恒成立与有解问题

1、学员编号：年级：课时数：学员：辅导科目：数学学科教师：授课类型包成立与有解问题授课日期及时段教学内容恒成立问题【知识梳理】函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用一恒成立问题基本类型1:先别离参数，再求函数的最值或值域假设不等式fxA在区间D上恒成立，则等价于：在区间D上，函数

2、fxminA假设不等式fxA在区间D上恒成立，则等价于：在区间D上，函数fxmaxA例1：1设实数x,y满足x2(y1)21,假设xyc0恒成立，则c的取值范围是2不等式|x4|x3a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围3对任意实数x,不等式|x1|x2a恒成立，求实数a的取值范围44对任意实数x,不等式x 2 a包成立，求实数a的取值范围例2. (07上海)已知函数f x x2 a(x 0,a R) x1判断函数f x的奇偶性;2假设f x在区间2,是增函数,求实数a的取值范围。例3:08年上海此题共有第1小题总分值8分，第2小题总分值8分.,一，,_x 1已知函数f(x)= 2 x2(1

3、)假设f(x)=2,求x的值;(2)假设2tf 2t mf t0对于te1, 2恒成立，求实数 m的取值范围.变式训练:函数f(x)是奇函数，且在1,1上单调递增，又f( 1)1 ,假设f (x) t2 2at 1对所有的a1,1都成立，求t的取值范围.二恒成立问题基本类型2:对一些不能把参数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解数形结合f(X)g(X)对一切XI恒成立f(X)的图象在g(X)的图象的上方或f(X)ming(x)max(xI)1，一例4：已知a0,a1,f(x)X2aX,当x(1,1)时，有f(X)恒成立，求实数a的取值范围。2变式训练：假设对任意xR,不等式忸*x恒成立，则

4、实数a的取值范围是D a>l(A)a<-1(B)|a|<1(C)|a|<1三恒成立问题基本类型 3: 一次函数型利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a 金咽设y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0 ,则根据函数的图象线段如以下图 可得上述结论等价于、a 0a 01，或 11f (m)0f (n)0可合并定成f(m) 0f(n) 0同理，假设在m,n内恒有f(x)<0 ,则有f (m) 0 f(n) 0例5.对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围变式训练：假设不等式2x1m(x21)对满足忖2的

5、所有m都成立，则x的取值范围四恒成立问题基本类型4：二次函数型一一利用判别式，韦达定理及根的分布求解，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题对于二次函数f(x)=ax，bx+c=0(a力向实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即a0f(x)>0恒成立0；a0f(x)<0恒成立0.假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解，往往转化为求函数在此区间上的最值问题更简捷。222例6.1假设函数f(x)lg(a1)x(a1)x的定义域为R,求实数a的取值范围.a12一(2)假设函数f(x)lg(a1)x(a1)

6、x的值域为R,求实数a的取值范围.a12例7：已知函数f(x)xax3a,在R上f(x)0恒成立，求a的取值范围.变式训练1：假设x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围变式训练2：假设x 2,2时，f(x) 2恒成立，求a的取值范围2变式训练3：函数f(x)(a-2)x22(a-2)x-4(aR)1是否存在实数a使得x1,3时，f(x)0恒成立2是否存在实数a使得x(1,3)时，f(x)0恒成立例8：定义在R上的单调函数f(x)满足f (3)log?3且对任意的 x,y R,都有 f(x y) f(x) f(y)(1)求证f (x)是奇函数(2)假设 f (k 3x) f (3x -9x

7、 - 2) 0对任意的x R恒成立，求实数k的取值范围【稳固练习】1、假设不等式(a-2)x22(a-2)x-40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围42、已知函数f(x)(a-6)x2a-4在一,1上，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围5521、3、不等式3x2logax在(0,)上恒成立，则实数a的取值范围34、已知函数f(x)lg(2x-b),假设x1,)时，f(x)0恒成立，则实数b的取值范围5、函数ylogax在区间2,)上恒有|y|1,则实数a的取值范围6、关于x的不等式232x-3xa2-a-30,当0awi时恒成立，则实数a的取值范围为17、假设不等式x2+ax+1>0

8、对于一切x(0,2成立，则a的最小值是().5A.OB.2C.2D.38、如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=.A.1B.-1C.%2D.-'.2.29、gx3xax3a5对满足1a1的一切a的值，都有gx0,求实数x的取值范围；210、已知函数f(x)2sinI求f(x)的最大值和最小值;II假设不等式 f(x) m 2在xTT TT上恒成立，求实数 m的取值范围.4 214方程、不等式有解问题存在性问题(一)关于方程的实数解的问题方程f(x)0有解的问题实际上是求函数yf(x)零点的问题，判断方程f(x)0有几个解的问题实际上就是判断函数y

