电路chapter3

1、1机械工程学院电路分析基础动态元件和动态电路导论动态元件和动态电路导论 3v 线性动态电路（线性动态电路（ Linear dynamic Linear dynamic circuit)circuit)的时域分析法的时域分析法v 线性动态元件（线性动态元件（ Linear dynamic Linear dynamic elementelement）的基本约束关系）的基本约束关系2机械工程学院电路分析基础线性动态元件线性动态元件 u 线性电容元件（线性电容元件（linear capacitor）u 线性电感元件线性电感元件( linear inductor ) u 线性耦合电感元件线性耦合电感元件

2、( linear copuled inductor )动态元件和动态电路导论动态元件和动态电路导论 33机械工程学院电路分析基础 本章主要内容本章主要内容 动态元件及其基本约束关系、阶跃函数和冲激函数、输动态元件及其基本约束关系、阶跃函数和冲激函数、输入入- -输出方程、初始条件和初始状态、零输入响应、零状态输出方程、初始条件和初始状态、零输入响应、零状态响应和全响应。响应和全响应。 重点：重点： 难点：难点：冲激函数冲激函数 动态元件的动态元件的u-i关系、阶跃函数和冲激函数、输入关系、阶跃函数和冲激函数、输入- -输输出方程、初始条件和初始状态。出方程、初始条件和初始状态。动态元件和动态电

3、路导论动态元件和动态电路导论 34机械工程学院电路分析基础 线性电容元件的线性电容元件的q- u关系关系：)()(tCutq Ctqtu)()( C电容电容(capacitance)单位：单位：F F pFF F pF电容元件电容元件 3-1反映电场储能性质反映电场储能性质5机械工程学院电路分析基础q-u 关系曲线关系曲线)()(tCutq 0 0uq电容元件电容元件 3-16机械工程学院电路分析基础 线性电容元件的线性电容元件的u- i关系关系微分形式微分形式dtduCdtdqti )(电容对直流相当于开路电容对直流相当于开路, ,故电容元件有故电容元件有“隔直隔直”作用。作用。 注意注意:

4、 u、i取一致参考方向取一致参考方向电容元件电容元件 3-17机械工程学院电路分析基础u、i参考方向不一致参考方向不一致 dtduCti )(电容元件电容元件 3-18机械工程学院电路分析基础积分形式积分形式t dtiCtut )(1)( tttt dtiCt dtiC00)(1)(1t dtiCtutt )(1)(00电容元件电容元件 3-19机械工程学院电路分析基础若若t0 = 0，则，则 u(0)电容电压的初始值电容电压的初始值(initial (initial value) value) 电容元件具有记忆电容元件具有记忆(memory)(memory)特性特性 t dtiCutut )

5、(1)0()( 0 电容电流为有限值，电容电压不跳变。电容电流为有限值，电容电压不跳变。 电容元件电容元件 3-110机械工程学院电路分析基础 线性电容元件中的能量线性电容元件中的能量若若u(t0)=0，则，则 )(,)()(000 tututtCudut dtpttW)(21,)(20tCuttWtW )()(21022tutuC 电容元件电容元件 3-111机械工程学院电路分析基础电容元件的串联和并联电容元件的串联和并联 两个初始电压为零的电容元件串联两个初始电压为零的电容元件串联 两个初始电压为零的电容元件并联两个初始电压为零的电容元件并联2121CCCCC 21CCC 电容元件电容元件

6、 3-112机械工程学院电路分析基础 线性电感元件的线性电感元件的-i关系：关系： =Li LiL电感电感(inductance)单位：单位：H、mH、H电感元件电感元件 3-2反映磁场储能性质反映磁场储能性质13机械工程学院电路分析基础线性电感元件的线性电感元件的-i关系曲线关系曲线=Lii0电感元件电感元件 3-214机械工程学院电路分析基础 线性电感元件的线性电感元件的u- i关系关系： 微分形式微分形式电感对直流相当于短路。电感对直流相当于短路。注意：注意：u、 i取一致参考方向取一致参考方向 dtdiLdtdu 电感元件电感元件 3-215机械工程学院电路分析基础u、i参考方向不一致

7、参考方向不一致dtdiLtu )(电感元件电感元件 3-216机械工程学院电路分析基础 积分形式积分形式 t dtuLtit )(1)( tttt dtuLt dtuL00)(1)(1t dtuLtitt )(1)(00电感元件电感元件 3-217机械工程学院电路分析基础若若t0 = 0 t dtuLitit )(1)0()( 0 i(0)电感电流的初始值电感电流的初始值(initial value) 电感元件具有记忆电感元件具有记忆(memory)特性特性 电感电压为有限值，则电感电流不跳变。电感电压为有限值，则电感电流不跳变。 电感元件电感元件 3-218机械工程学院电路分析基础 线性电感

8、元件中的能量线性电感元件中的能量 )()(21)(,022)()(000titiLLidit dtpttWtititt 若若i(t0)=0 )(21,)(20tLittWtW 电感元件电感元件 3-219机械工程学院电路分析基础初始电感电流为零的电感元件的串联和并联初始电感电流为零的电感元件的串联和并联 串联串联 并联并联21LLL 2121LLLLL 电感元件电感元件 3-220机械工程学院电路分析基础对偶关系对偶关系 电电 容容 电电 感感 )()(tCutq dtduCti )(t dtiCtututt )(1)()(00)(21)(2tCutW (t)=Li(t) dtdiLu t d

