极限、连续与间断

1、第一章极限、连续与间断本章主要知识点求极限的几类主要题型及方法 连续性分析间断判别与分类连续函数的介值定理及应用、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节洛必达法那么，变限积分再作相应介绍。P X1题型 I lim XPn方法：上下同除以54X X2XX的最咼次幂例 1.1 - limX1解：原式lim -XX丄3X丄X14X例 1.2. lim -3xX22x 33x4 12 23x 1 2x 3解：原式 limXX2x23 4xlimX22 3x3 厂=124例 1.3. |im3x13x_1x V x 1 x 1解：原式=lim w3xxJx 1例

2、 1.4. lim (. 4x2 x 12x)x解：原式=limxX 14x2 x 1 2x例 1.5 .limx=limxxxx432xxx432141解：原式=lim -X1(1)xe)x=1原式=Pn a 0Pn(a)0, Pm(a)0Pn(a)Pm(a) 02题型II lim卫凶x a Pn(x)Pm(a)Pn(a)'上下分解因式(或洛比达)例 1.6 .limco=x 1 x 1解：原式=1/2例 1.7. xm13x2xx sin x2x 1解：原式=例 1.10. limx 1解：a+2+b=0.xx2 x2x3x(x1).11 (x 1)(x 3)x13 X1x,原式：

3、r U =limu 1 u2 ax2xb ,2 x3x22解：令u2例 1.9. limx 1解：原式=liix例 1.8. limx 1limUx 1 x 343 112lim(u 1)(u u 1)u 1 (u 1)(u 1)原式= limax(72lim(x 1)(ax a 2) 2a 22(x 1)(x 2)a=2,b=-4答案错误3题型IIIlim f (x)g(x)0x a假设 lim f (x)0，g(x)有界x a1)lim 飞arccot(sin(x2x x2 3解：因为arccot(si n(x21)有界例. xmn(12 2tan x)cos (一) x解:因为ln(1

4、tan x)0 x 0,所以原式=0.Jx X . 2006例.lim sin(sin(2006x)xx 1所以原式=0。cos2 (2)有界,x解因为 lim xx xlimx11x x311x0 , sin2006 (sin(2006x)有界;所以原式=0。4题型IV li叫11u)u识别此类题型尤为重要,主要特征为未定式.步骤如下:lim(1 u)v1lim( 1 u)uuvlim uve例 1.14. lim (x xx 2)3x 21)解:原式=limx(1(3x2)limx3X 1 C(3x 2)33例.解:lim=ex3(3 x 2)x 1 2xim G 2x5x 1)2x13)

5、原式=limx1 -3x2xx2 2x3x 23x 2x2x 3limx=e(3x 2)(2x 1)x2 2x 3例 1.16 . xm0(112 xx sin x)x解：原式=limx 01(1 x2sin x)x2sinxx2 sin(x)1x5题型V等价无穷小替换替换公式：x 0sin x xtan x x彳 1 21 cosx x2arcsin x xarctan x x 1n 1 x 1 xnln(1 x) x ex 1 x 替换原那么：乘除可换，加减忌换。mHx例sin x x3X错解：limxx x0 丁 =0例 1.18.xim0ln(1 2x)si n(5x)x2eT 1解:

6、原式=002x 5x2 =-20x例.x1叫3 1 2x21arcta nx2解:原式例 1.20 .X98题目可能有误分子局部的9可能应替换为 19解：令x 8 u，那么x 8原式=lim 代2u_4u 0 3 27 u 3limu 01 -u 8331u27271 1u=lim - 2 8u 0 3 1 u3'27答案错误例 1.21 . |imtanx sinx 0解:原式=xm0lim (cosx)x 0解:tan3 xtan x(1 cosx)1ln(1 2x2)x3原式=1叫(1 cosx1 2x x lim 2xx3(cosx1)cosx 11)m?1 2x22limex

7、 0 2x1e7xarcs in 2lim1 xx丄 2x 1arcta n 厂3x2-解:x 原式=xim富x(3x24)lim2x (2x 1)(1x2)解:3x2tan x esin x elimx 0 cos(x) sin( 1 x31)sin x tan x sin x原式=lim e (e _匚 x 0 cos(x) sin(. 1 x31)gtan x sin x=lim= limx 0 .1 x31 x 0tanx sin x6题型VI 洛必达法那么见导数相关内容;7题型VII变上限积分有关积分见积分相关内容、极限应用一连续性分析定义：lim f (x) f(x0)x X)变形