9、f(x)有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理方法：一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程f(x)0的根，此法一般适合于含有一元二次三次的整式函数，或由此组合的分式函数。2一一一x22x3(x0)例1函数f(x)()的零点个数为2lnx(x0)A.0B.1C.2D.3二、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程f(x)g(x)0,可以先转化为方程f(x)g(x),再在同一坐标系中分别画出函数y"刈和丫g(x)的图象，两个图象交点的横坐标就是原函数的零点，有几个交点原函数就有几个零点。此法一般适合于函数解析式中既含有二次函数，又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型。

10、例2、方程2xx23的实数解的个数是|lg|x-1|,x1例3、设函数f(x)=0,x1，则关于x的方程f(x)bf(x)c0有7个不同的实数解的充要条件是AbQc0Bb0,c0Cb0,c0Db0,c0例4、关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|k0,给出以下4个命题8.存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根2存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根3存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根4存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根其中真命题是例5、假设方程J2x1xm有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。三、别离参数法例6、关于x的方程k9x-k3x16(k-5)0在0,2内有解，求k的取值范

11、围。变式训练：假设关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解，则实数a的取值范围是A.(,80,)B.(,4)C.8,4)D.(,8A成立，则等价于在区间D± f x maxB成立，则等价于在区间D上的f x min二、关于不等式能成立问题假设在区间D上存在实数x使不等式fx假设在区间D上存在实数x使不等式fx2例7、假设关于x的不等式x ax a3的解集不是空集，则实数 a的取值范围是,2变式训练：不等式kxk20有解，求k的取值范围。例8、对于不等式lx2lx11a,存在实数x,使此不等式成立的实数a的集合是m；对于任意x0，5,使此不等式恒成立的实数a的集合为n,求集合M,N

12、.变式训练：1对一切实数x,不等式卜3lx2a恒成立，求实数a的范围。2假设不等式lx31lx2a有解，求实数a的范围。3假设方程lx3lx2a有解，求实数a的范围。1,4,求实数a的取值范围.例9、设不等式x22axa2w0的解集为M,如果M例10、假设不等式x2+ax-2>0在区间1,5上有解，则a的取值范围为23、2323A.(,)B.,1C.(1,)D.(,)555三、关于函数与方程、不等式有解问题利用函数处理方程解的问题，方法如下：1方程f (x)a在区间I上有解a yy f (x),x I (别离参数法)y“*)与丫a的图象在区间I上有交点(2)方程f (x) a在区间I上有

13、几个解y ”*)与丫 a的图象在区间I上有几个交点例11、已知a是实数，函数f x 2ax22x 3 a,如果函数y f x在区间 1,1上有零点，求实数a的取值范围。例12、已知函数f(x)mx2-2(3m-1)x9m-1(xR)(1)假设函数f(x)在其定义域上有两个不同的零点，求m的取值范围(2)假设函数f(x)在1,2上有且仅有一个零点，求m的取值范围3)在1,3上，函数f(x)是否存在两个不同的零点，假设存在求m的取值范围；假设不存在说明理由。【稳固练习】一.选择题1 .函数fxlnx2x5的零点个数为A.0B.1C.2D.32 .已知函数f(x)3xx9的零点为xo,则xo所在区间

14、为A.31B.11C.-D.且也222222223.已知函数f(x)axxb的零点Xo(k,k1)(kZ)，且常数a,b分别满足2a3,3b2，贝UkA.1B.0C.1D.223xx4.已知f(x)1x一一4101xxg(x)23xx1x4x101x，假设函数f(x)有唯一零点234101'234101Xi,函数g(x)有唯一零点A.Xi(0,1),X2(1,2)X2,则有B.Xi(1,0),X2(1,2)C.Xi(0,1),X2(0,1)D.Xi(1,0),X2(0,1)5.对实数a和b ,定义运算""：a ba, a b b, a b1,1.设函数f(x)2x

15、x ,x R.假设函数A.C.f (x) c的图像与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是1,41,214,B.D.1,41,414,1xf(x)(-)x2值范围是1,假设在区间(2,6内关于x的方程f(x)loga(x2)0恰有三个不同的实数根，贝Ua的取A.(1,2)B.(2,)C.(1,34)D.(34,2)6.设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的xR ,都有 f(x 2)f (x 2),且当 x 2,0时,7.已知函数f(x)满足：定义域为R;对任意x R都有f(x2)2f (x);当 x 1,1时，f (x)|x| 1.8.则方程f(x) log4|x|在区间10,10内的，解

16、个数是A.20B.12C.11D.10假设函数f(x)满足f (x) 11一 一一，当 x 0,1时，f(x) f(x 1)x,假设在区间(1,1上,g(x)f(x)mxm有两个零点，则实数m的取值范围是10,3A.2B.2,)C.10,3)D.1(0,29.方程mx2A. m 1(m 1)x 1 0在区间B. m 3 2 20,1内有两个不同的根，则m的取值范围为C.m322或0m32D.3-22m110.设m,k为整数，方程mx2kx2A.-8B.8C.120在区间0,1内有两个不同的根，则D.13mk的最小值为11、已知函数f(x)1x,xxx33,xf(2x2x)a(a2)的零点个数不可能是A.3B.4C.5D.6二.填空题12.关于x的方