初三数学二次函数的解析式的确定

1、初三数学二次函数的解析式的确定一. 本周教学内容：二次函数的解析式的确定知识要点1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式y=ax2+bx+c（a0）求解析式。2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式y=a(x-h)2+k，其中（h，k）为顶点坐标。3. 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标二. 重点、难点：重点：求二次函数的函数关系式难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。三. 教学建议：求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题

2、简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。【典型例题】例1. 已知某二次函数的图象经过点A（1，6），B（2，3），C（0，5）三点，求其函数关系式。分析：设y=ax2+bx+c，其图象经过点C（0，5），可得c=-5，再由另外两点建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c因为图象过点C（0，5），c=-5又因为图象经过点A（1，6），B（2，3），故可得到：a-b-5=-64a+2b-5=3a-b=-1即2a+b=42a=1 解得：b=2 所求二次函数的解析式为y=x+2x-5说明：当已知二次函数的图象经过三

3、点时，可设其关系式为y=ax+bx+c，然后确定a、b、c的值即得，本题由C（0，5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。用心 爱心 专心 119号编辑 12例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为（1，-该二次函数的函数关系式。分析：由已知顶点为（1，-值即可解：设y=a(x-1)-2 9），且经过点（2，0），求2992），故可设y=a(x-1)-，再由点（2，0）确定a的229，则 2图象过点（2，0），0=a(-2-1)-a=29 2119，y=(x-1)2-， 22212 即：y=x-x-4 2说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h

4、，k），一般设y=a(x-h)2+k，再根据其他条件确定a的值。本题虽然已知条件中已设y=ax2+bx+c，但我们可以不用这种形式而另设y=a(x-h)2+k这种形式。因为在y=ax2+bx+c这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在y=a(x-h)2+k这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。例3. 已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（1，0），求这个二次函数的解析式。分析：依题意，可知顶点坐标为（3，2），因此，可设解析式为顶点式解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+3)2+2图象经

5、过（1，0），0=a(-1+3)2+2a=-1 21(x+3)2+2 2 所求这个二次函数的解析式为y=-即：y=-125x-3x- 22说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。例4. 已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是_。用心 爱心 专心 119号编辑 2图1分析：可根据题中图中的信息转化为一般式（或顶点式）（或交点式）。方法一：由图象可知：该二次函数过（0，0），（2，0），（1，1）三点设解析式为y=ax2+bx+c0=c 根据题意得：0=4a+2b+c-1=a+b+ca=1解得b=-2 c=0所求

6、二次函数的解析式为y=x2-2x方法二：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为（1，1）设解析式为y=a(x-1)2-1图象过（0，0），0=a(0-1)2-1，a=1所求二次函数的解析式为y=(x-1)2-1即y=x2-2x方法三：由图象可知，该二次函数图象与x轴交于点（0，0），（2，0）设解析式为y=a(x-0)(x-2)图象过（1，1）-1=a(1-2)，a=1所求二次函数解析式为：y=x(x-2)即：y=x2-2x说明：依题意后两种方法比较简便。例5. 已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式 分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两个交点为

7、（x1，0），（x2，0），则有对称轴x=1(x1+x2)，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式 2解：顶点坐标为（2，4）对称轴是直线x2抛物线与x轴两交点之间距离为4两交点坐标为（0，0），（4，0）用心 爱心 专心 119号编辑 3设所求函数的解析式为y=a(x-2)2+4图象过（0，0）点0=4a+4，a=-1所求函数的解析式为y=-x2+4x例6. 已知二次函数y=(m-1)x2+2mx+(3m-2)(m1)的最大值是零，求此函数的解析式。分析：依题意，此函数图象的开口应向下，则有a=m-10，且顶点的纵坐标的值为零，4(m-1)(3m-2)-(2m)2则有：=0。以上两个条件都

8、应满足，可求m的值。 4(m-1)m-10 解：依题意：4(m-1)(3m-2)-(2m)2=04(m-1)由得 m1由得：m1= 1，m2=2（舍去） 21112 所求函数式为y=(-1)x+2x+(3-2) 222121 即：y=-x+x- 22例7. 已知某抛物线是由抛物线y=2x2经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。分析：设所求抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c，则由于它是抛物线y=2x2经过平移而得到的，故a2，再由已知条件列出b、c的二元一次方程组可解本题。解：设所求抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c，则由已知可得a2，又它经过

9、点A（1，1），B（2，4）故：2+b+c=18+2b+c=4b+c=-1b=-3 解得： 即2b+c=-4c=22 所求抛物线的函数表达式为：y=2x-3x+2说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线y=2x的平移关系，得到a=2例8. 如图2，已知点A（4，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为2，用心 爱心 专心 119号编辑 42并且满足条件tanPABtanPBA=1图2（1）求证：PAB是直角三角形。（2）求过P、A、B三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。分析：（1）中须证PA+PB=AB，由已知条件：tanPABtanPBA=1，应过P作PCx轴（2）中已知P、A、

