高斯曲率的计算公式

1、.第二章曲面论高斯曲率的计算公式高斯曲率绝妙定理LNM2Kk1k2EGF2 。注意L(ru , rv , ruu )n ruuF 2 ，EGM(ru , rv , ruv )n ruvF 2，EGN(ru , rv , rvv )n rvvF 2。EG所以KLNMEGF221F2)2 ( ru , rv , ruu )( ru , rv , rvv ) (ru , rv , ruv )2 ，(EG;.利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得(ru , rv , ruu )(ru , rv , rvv )(ru , rv , ruv )2rururv(ru ,rv ,rvv )rv(ru ,rv

2、, ruv )ruuruvrurururvru rvvrururu rvru ruvrvrurvrvrv rvvrvrurv rvrv ruvruu ruruurvruu rvvruv ruruv rvruv ruvEFrurvvEFru ruvFGrvrvvFGrv ruvruu ruruu rvruu rvvruv ruruv rvruv ruvEFru rvvEFru ruvFGrv rvvFGrv ruv ，ruu ruruu rvruu rvv ruv ruvruv ruruv rv0（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。）;.利用ru ruE ， rurvF ，rv rvG ，可

3、得 ru ruu1 Eu ， ruruv1 Ev ，22rv rvu1 Gu ， rvrvv1 Gv ，22rvrF1 E，uuuv2rurvvFv1 Gu 。2由于ruurvv ruv ruv ( ruu rvv ru rvvu ) (ru rvvu ruv ruv)(rurvv )u(rurvu )v(F1 G )( 1 E)v2uu2vvF1 G1 E；vu2uu2vv或者ruu rvvruvruv (ruurv )v (rv ruv )u(Fu1 Ev )v( 1 Gu )u22F1 Evv1 Guu；uv22;.于是得到EFFv1 GuEF1 Ev22K12 FG1FG12)GvGu

4、 ( EGF221 EuFu1 EvFuv1 Evv1 Guu1 Ev1 Gu0222222(1)公式被称为高斯定理，且被誉为高斯绝妙定理。将上式中的行列式按第三列展开，并化简，可得K1E(E Gv2F GvG2 )4( EGF2)2vuuF ( EuGvEvGu2Ev Fv4Fu Fv 2FuGu )G (EuGu2EFE2 )uvv2( EGF 2 )( Evv2FuvGuu ) ,(2)高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及其导数表示，从而 K 事实上是曲面的一个内蕴不变量。;.高斯曲率用第一类基本量明确的表达式由 Brioschi 公式 (1) 给出。存在等距对应的两

5、曲面，曲面上对应点处的高斯曲率必相等。球面片与平面片之间不存在等距对应。EFru rvvEFruruvFGrv rvvFGrvruvruu ruruu rvruu rvv ruv ruvruv ruruv rv0EF122EF112FG222FG212 ，111122120111211Fuv2Evv2Guu1EF122EF112K2 FG222FG212 。F2)( EG1 Evv1 Guu0111211Fuv11221222;.特别地， 当曲面： r r (u,v)上的坐标曲线网是正交网时，F0 ，此时E01 GE01 E2u2 v111K(EG)2 0G2 Gv0G2 Gu 1 Eu1 E

6、v1 Evv1 Guu1 Ev1 Gu022222212 E( 1 GEvv1 GGuu1 Ev1 Gv )1 Gu1 EuG ( E 1 Gu1 Gu1 EvG 1 Ev )(EG )222 2222222 1 (Evv Guu )1(EEvGv EuGuG EGu Gu EvGEv ) ,2EG4( EG)2即得K1Guu )1(EE vGvEuGu G EGu GuEvGEv ) ,( Evv22EG4(EG)(3)经过观察，通过凑微分，得到1 ( EG )1(EE GE G GEG GE GE)2EGvvuu4(EG)2v vu uu uvv1113 Gu (EGu EuG) Ev (