8、：f(x。0) f (X) 0) f(x),其中f (X) 0)分别表示左、右极限。sinx例.f(x),xtan (si n2x)假设f(x)在x 0处连续，求a 。a,x 0解：lim f (x)x 0limx0 tan(sin 2x)12 f(0)例 1.26.2 axsin1 ln(1 2x)xxsin2xb,，假设f (x)在x 0处连续，求a,b,c2x)x解：f(00)2 1 lim (ax sin - x 0x2 . 1sinxa lim xx 0ln(12x)sin 2xln(1 2x) limx 0sin 2xf(00)lim c(121 x)xx10 Xf(x)ce由 f

9、(00)f(0 0)f(0)得：1ce 4故b 1,ce4,a为任意实数例 1.27 .f(x)1 ig(x)si nx,x 0，其中g(x)为有界函数，问f(x)在x 0是否连续?0,x 0解：因为lim f (x)x 01lim g()sin xX 0 x0f (0)所以，f(x)在x 0处连续。例1.28 . f (x) Sin X 1在x 1可能连续吗?X 1解：f(1x11x0)lim f(x)limx 1 0x1limx 1x 1,1x1x1f(10)linpof (x)limlim1x 1 0x 1 0x1x 1x1不管f (1)取何值，f(x)均不能连续。、极限应用一间断识别及

10、分类.识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。2 .分类方法:af (xo 0)f (xo 0),怡为可去间断;cf (xo0)、f (xo0)至少有一个不存在，xo为第二类间断；特别地，假设左右极限中至少有-为那么为第二类无穷间断。例.f(x)x(x )tan x解:间断点为x k,k2，k Z5对于xk2,kZ，因为 limx k1 f (x)0，所以 x2k为可去间断。2对于xk，当k 0,即x0,.x(x)limx 0 ta n xx 0可去间断；bf(xo 0)f(xo 0), xo为第一类间断，或称跳跃型间断;对于xk，当k 1，即x,limx 0当k0,1,li

11、mx(x)x kx ktan x例.f(x)sin x1e百x解:间断点x 1,0为第n类无穷间断。f(10)0 ,e1x(x ),xtanx可去间断;f(10)sin(1) lim ex 1x 1 01sin(1) lim ex 1x 1 0f (x)在 x1为n类无穷间断。1叫 f(x)x 0e 1 , x=0为可去间断点。例. f(x) 2 xln(1 x)(x3)(x1)(x2)解：定义域为x 1。间断点为x1,x2。因为limx1f(x)lim f (x)x 2所以 1, 2均为f (x)的n类无穷间断。；2 x例 1.32. f (x)e2 x2 x解：定义域为2x2，间断点为x

12、2,2对于x 2 , lim f (x), x 2为第n类无穷间断;x 2 0对于x 2 ,阿0f(x)1 -lim 、2 xe2 x2 x 2 02为第n类间断。注：对x2,2仅考虑了其一个单侧极限。例.f(x)x 1 sin x 1ex 2,x0,x 0,x 0.解：间断点是：x k ,kZ ,x2 , x=0是可能间断点。对于1x=0 , f(0+0)= e 2 ,f(0-0)=,x=0为第n类间断；对于x k , k Z , limf(x)x k,为第n类间断；对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=，为第n类间断。注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。四、连续函数介值定理定

13、理：f(x)在闭区间a,b内连续，且f(a) f(b) 0，那么f(x)在a,b至少有一零点，即存在 c (a,b)，使得f(c) 0。 应用此定理需要注意以下几点：(0) f (x)如何定义。(1) a,b区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。(2) 验证f (x)在闭区间 a,b上的连续性，(3) 验证f(x)在两端的符号。(4) 此定理不能确定 f (x)是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证f(x)在a, b内的单调性参见导数应用局部例1.34 证明：xex 2在0,1内有一实根证：构造 f (x)xex 2, x 0,1易知 f (x)在 0,1 上连续，且 f(0)2 ,

14、 f (1) e 20，故 f(0) f(1)0,由连续函数介值定理知，f (x) 0在0,1有实根，即命题得证。例1.35 证明x4 3x2 x 2至少有一正根证明：令 f(x)x4 3x2 x 2 , x 0,2f (x)在0,2内连续，且f (0)2, f(2)4 , f(0)f(2)0由闭区间连续函数介值定理得,f (x)在0,2至少有一根，即命题得证。五、数列极限定理：对充分大的 n成立，anbnCn ,如果limnanlim cn A,n那么lim bn例 1.36.Iim(1n21解：因为2n22_1 n2-)n12 nn21，limlim1)lim2(n2 n)1 2n21li

