面面垂直的性质习题详细答案

1、平面与平面垂直的性质1.1.了解平面与平面垂直的性质定理的推导过程了解平面与平面垂直的性质定理的推导过程. .2.2.理解平面与平面垂直的性质定理理解平面与平面垂直的性质定理. .3.3.能够利用平面与平面垂直的性质定理证明空间中的线、面的能够利用平面与平面垂直的性质定理证明空间中的线、面的垂直关系垂直关系. .1.1.本课重点是平面与平面垂直的性质定理的理解本课重点是平面与平面垂直的性质定理的理解. .2.2.本课难点是平面与平面垂直的性质定理的应用本课难点是平面与平面垂直的性质定理的应用. . 平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理(1)(1)文字语言文字语言条件：两个平面垂直条

2、件：两个平面垂直. .结论：一个平面内垂直于结论：一个平面内垂直于_的直线与另一个平面的直线与另一个平面_._.(2)(2)符号语言符号语言= =l_交线交线垂直垂直aa. .a aaal(3)(3)图形语言图形语言(4)(4)作用作用面面垂直面面垂直_垂直；垂直；作面的垂线作面的垂线. .线面线面1.1.两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？2.2.两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂

3、直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线吗？直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线吗？1.1.两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？提示：提示：不一定不一定. .只有与交线垂直的直线才与另一个平面垂直只有与交线垂直的直线才与另一个平面垂直. .2.2.两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线吗？直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线

4、吗？提示：提示：一定一定. .由面面垂直的性质可知，该直线垂直于另一平面，由面面垂直的性质可知，该直线垂直于另一平面，因此也就垂直于这个平面内的所有直线因此也就垂直于这个平面内的所有直线. .3.3.设两个平面互相垂直，则下列说法中：设两个平面互相垂直，则下列说法中：(1)(1)一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面. .(2)(2)过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面内过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面内. .(3)(3)过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面. .(4)(4

5、)分别在两个平面内的两条直线互相垂直或平行分别在两个平面内的两条直线互相垂直或平行. .正确的序号是正确的序号是_._.【解析【解析】(1)(1)错误，平面内的直线只有垂直于交线的才垂直于错误，平面内的直线只有垂直于交线的才垂直于另一个平面另一个平面.(3).(3)错误，因为过交线上一点垂直于交线的直线，错误，因为过交线上一点垂直于交线的直线，一定在过交线上该点的垂面上，不一定在另一个平面中一定在过交线上该点的垂面上，不一定在另一个平面中. . 分别分别在两个平面内的两条直线可能异面、平行、相交在两个平面内的两条直线可能异面、平行、相交( (包括垂直包括垂直),),故故(4)(4)错误错误.

6、.只有只有(2)(2)正确正确. .答案：答案：(2)(2)4.4.如图所示，已知平面如图所示，已知平面平面平面，= =l，AAl，BBl，ACAC，BDBD,AC,ACl，BDBDl，且，且AB=4AB=4，AC=3AC=3，BD=12BD=12，则，则CD=_.CD=_.4.4.如图所示，已知平面如图所示，已知平面平面平面，= =l，AAl，BBl，ACAC，BDBD,AC,ACl，BDBDl，且，且AB=4AB=4，AC=3AC=3，BD=12BD=12，则，则CD=_.CD=_.【解析【解析】连接连接BC,ACBC,ACl,BC,BC= =又又平面平面平面平面，= =l，BDBDl,

7、,BDBD平面平面，BDBCBDBC，CD=CD=答案：答案：131322ACAB5.22BCBD13.对平面与平面垂直的性质的认识对平面与平面垂直的性质的认识两个平面垂直的性质定理也可简述为两个平面垂直的性质定理也可简述为“面面垂直，则线面垂面面垂直，则线面垂直直”. .该定理可作为该定理可作为“线面垂直线面垂直”的判定方法：只要有两个平的判定方法：只要有两个平面垂直，那么过平面内一点向交线作垂线便得线面垂直，进一面垂直，那么过平面内一点向交线作垂线便得线面垂直，进一步有线与线的垂直步有线与线的垂直. .平面与平面垂直的判定与性质相结合，为平面与平面垂直的判定与性质相结合，为证明线线垂直、线

8、面垂直提供了更多的技巧证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧. . 面面垂直的性质定理的应用面面垂直的性质定理的应用【技法点拨【技法点拨】应用面面垂直的性质定理的策略应用面面垂直的性质定理的策略(1)(1)应用步骤应用步骤: :面面垂直面面垂直 线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直. .(2)(2)应用类型应用类型: :证明线面垂直、线线垂直证明线面垂直、线线垂直; ;作线面角或作二面角的平面角作线面角或作二面角的平面角. .直线垂直两平面交线【典例训练【典例训练】1.1.如图所示，三棱锥如图所示，三棱锥P-ABCP-ABC的底面在平面的底面在平面上，且上，且ACPC,ACPC,平平面面PACPA