7、EGv Ev G)(Guu Evv )4( EG)EG2 EG;.11(GE )1G (EG)uE (EG)EG2EGuuvv4( EG)3uvv11Gu (11Ev (1EGGuu)uEvv)v 2EG2 EG2 EG2EG1(1(1EGGu )uEv )v 2EG2EG1( ( G )u )u( ( E )v )v ，EGEG故有K1( ( G )u )u( (E )v ) v ，(4)EGEG（验算这个量的散度的动因，是在用测地曲率的刘维尔公式，推导高斯 - 波涅公式时，出现求散度的运算，导致两者的表达方式是一致的。）K1( ( G )u )( ( E ) v )。EGuEvG;.K1(

8、1(1EG)(1(1EG)，EGuEuEvGvGK1g2g ) 。( gii( giii 1 uiui如果曲面在参数坐标网 (u, v) 下的第一基本形式为2 (u, v)( du)2(dv)2 ，则称此坐标网为等温参数网。E G2 , F0 ，K1( ( G)u )u( E )v )v EGEG12 ( u )u( v ) v 12 (ln)uu (ln)vv 1ln，222其 中u2v2是关 于 变 量 u, v 的Laplace算子 .;.于是在曲面上取等温参数网(u, v)时 ，2 (u , v ) d (2u )d2(v ) ，EG2 ，其中(u, v)0 .K1此时2 ln。2du

9、2dv2例 求第一基本形式为 ds (u2 v2 c)2 的曲面高斯曲率 。1解因为EG(u2 v2 c)2 , F 0 ，所以K1( ( G )u )u( ( E )v )v EGEGu2v222(v2cu2 )2(u2cv2 ) 4c。c (u2v2c)2(u2v2c)2例 求第一基本形式为(du)2G(u, v)(dv)2的曲面上的高斯曲率。由（ 3）式，得K1Guu1Gu Gu1( G )uu。2G4G2G;.半测地坐标网下，高斯曲率的计算公式在 C2类曲面： r r (u,v)上选一条测地线为 v - 曲线：u 0 ；再取与 正交的测地线族为u - 曲线，另取这测地线族的正交轨线为

10、v - 曲线，则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，曲面的第一基本形式 可以简化为(du)2G(u, v)(dv)2 ，其中 G (u,v) 满足条件G(0, v)1,Gu (0, v)0 。在曲面上选取了半测地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算公式;.12GKGu2。常高斯曲率的曲面现在设曲面 的高斯曲率是常数，即 K 常数，则得微分方程2 Gu2KG0。根据初始条件：G(0, v)1,Gu (0, v)0 ，我们可按以下不同情形求出这个微分方程的解。（1）正常数高斯曲率的曲面，K0 ，此时GA(v) cosKuB(v)sinKu。根据初始条件，可得A(v)1,B(v)0 ，于是G

11、cosKu ，;.(du)2cos2Ku (dv)2 。实例：考虑球心在原点， 半径为 R 的球面。取赤道为最初给定的测地线，则所有经线是与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的正交轨线，因此球面上的经线和纬线构成半测地坐标网。设球面上点的经度为 v ，纬度为 u ，则球面的参数表示是rR(cosu cosv,cos u sin v,sin u) 。ruR(sin u cosv, sin u sin v,cosu) ，rvR(cosu sin v,cosu cosv,0) ，Eru ru R2 , F ru rv 0,Grv rvR2 cos2 u ，R2 (du)2R2 cos2 u(dv

12、)2 。;.在球面上重新选择参数，命uRu, vRv于是22u2(du)cosR(dv )，高斯曲率12 G1u1KGu 2u (cosR)R2 ，cosR因此得到(du )2cos2Ku (dv )2 ，所以正常数高斯曲率的曲面的第一基本形式与球面的相同。正常数高斯曲率的曲面与同高斯曲率的球面之间存在着保距变换。（2） K0 ，从而有 G 1，因此(du)2(dv)2，所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式与平面的相同。;.（3）负常数高斯曲率的曲面，K0 ，此时GA(v)chKuB( v) shKu。根据初始条件，可得A(v)1,B(v)0 ，于是GchKu ，(du)2ch2Ku (dv)2