10、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式解：（1）过P作PCx轴于点C，由已知易知AC2，BC8 从而tanPAB=222PCPC，tanPBA= 28PCPC=1，解得：PC4 28222 P点的坐标为（2，4） 由勾股定理可求得：PA=AC+PC=20PB=BC+PC=80，又AB=100AB2=PA2+PB2，APB=90故APB是直角三角形（2）解法1，可设过P、A、B三点的抛物线的解析式为：y=ax+bx+c， 222224a-2b+c=-4 则有16a-4b+c=036a+6b+c=01a=41b=- 2c=-6用心 爱心 专心 119号编辑 5121125

11、x-x-6=(x-1)2- 424425 顶点坐标（1，-） 4 y=解法2：由抛物线与x轴交于A（4，0），B（6，0），可设y=a(x+4)(x-6)，又抛物线过点P（2，4）可求a值解法3：由A（4，0），B（6，0）可知抛物线的对称轴为x=1可设y=a(x-1)2+k，将A、B点的坐标代入解析式可求a，k的值例9. 如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧道宽AA1为16米图3（1）求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式；（

12、2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。分析：（1）由已知可得顶点C的坐标为（0，8），B点坐标为（8，6），从而可求其函数关系式。（2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到y轴的距离是2，于是求出抛物线上横坐标为2的点的坐标，再看它到地面AA1的距离是否大于7米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。 解：（1）如图所示，由已知得OAOA18，OC8，故C点坐标（0，8），B点坐标为（8，6）设隧道拱抛物线BCB1的函数表达式为y=ax+8，则(-8)a+8=6，得a=-221 3212x+8 32 隧道拱

13、抛物线BCB1的函数关系式为y=-（2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为2，设这个点为D，过D作DEx轴于E当x2时，y=-11722+8=-+8=7 3288用心 爱心 专心 119号编辑 6D点坐标为（2，7DE=7 77），DE=7 8877 8该运货汽车能安全通过这个隧道。说明：要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。本题第（2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离是否大于4。例10. 有这样一个问题：已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（0，a），B（1，2），求

14、证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程，若不能，说明理由。（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 分析：仅由A、B两点无法求其关系式，但如果把待证的结论也看成已知条件，则可求出其关系式解：（1）能 y=-x2+4x-1，过程如下由图象经过点A（0，a），得ca将图象对称轴为直线x=2看成已知条件，则2 抛物线y=ax+bx+c的对称轴是直线x=-b 2a-b=2得b=-4a 2ay=ax2-4ax+a抛物线经过点B（1，2）

15、a-4a+a=2，a=-1所求二次函数的关系式为y=-x2+4x-1（2）可补充条件：b=-4a（或a=-1或b=4或其他条件）b24ac-b2)+ 说明：二次函数y=ax+bx+c配方后可变形为y=a(x+，故其图象2a4a2bb4ac-b2，的对称轴是直线x=-，顶点坐标是（-） 2a2a4a用心 爱心 专心 119号编辑 7第（2）题的答案不唯一，补充的条件只要能求出其关系式为y=-x2+4x-1即可。例11. 已知四点A（1，2），B（0，6），C（2，20），D（1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。 分析

16、：先求出经过A、B、C的抛物线的关系式，再验证点D是否在所求抛物线上，若在，则存在这样的二次函数；若不在，则不存在这样的二次函数。解：设图象经过A、B、C的二次函数为y=ax2+bx+c则由图象经过点B（0，6），可得c6又图象经过点A（1，2），C（2，20）a+b+6=24a-2b+6=20a+b=-4 即：2a-b=7a=1 解得： b=-5经过A、B、C三点的二次函数为y=x2-5x+6当x=-1时，y=(-1)2-5(-1)+6=12点D（1，12）在函数y=x2-5x+6的图象上即存在二次函数y=x2-5x+6，其图象同时经过四个点。说明：探索同时经过四点的抛物线的问题，可先求出经

17、过其中三个点的抛物线的关系式，再判断第四个点是否在所求抛物线上。【模拟试题】一、填空题1. 抛物线y=-3x2+8向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是_。2. 二次函数y=nx2+2x+n-4n2的图象经过原点，则其函数关系式是_。3. 若抛物线y=-x2+mx+n的顶点是（1，3），则m_。4. 对称轴是x=-1的抛物线过点M（1，4），N（2，1），这条抛物线的函数关系式为_。5. 已知二次函数y=x+bx+c的图象过点A（1，0），B（0，4），则其顶点坐标是_。6. 已知二次函数，当x0时，y3；当x1时，它有最大值1，则其函数关系式为_。二、选择题：用心 爱心 专心 119号编辑

18、827. 已知：抛物线y=x2-6x+c的最小值为1，那么c的值是（ ）A. 10C. 8 B. 9 D. 78. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，1），（2，4），（0，4）三点，那么它的对称轴是直线（ ）A. x=-3 B. x=-1C. x=1 D. x=39. 一个二次函数的图象过（1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（ ）A. y=-x2-2x+2B. y=x2-2x+2C. y=x2-2x+1D. y=x2-2x-210. 已知函数y=ax2+bx+c的图象如图1，则此函数的关系式为（ ）图1A. y=-x2+2x+3B. y=x2-2x-3C. y=-x-2x+3D. y=-x-2x-3三、解答题：根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点（1，3），（1，3），（2，6）（2）抛物线顶点坐标为（1，9），并且与y轴交于（0，8）（3）抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为（2，0），与y轴交于点（0，用心 爱心 专心 119号编辑 9222，5），且过原点x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）且函数