2025-2026学年河南省南阳市镇平第一高级中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河南省南阳市镇平第一高级中学高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知互不相等的一组数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均数为x8，方差为s12，若x1，x2，x3A.s12>s22 B.s12=2.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份(如图)，等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦.若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为(

)A.45πdm3 B.99πdm3 C.3.若复数z满足(1+i)z=1−i(i为虚数单位)，则|z|=(

)A.2 B.22 C.24.已知函数f(x)同时满足：

①定义域内任意实数x，都有f(x)+f(2−x)=0；

②对于定义域内任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有f(x1)−f(xA.(−∞,−2) B.(−∞,2]5.在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=π3，点E是AB的中点，点F在线段BD上(包含端点)，则FC⋅FEA.[−1116,1] B.[1,4] C.[0,4]6.在(2x2−1x)nA.5 B.4 C.3 D.27.若函数f(x)=x3−aex有唯一极值点，则实数A.[12e2,+∞) B.(0,12e8.已知a>0，b>0且满足a+lna=e2+2b−blnbbA.a−b的最大值为e2−1e B.a+b的最小值为2e

C.ba的最大值为e2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.函数f(x)=ax−1−2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,−2)

B.若函数g(x)满足g(−x)+g(x)=6，则函数g(x)的图象关于点(0,3)对称

C.当x>0时，函数y=x+3x+1−1的最小值为210.已知正项数列{an}满足0<a1<1,an+1A.数列{an}为递增数列 B.a8>8

11.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，双曲线E的一条渐近线的倾斜角为πA.E的方程为x2−y23=1

B.A到E的两条渐近线的距离之积为32

C.若直线AB，AC的斜率之积为3，则B，C关于原点对称

D.若直线BC过点F2，且B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，O13.箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，3.甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是

．14.已知a，b∈R，若直线y=3x+a是曲线f(x)=ex+2x−b与曲线g(x)=x+2lnx的公切线，则a+b=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax−lnx，x∈(0,e]，a∈R．

(Ⅰ)当a=1时，讨论f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；

(Ⅱ)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．16.(本小题15分)

已知椭圆C的两个焦点F1(−2,0)，F2(2,0)，过F1点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，△MNF2的周长等于16．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点P(−8,0)的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线AF1，17.(本小题15分)

已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，S2，S3+1，S5−3成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)18.(本小题17分)

某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k−1(k∈N∗)个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(0<p<1)，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为pk(例如：p2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，p3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率)．

(1)若p=23，当k=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求p3；

(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a(a∈N∗)件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为14，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y(单位：元)．

19.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABC1⊥平面ABC，AC1⊥平面BCC1B1．

(1)求证：BC

参考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.D

6.A

7.A

8.B

9.BD

10.ACD

11.ACD

12.1213.113014.1

15.解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=x−lnx，

f′(x)=1−1x=x−1x，

∴当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；

当1<x<e时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．

∴f(x)的极小值为f(1)=1．

(Ⅱ)假设存在实数a，使f(x)=ax−lnx，x∈[0,e]有最小值3，

f′(x)=a−1x=ax−1x，

①当a≤0时，f(x)在(0,e]上单调递减，

f(x)min=f(e)=ae−1=3，a=4e(舍去)，

∴此时f(x)最小值不为3；

②当0<1a<e时，f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增，

∴f(x)min=f(16.解：(1)由题意，椭圆焦点在x轴上，

且c=24a=16a2=b2+c2，解得a=4b=23c=2，

∴椭圆C的方程为x216+y212=1．

(2)证明：由题意可知直线斜率存在，

当直线斜率为0时，显然k1=k2=0，∴k1+k2=0；

当直线斜率不为0时，设直线AB方程为x=my−8，A(x1,y1)，B(17.解：(1)已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，

a1=3，S2，S3+1，S5−3成等比数列，

设等差数列{an}的公差为d，

由题意得，S2=a1+a2=d+6，

S3+1=3(a1+a3)2+1=3a2+1=3(a1+d)+1=3d+10，

S5−3=5(a1+a5)2−3=5a3−3=5(a1+2d)−3=10d+12，

根据等比中项可得，(S3+1)2=S2(S5−3)⇒(3d+10)2=(d+6)(10d+12)，

整理得d2+12d−28=(d+14)(d−2)=0，解得d=2或d=−14，

因为{an}是单调递增的等差数列，所以d>0，即d=2，

根据等差数列的通项公式可得an=a1+(n−1)d=3+(n−1)2=2n+1；

(2)令{bnan}是以X0123P1248控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为E(X)=3×23=2，

p3产量4a0设备运行概率p1−∴升级改造后单位时间内产量的期望为4ap产品类型高端产品一般产品产量(单位：件)a3a利润(单位：元)21设备升级后单位时间内的利润为2apk+3apk=5apk，即E(Y)=5apk．

(ii)若增加2个元件，则第一类：

原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为p(1)=p3−C53p3(1−p)2，

第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，

其概率为(1−p)2(2−p)；

第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，

其概率为p(3)=C52p2(1−p)3⋅p2=C52p4(1−p19.解：(1)证明：过C1作C1E⊥AB于点E，如图所示：

面ABC1⊥面ABC，AB是交线，C1E⊂面ABC1，故C ​1E⊥面ABC，

又因为BC⊂面ABC，故C ​1E⊥BC，

又AC1⊥面BCC1B1，BC⊂面BCC1B