13、 。由此可知 , 具有相同常数高斯曲率的曲面都可适当选取参数 , 使曲面具有相同的第一基本形式 , 因此可建立等距对应 .由上述定理知道 , 具有常数高斯曲率的曲面 ( 这种曲面称为常曲率曲面)可按K0;K =0;K 0 分成三种类型 . 而属于同一类型的曲面它们的内在几何是相同的 . 平面作为高斯曲率为零的代表 ; 球面作为高斯曲率为正常数的代表 . 换句话说 , 高斯曲率为零的曲面都可以与;.平面建立等距对应 , 高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建立等距对应 .那么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表 ?设 K1, 我们可以在旋转曲面a2中找出这个代表 .设旋转曲面的待定母线为

14、Oxz平面中的曲线zz(x) .把它绕 z 轴旋转后形成了旋转面r(x(t)cos, x(t)sin, z(t ) ， t x ；代入旋转曲面的高斯曲率公式 x (t) z (t ) x(t) z (t) z (t )K2( z (t) 2 2x(t)( x (t)得其高斯曲率为z ( x) z ( x)K2 2x1 ( z ( x);.为了使这个曲面的高斯曲率1Ka2所以待定函数zz(x) 就必须满足下列方程 :z (x) z (x)1，x1 (z ( x)2 2a2将其改写成1 ( z ( x)2 11 2) ，2 1 (z ( x) 2 22a2 ( x两边积分后得到1212 x2C11

15、( z ( x)a取积分常数 C10 ,于是可解出x2 ( z (x)x)2a2 ，由此得出 z ( x)a2x2，xdza2x2dx ，x令 xasint ，则 dzacostacostdt1sin2 tasintadtsint1sin t )dta(1sin t) dt ，a(tsin t2tan2 tcos22于是;.za(ln tan tcost)。2因此，以母线xasin tza(ln tan tcost )2绕 z - 轴旋转后所得的旋转曲面的高1斯曲率正好等于负常数K2。a我们把母线 (4.4) 称为曳物线 .而把曳物线绕 z- 轴旋转后所得的曲面称为伪球面 .由著名的高斯定理,

16、曲面的高斯曲率 K被其第一基本形式完全确定 . 因此 , 若两个曲面可建立等距对应 , 则对应点的高斯曲率必相等 .但反之则不然 .【例】证明 :曲面S : r(u cosv, u sin v, v) ，（正螺面）S1 : r1(u1 cos v1, u1 sin v1,ln u1 ) ， ( 旋转曲面 );.在点 (u, v) 与 (u1, v1 ) 处的高斯曲率相等 , 但曲面 S 与 S1 不存在等距对应 .【证明】容易算出正螺面 S 与旋转曲面 S1 的第一基本形式分别为(du)2(u21)(dv)2 ，1 (1 12 )(du1) 2 u12 (dv1 )2 u1再利用正交网时高斯曲

17、率的计算公式 ( 即高斯方程 )1( G )(E )v )v K(u )u (GEGE经过计算得出曲面 S 和 S1 的高斯曲率分别为K12 1)2，(u1K1(u12 1)2 。;.因此取对应点(u,v)(u1, v1 ) ，便成立KK1 。但是曲面 S 与 S1 不存在等距对应 .我们用反证法 .若曲面 S 与 S1之间存在等距对应 ,它的对应关系为u1(u, v),v1(u, v),则对应点的高斯曲率必相等,所以得出 K1 (u, v)K (u, v)，即或(u21)2(u121)2 ，(u21)(u121)；(1)若 (u2 1) (u12 1) 则 u 2 u12 或 uu1。因此对

18、应关系为u1u,v1(u,v),这时 S1 的第一基本形式1 (1 12 )(du1) 2 u12 (dv1 )2 u1(11)(du) 2u 2 (u duvdv )2u2(11u22)(du)22u2u vdudv u22(dv)2，u2uv;.因为是等距对应 ,故1 ，比较得出11u2u21,u 2u2uv0,u2v2u 21,由其中第二式得出 u0 或v0 ,再由第一式或第三式得出10 或u2u210 ，这显然不可能成立 .因此这种情况不可能 .(2)若 (u21) (u12 1) ， 则 u 2u122 。这显然不可能成立 .因此曲面 S 与 S1 之间不能存在等距对应 .尽管在对应点具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距对