15、mn(n 1)2(n21)所以，原式=1/2。单元练习题1x a x1. lim ()x x a2.如果f(X)3.4.5.f(x)1 cos3x (x(x1)(x 4)(x 2)0，在x 0处连续，那么00)与mxn等价无穷小,0)与mxn是等价无穷小,的间断点为2 .x ax b2，那么 ax2 3x 27在以下极限中，正确的选项是1A. lim xsin 0xx亠.ln(1 2x) C. limx 1 x 16.01D. xm12x xx2 3x 22x xx2 3x 28 .假设 lim | f (x) | | A |那么x alim f (x) Ax aB. lim f(x) Ax

16、alimf(x)| 丽x a 'D.以上都不正确9在以下极限中，不正确的选项是A. limX x100sin 2x 11C. lim x1 xx 1limx 0sin 2xtan3x10 计算以下极限1limx4x2 2x 1 2x2limx2003x2004 x2cos 2004x 100!3limx2x2 x x2x2x 14limx 02x211 cosx50167891x23x 2ln22xlimx 0 tan xsin 2xlim 3 2x 2x 2 3 4x 2sin xxsin (2x 1) limx2X210.2sin xIn 1 x2 2x4 limx 011In l

17、imx 02 x ln 212lim3x 01 2x21题目错误 分子根号外局部应为 -号而不是+号3x211 分析函数12 .分析f Xlimnx的间断点，并指明其类型。sin x1 2n的间断点，并指明其类型。1 x2n13 .分析f X14 .分析函数fsin x 1的间断点，并指明其类型。415 .证明方程x3x1至少有一正根，有一负根。16 .证明：方程In3至少有一正根。17. lim(n1n218. lim(fn22n32历年真考题1、 20011、以下极限正确的选项是C 1 x 1 -A. lim(1 -) e B. lim(1-)tanx的间断点，并指明其类型。 1 x 3

18、x ex 0 xx xC.lim xs in xxD. lim xs in x 0 x2、2001求函数f(x) X 的间断点，并指出其类型3、 2002丨以下极限中，正确的选项是A A. lim(1tan x)cotxesecxC. lim(1cosx)eB.limxs in11D. lim(1 nf en4、(2003)在以下极限中，正确的选项是Dsin2x 小arcta n x “A. lim2B.lim1xxxxx24C. limD.limxx1x 2x 2x 015、2003limo(1x2)1 cosx6、 2003丨 f(x) 四" 1，求其间断点并判断类型。x 17、

19、 2003证明：xex 2在(0,1)内有且仅有一个实根。2& 2004当 x 0 时，xsinx 是关于 x 的B9、 2004 丨设 f (x)x，那么 lim f (x)xx10、 2004求函数f(X)的间断点并判断类型。sin x111、 2005x=0 是函数 f(x) xsin 的 x本章测试题y .lg4x x231的定义域是lg(2x3)f(x).4 x2,|x|2的定义域是sin x,2 x31.2.3.4.5.6.7.&9.1011limxsin x0_x-sin xlimx xlimxsin xlimxx1xsin xlim xs in 丄x 0f(x)

20、x22x3的连续区间是，间断点是21 x 1x1假设f(xa)x(xa)，那么 f(x)A.x(xa)B.x(x a)C.(xa)(xa) D.(x a)2设f (x)ln x ,g(x)x 2，那么fg(x)的定义域是A.(-2,+)B . -2, + C.(-,2) D.(-设f (x)x，那么当x 0且x1时f1x 1f(x)x 1x1 xA.BC .D .xxx 1当x 0时与3x2x4为同阶无穷小量是A.B234x.xC.xD .x.当x 1时，以下变量中不是无穷小量的是A.2 x1B.x(x 2)1C.3x22x1 D.4x2 2x1.设lim(12 kn _)3 e，那么knnA

21、.3/2B.3/2C . -3/2D.-2/312o,2)12 .函数y f(x)在x a点处连续是f(x)在x a点有极限的A.充要条件B .充分条件C .必要条件D .无关条件13 .函数 f (x)2 x 3-的间断点是x 3x 2A . x 1,x2B.x 3C . x 1,2,3D.无间断点A .x B . 2x:C2 .xD.2x215 . lim3、n 9n2丨，n3n 4 81 n8 1A . 3B. 1CD111,x2,9,xIn (x1)16 .函数f (x)0,x 1的连续区间是1,x 214 .当 x0时,m .c的等价无穷小量是17.18.19.20.21.22.A.