9、C平面平面PBCPBC，点，点P P，A A，B B是定点，则动点是定点，则动点C C运动形成的图运动形成的图形是形是( )( )(A)(A)一条线段一条线段(B)(B)一条直线一条直线(C)(C)一个圆一个圆(D)(D)一个圆，但要去掉两个点一个圆，但要去掉两个点2.2.如图所示，平面如图所示，平面，直线，直线a a，且且，=AB,a=AB,a，aABaAB. .求证：求证：aa. .【解析【解析】1.1.选选D.D.平面平面PACPAC平面平面PBC,ACPC,PBC,ACPC,ACAC平面平面PAC,PAC,且平面且平面PACPAC平面平面PBC=PCPBC=PC，ACAC平面平面PBC

10、.PBC.又又BCBC平面平面PBCPBC，ACBCACBC，ACB=90ACB=90，动点动点C C运动形成的图形是以运动形成的图形是以ABAB为直径的圆，除去为直径的圆，除去A A和和B B两点，两点，故选故选D.D.2.a,2.a,过过a a作平面作平面交交于于aa，aABaAB. .，=AB=AB，aa，aa. .【思考【思考】在应用面面垂直的性质定理时应注意哪几点？在应用面面垂直的性质定理时应注意哪几点？提示：提示：应特别注意三点：应特别注意三点：(1)(1)两个平面垂直是前提条件；两个平面垂直是前提条件；(2)(2)直直线必须在其中一个平面内；线必须在其中一个平面内；(3)(3)直

11、线必须垂直于它们的交线直线必须垂直于它们的交线. .【变式训练【变式训练】,是两个不同的平面，是两个不同的平面，m m，n n是平面是平面及及之之外的两条不同的直线，给出四个论断：外的两条不同的直线，给出四个论断：mn;mn; ;n;n;mm. .以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：为正确的一个命题：_._.【变式训练【变式训练】,是两个不同的平面，是两个不同的平面，m m，n n是平面是平面及及之之外的两条不同的直线，给出四个论断：外的两条不同的直线，给出四个论断：mn;mn; ;n;n;mm. .以其

12、中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：为正确的一个命题：_._.【解析【解析】利用面面垂直的判定，可知利用面面垂直的判定，可知为真；利用面为真；利用面面垂直的性质，可知面垂直的性质，可知为真为真.应填应填“若若则则”，或，或“若若则则”. .答案：答案：若若则则( (或若或若则则) ) 与面面垂直有关的计算与面面垂直有关的计算【技法点拨【技法点拨】与面面垂直有关的计算的方法与面面垂直有关的计算的方法(1)(1)求角的大小求角的大小. .由所给面面垂直的条件先转化为线面垂直，再由所给面面垂直的条件先转化为线面垂直

13、，再转化为线线垂直，一般转化为在三角形中的计算问题转化为线线垂直，一般转化为在三角形中的计算问题. .(2)(2)求线段的长度、点到直线或平面的距离以及几何体的体积求线段的长度、点到直线或平面的距离以及几何体的体积. .求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点( (等体积等体积) )法法. .2.2.如图所示，正四棱柱如图所示，正四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，底面边长为底面边长为2 2 侧棱长为

14、侧棱长为4 4，E E，F F分别分别为棱为棱AB,BCAB,BC的中点，的中点，EFBD=G.EFBD=G.(1)(1)求证：平面求证：平面B B1 1EFEF平面平面BDDBDD1 1B B1 1；(2)(2)求点求点D D1 1到平面到平面B B1 1EFEF的距离的距离. .2，2.(1)2.(1)连接连接AC.AC.正四棱柱正四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面是正方形，的底面是正方形，ACBD.ACBD.又又ACDDACDD1 1, ,且且BDDDBDDD1 1=D,=D,故故ACAC平面平面BDDBDD1 1B B1 1，E E，F F分

15、别为棱分别为棱AB,BCAB,BC的中点，故的中点，故EFACEFAC，EFEF平面平面BDDBDD1 1B B1 1，平面平面B B1 1EFEF平面平面BDDBDD1 1B B1 1. .(2)(2)解题流程解题流程: :【变式训练【变式训练】如图所示：平面如图所示：平面平面平面，A,B,ABA,B,AB与与平面平面,所成的角分别为所成的角分别为4545和和3030，过，过A A，B B分别作两平面分别作两平面交线的垂线，垂足为交线的垂线，垂足为AA，BB，且，且AB=12AB=12，则，则AB=_.AB=_.【解题指南【解题指南】找到线面角，将找到线面角，将ABAB放在直角三角形中求解放

