线性代数克莱姆法则（课堂PPT）

1、1复习复习 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开余子式与代数余子式余子式与代数余子式 行列式按行行列式按行(列列)展开的法则展开的法则 余子式与代数余子式的应用余子式与代数余子式的应用 两个定义的结合运用两个定义的结合运用2第五节 克莱姆法则 本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组的求解问题 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111 行列式称为方程组()的系数行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211() 3定理证明v克莱姆法则克莱姆法则 如果线性方程组()的系数行列式D不等于零 则方程组()有唯一

2、解 DDx11 DDx22 DDxnn nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111 () nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211 其中Dj (j1 2 n)是把系数行列式D中第j列的元素a1j a2j anj对应地换为方程组的常数项b1 b2 bn后所得到的n阶行列式 4 例 1 解线性方程组06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx 提示 克莱姆克莱姆法则法则 如果线性方程组的系数行列式如果线性方程组的系数行列式D不等于零不等于零 则方则方程组有唯一解程组有唯一解 xj D

3、j / D(j 1 2 n) 因为 解 D27 D1812781 1D D101242317105626142317105626105985克莱姆克莱姆法则法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解 xj Dj / D(j1 2 n)提示 27108 D 2D05987105626110121012423171056261 因为 D27D2108D181 解 例 1 解线性方程组06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx 6克莱姆克莱姆法则法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xj Dj / D(j1 2 n)提示

4、2727 D 3D05986261101242311012423171056261 因为 D27D327D2108D181 解 例 1 解线性方程组06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx 7克莱姆克莱姆法则法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解 xj Dj / D(j1 2 n)提示提示 2727 D1012423171056261 4D0598101242317105 因为 D27D427D327D2108D181 解解 例 1 解线性方程组06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx 8所以

5、 所给方程组的唯一解为克莱姆克莱姆法则法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj / D(j1 2 n) 因为 D27D427D327D2108D181311DDx 311DDx 422DDx 422DDx 133DDx 133DDx 144DDx 解 例 1 解线性方程组06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx 9讨论 常数项均为零的线性方程组称为齐次线性方程组问齐次线性方程组有什么样的解?v定理4 如果线性方程组()的系数行列式D0 则方程组()一定有解 且解是唯一的 v定理4 如果线性方程组()无解或有两个不同的解 则它的

6、系数行列式必为零 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111 () nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211 10 0 0 0 22112222121 1212 111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa () nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211 v定理5 如果齐次线性方程组()的系数行列式D0 则齐次线性方程组()没有非零解 v定理5 如果齐次线性方程组()有非零解 则它的系数行列式必为零 齐次线性方程组11 例3 问取何值时 齐次线性方程组 有非零解? 0)4(20)6(2022)5 (zxyxzyx 若所给齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式D0 而 解 402062225D(5)(6)(4)由D0 得2、5或8 (