22、 1,分析lim(xlimx01,.1,22, D.1,2 2,(xx 34)(x 1)的间断点并分类。ax b) 0 ,求 a,b。(、.(x p)(x q) x)、；2x1 3x 22ln(1 3x)tan 2x223. 1叫 x ex)x2ca x x , x 0f (x)sin3x，求a使f (x)在x 0处连续。,x 0x25.设f(x) x21,0 x 1，假设 f (x)在(，)内连续，求a,b的值。b, x 1x26.求以下函数的间断点并判别类型。1f (x)2x 112x 12n2f (x)limnx(2x )2cosx 'x 0x1x 0sin 2 ,x 1,127

23、. 设f (x)在a,b上连续且f (a) f()。28. 设f (x)在0,1上连续,且0a, f(b)f(x) 1b。试证：在a,b内至少存在一个证明：在0,1上至少存在一个f()。29.证明 x5 3x 20在(1,2)内至少有一个实根。30.设 f (x)在上连续，且 f f(x) x，证明：存在一个使得f ()本章练习解答2、a 0 ；1、e2a4, a bn 4 ln 2 ；24、6、105、 x 1,28、1解:原式=limx4x2 2x 1 4x2=lim2x x2x 12丨解:原式=03丨解:原式=limx4丨解:原式= limx 05丨解:原式016丨解:原式limx7丨解

24、:原式uim08丨令原式sin9丨令原式sin limu 04x2 2x 1、,4x2 2x 1 2xx2x 2xx22x22x21cosx22x0 x 2x2，得x3 4u，得x12uu2 2 410原式 lim x 0x2ln1 xM1原式x叫尹冷U，得x 1-2"x2x22=elimx2x201 2x2=e4limx 1 x 1u28 21 uim0?lim s1u 0 usinlimu 0Zu1u21u2limx 0 3xl n 26ln 212解：原式3113 n叫IKmoH X22X1 - 33ln2X11、解：间断点为 x k , k Z 。当 k 0,即 x 0 时，

25、lim f (x)x 023ln 31，x 0为可去间断;当k0，lim f xx k，x1x10x112、解:11x1，间断点为0x 11x 1f 101， f 10 1，f 1 01，f 1 01，13、解:f x的定义域x 2，间断点为x0,1,k,k忑。2J2xxlim f xlimx 0x 0 x 1 x:3 xlim f xx 1lim fxx k 214、解:X 1为间断点。sin x1.f 10lim1x 1 01 xx 1为I类跳跃间断。4215、证明：构造 f (x) x 3x x 1，k为II类无穷间断1,1x 1，I类跳跃间断；x 1，I类跳跃间断。，x 0为可去间断；

26、3x 1为II类无穷间断；x k 为II类无穷间断。2sin x 1 f 1 0 lim1，x 1 0 v d对于 x 0,2， f(x)在0,2上连续，且 f (0)1, f(2)16122110，据连续函数介质定理知,在(0,2)方程至少有一正根;同理，对于x 2,0,f ( 2)16 12 2 150, f (0)10,故在(2,0)方程至少有一负根，命题得证。16、证明：构造 f(x) xln(x 1) 3,x O.e4 1，f(x)在0,e41连续，且 f (0)3，f (e4 1)(e4 1)ln(e4) 3 4(e4 1) 3 0，据闭区间连续介值定理得知,在(0,e4 -1)内

27、f (x)至少有一正根，即命题得证。17、18、1/3。1.3,222,32.2,3,42/423. 1, 2 , 0 , 0 , 14.1,33,x 315.26、B 7、A 8、C9、B10、D 11、C12、B13、A14、A16、D17.定义域x 3，间断点为x1且为第一类无穷断点。18.lim .(x p)(x q)2 1 (ab)(x1).(a lim1)x2(a b)x 1 b 0xx1xx 1测试答案那么 a 1,a b 0,即 a 1,b1。15、A19 .原式=limx(p q)x pq32u3 lim1(u x 820 .原式x 411x 43x2x2322. limx 0 2x21ex1 221.原式= lim - 红丄lim厶x 2 空23 X叫(1 ex x 1)eXx12x 13d 2x 1.2ex x 12 ex 1lim lim 4 eex 0 xex 0 1224. f 0 lim a x x a,x 00 lim sin 3x 3,f 0 ax 0 xf 0 得，a 325.0 a, f 0 a, f 01, f 12, f 1 b由连续性可知f 00 f 01 a, f 1a 1,b226. 1间断点为