16、在直角三角形中求解. .【解析【解析】连接连接ABAB和和ABAB，则，则BABBAB为为ABAB与与所成的角，所成的角，BAB=45BAB=45, ,同理同理ABA=30ABA=30. .在在RtRtABAABA中中,AA=AB,AA=ABsinABAsinABA=12=12sin30sin30=6,=6,在在RtRtABBABB中，中，AB=ABAB=ABcosBAB=12cosBAB=12cos45cos45= =在在RtRtAABAAB中，中，AB=AB=ABAB的长为的长为6.6.答案：答案：6 66 2.22ABAA6, 关于折叠问题关于折叠问题【技法点拨【技法点拨】解决折叠问题的

17、策略解决折叠问题的策略(1)(1)抓住折叠前后的变量与不变量抓住折叠前后的变量与不变量. .一般情况下，在折线同侧的一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，量，折叠前后不变，“跨过跨过”折线的量，折叠前后可能会发生折线的量，折叠前后可能会发生变化变化, ,这是解决这类问题的关键这是解决这类问题的关键. .(2)(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况化情况. .注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况度，角度的变化情况. .【典例训练【典例训练】1.1

18、.如图所示，沿直角三角形如图所示，沿直角三角形ABC ABC 的中位线的中位线DE DE 将平面将平面ADE ADE 折起折起, ,使得平面使得平面ADEADE平面平面BCDE,BCDE,得到四棱锥得到四棱锥A-BCDE.A-BCDE.则平面则平面ABCABC与平面与平面ACDACD的关系是的关系是_._.2.2.如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形ABCD ABCD 中中, ,已知已知AD=2AB=2a,BD=AD=2AB=2a,BD=ACBD=E,ACBD=E,将其沿对角线将其沿对角线BDBD折成直二面角折成直二面角. .求证求证:(1)AB:(1)AB平面平面BCD;BCD;(2

19、)(2)平面平面ACDACD平面平面ABD.ABD.3a,【解析【解析】1.ADDE,1.ADDE,平面平面ADEADE平面平面BCDE,BCDE,且平面且平面ADEADE平面平面BCDE=DE,BCDE=DE,ADAD平面平面BCDE.BCDE.又又BCBC平面平面BCDE,BCDE,ADBC.ADBC.又又BCCD,CDAD=D,BCCD,CDAD=D,BCBC平面平面ACD,ACD,又又BCBC平面平面ABC,ABC,平面平面ABCABC平面平面ACD.ACD.答案：答案：平面平面ABCABC平面平面ACDACD2.(1)2.(1)在在ABDABD中中,AB=a,AD=2a,BD=,AB

20、=a,AD=2a,BD=ABAB2 2+BD+BD2 2=AD=AD2 2,ABD=90,ABD=90,ABBD.,ABBD.又又平面平面ABDABD平面平面BCD,BCD,平面平面ABDABD平面平面BCD=BD,ABBCD=BD,AB平面平面ABD,ABD,ABAB平面平面BCD.BCD.(2)(2)折叠前四边形折叠前四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,且且ABBD,ABBD,CDBD.ABCDBD.AB平面平面BCD,ABCD.BCD,ABCD.又又ABBD=B,CDABBD=B,CD平面平面ABD.ABD.又又CDCD平面平面ACD,ACD,平面平面ACDACD平面平面

21、ABD.ABD.3a,【变式训练【变式训练】如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，AB=2ADAB=2AD，E E是是ABAB的中点，的中点，沿沿DEDE将将ADEADE折起折起. .(1)(1)如果二面角如果二面角A-DE-CA-DE-C是直二面角，求证：是直二面角，求证：AB=ACAB=AC；(2)(2)如果如果AB=ACAB=AC，求证：平面，求证：平面ADEADE平面平面BCDE.BCDE.【解题指南【解题指南】本题的关键是转化垂直条件本题的关键是转化垂直条件. .第第(1)(1)问由条件可得问由条件可得平面平面ADEADE平面平面BCDEBCDE，可作，可作AMDEAMDE

22、于点于点M M，则，则AMAM平面平面BCDEBCDE，AMBC,AMBC,取取BCBC中点中点N,N,连接连接MN,AN,MN,AN,从而有从而有BCBC平面平面AMNAMN，BCAN.BCAN.即可证即可证AB=BC.AB=BC.第第(2)(2)问，只需证线面垂直，即证问，只需证线面垂直，即证AMAM平面平面BCDE.BCDE.【解析【解析】(1)(1)过点过点A A作作AMDEAMDE于点于点M M，则则AMAM平面平面BCDEBCDE，AMBC.AMBC.又又AD=AEAD=AE，MM是是DEDE的中点，取的中点，取BCBC中点中点N N，连接连接MNMN，ANAN，则，则MNBC.M

