.高等教育出版社,2002,7.AGradalDerirationAboutHigherDerivativeWhoseFunctionDefinedbyParamtricEguationMINGZu2fen(DepartmentofMathemaricsGuizhouUniversity,Guiyang550025,China)Abstract:Authorpresentedaconcisegradualderivationabouthigherderivativewhosefunctiondefi