23、NBC.又又AMBCAMBC，AMMN=MAMMN=M，BCBC平面平面AMNAMN，ANBC.ANBC.又又NN是是BCBC中点，中点，AB=AC.AB=AC.(2)(2)取取BCBC的中点的中点N N，连接，连接ANAN，AB=ACAB=AC，ANBC.ANBC.取取DEDE的中点的中点M M，连接，连接MNMN，AMAM，MNBC.MNBC.又又ANMN=N,BCANMN=N,BC平面平面AMN,AMBC.AMN,AMBC.又又M M是是DEDE的中点，的中点，AD=AE,AMDE.AD=AE,AMDE.又又DEDE与与BCBC是平面是平面BCDEBCDE内的相交直线，内的相交直线，AM

24、AM平面平面BCDE.AMBCDE.AM平面平面ADE,ADE,平面平面ADEADE平面平面BCDE.BCDE.【规范解答【规范解答】面面垂直性质定理的综合应用面面垂直性质定理的综合应用【典例】【典例】(12(12分分) )如图所示：如图所示： 在四棱锥在四棱锥V-ABCDV-ABCD中，底面四边形中，底面四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，侧面三角形侧面三角形VADVAD是正三角形，平面是正三角形，平面VADVAD底面底面ABCD.ABCD.(1)(1)证明证明ABAB平面平面VADVAD；(2)(2)求面求面VADVAD与面与面VDBVDB所成的二面角的平面角的正切值所成的二面角的平

25、面角的正切值. .【解题指导【解题指导】【规范解答【规范解答】(1)(1)底面四边形底面四边形ABCDABCD是正方形是正方形, ,ABAD.ABAD.1 1分分又又平面平面VADVAD底面底面ABCDABCD， ABAB平面平面ABCDABCD，且，且平面平面VADVAD平面平面ABCD=ADABCD=AD, ,3 3分分ABAB平面平面VAD.VAD.5 5分分(2)(2)如图所示，如图所示，取取VDVD的中点的中点E E，连接，连接AE,BE.AE,BE.VADVAD是正三角形是正三角形, ,AEVDAEVD，AE= AD.AE= AD.32ABAB平面平面VADVAD，ABVD.ABV

26、D.8 8分分又又AEAB=AAEAB=A，VDVD平面平面ABE.ABE.BEVDBEVD. .因此因此AEBAEB就是所求二面角的平面角就是所求二面角的平面角，1010分分于是于是tanAEBtanAEB= .= .1212分分2 33【规范训练【规范训练】(12(12分分) )如图所示：如图所示：已知已知PAPA平面平面ABC,ABC,二面角二面角A-PB-C A-PB-C 是直二面角是直二面角. .求证求证:ABBC.:ABBC.【解题设问【解题设问】(1)(1)由二面角由二面角A-PB-CA-PB-C是直二面角可得到什么？是直二面角可得到什么？_. .(2)(2)解答本题的思路是什么

27、？解答本题的思路是什么？欲证欲证ABBCABBC，需由，需由_得到线面垂直得到线面垂直. .进而可得到线线垂直，最后根据进而可得到线线垂直，最后根据_, ,寻找垂直关系寻找垂直关系. .面面垂直面面垂直面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理PAPA平面平面ABCABC【规范答题【规范答题】由二面角由二面角A-PB-CA-PB-C为直二面角为直二面角, ,得平面得平面PABPAB平平面面CPB,CPB,且且PBPB为交线为交线. .2 2分分在平面在平面PABPAB内内, ,过过A A点作点作ADPB,DADPB,D为垂足为垂足, ,4 4分分则则ADAD平面平面CPB.CPB.又又BCBC平面平

28、面CPB,CPB,所以所以ADBC.ADBC.6 6分分因为因为PAPA平面平面ABC,BCABC,BC平面平面ABC,ABC,所以所以PABC,PABC,8 8分分又又PAAD=A,PAAD=A,所以所以BCBC平面平面PAB, PAB, 1010分分又又ABAB平面平面PAB,PAB,所以所以ABBC. ABBC. 1212分分1.1.设平面设平面平面平面，在平面，在平面内的一条直线内的一条直线a a垂直于平面垂直于平面内的一条直线内的一条直线b b，则，则( )( )(A)(A)直线直线a a必垂直于平面必垂直于平面(B)(B)直线直线b b必垂直于平面必垂直于平面(C)(C)直线直线a a不一定垂直于平面不一定垂直于平面(D)(D)过过a a的平面与过的平面与过b b的平面垂直的平面垂直【解析【解析】选选C.C.直线直线a a垂直于平面垂直于平面内的一条直线内的一条直线b b，b b不一定是不一定是交线，不能判定直线交线，不能判定直线a a必垂直于平面必垂直于平面，故，故A A不正确；同理，不正确；同理，B B不正确；