9、tuLtititt )(1)()(00)(21)(2tLitW 电感元件电感元件 3-221机械工程学院电路分析基础 互感现象和互感互感现象和互感 自感磁通链自感磁通链 22221111)( )(iLtiLt L1、L2 自感自感(self inductance)或自感系数或自感系数 耦合电感元件耦合电感元件 3-322机械工程学院电路分析基础互感磁通链互感磁通链 1212121212)( )(iMtiMt M12 = M21 = M 互感互感(mutual inductance)或互感系数或互感系数 21112111)()()(MiiLttt 12221222)()()(MiiLttt 总磁

10、通链总磁通链单位：单位：H耦合电感元件耦合电感元件 3-323机械工程学院电路分析基础 线性耦合电感元件的线性耦合电感元件的u-i关系关系dtdiMdtdiLdtdtu21111)( dtdiLdtdiMdtdtu22122)( 自感电压自感电压互感电压互感电压dtdiLdtdiL2211 dtdiMdtdiM21 耦合电感元件耦合电感元件 3-324机械工程学院电路分析基础21121112111)()()(MiiLiMiLttt 改变线圈绕向改变线圈绕向改变电流参考方向改变电流参考方向12212221222)()()(MiiLiMiLttt 耦合电感元件耦合电感元件 3-325机械工程学院电

11、路分析基础 同名端及同名端及 M M 的正、负的正、负 M 0M 0注意：注意：u1、i1参考方向一致，参考方向一致，u2、i2参考方向一致。参考方向一致。耦合电感元件耦合电感元件 3-326机械工程学院电路分析基础u1 (t)和和i1(t)，u2(t)和和i2(t)分别取一致的参考方向。耦合电分别取一致的参考方向。耦合电感元件中每一元件的自感恒为正，而互感感元件中每一元件的自感恒为正，而互感M可正可负。可正可负。 判断判断M的正负原则是：当两电感元件电流的参考方向的正负原则是：当两电感元件电流的参考方向都是由同名端进入都是由同名端进入(或离开或离开)元件时，元件时，M为正；否则，为正；否则，

12、M为负。为负。如果电感元件如果电感元件2中没有电流通过，则该元件中将无自感中没有电流通过，则该元件中将无自感电压，电感元件电压，电感元件1中将无互感电压。此时，互感的正负，中将无互感电压。此时，互感的正负，可根据元件可根据元件1中的电流和元件中的电流和元件2的互感电压的互感电压(即元件端电即元件端电压压)的参考方向是否均由同名端进入的参考方向是否均由同名端进入(或离开或离开)元件而定，元件而定，然后按上述原则判定然后按上述原则判定M的正负。的正负。耦合电感元件耦合电感元件 3-327机械工程学院电路分析基础例例电路的参数为电路的参数为L1=8H，L2=6H，L3=10H，H412 MH5M23

13、 H6M13 。、求求电电压压abbcacuuu)2()2(122ttacedtdMedtdLu V20V)2(4)2(6ttteee V2eV20)2(5)2(620)2()2(2313-tttttttacbabceeeeedtdMedtdMuuu V22tbaabeuu 解：解：耦合电感元件耦合电感元件 3-328机械工程学院电路分析基础 单位阶跃函数单位阶跃函数(unit-step function) 0 00 1)(ttt t t = 0= 0，函数值不确定，函数值不确定， 1)0(0)0( tt 定义定义t(t)10单位阶跃函数和单位冲激函数单位阶跃函数和单位冲激函数 3-429机械

14、工程学院电路分析基础 移位的单位阶跃函数移位的单位阶跃函数 0000 00 1ttttttttt即即即即 单位阶跃函数和单位冲激函数单位阶跃函数和单位冲激函数 3-430机械工程学院电路分析基础用单位阶跃函数用单位阶跃函数表示的等效电路模型表示的等效电路模型直流电压源和任意直流电压源和任意网络接通网络接通 0 00 )()(tttfttf 单位阶跃函数和单位冲激函数单位阶跃函数和单位冲激函数 3-431机械工程学院电路分析基础 矩形脉冲矩形脉冲(rectangular pulse)(rectangular pulse)函数函数 000)()(ttItIti单位阶跃函数和单位冲激函数单位阶跃函数

15、和单位冲激函数 3-432机械工程学院电路分析基础 单位冲激函数单位冲激函数(unit-impulse function) 1)()(0 0 dttdtt 定义定义 1)(0 0)( dtttt t(t)0（1）单位阶跃函数和单位冲激函数单位阶跃函数和单位冲激函数 3-433机械工程学院电路分析基础(t-tt-t0 0) )定义为定义为 1)(0 0)(0 000dtttt dttttttt即单位阶跃函数和单位冲激函数单位阶跃函数和单位冲激函数 3-434机械工程学院电路分析基础AdttAdttA)()(0 0 0 0 0 0 )0()()0( )()()()(fdttfdtttfdtttf

16、单位冲激函数的采样性质单位冲激函数的采样性质(sampling property)(sampling property) 单位阶跃函数和单位冲激函数单位阶跃函数和单位冲激函数 3-435机械工程学院电路分析基础 单位冲激函数和单位阶跃函数之间的关系单位冲激函数和单位阶跃函数之间的关系 )()(lim0ttf )()(lim0ttf dttdt)()( t dttt )()( 单位阶跃函数和单位冲激函数单位阶跃函数和单位冲激函数 3-436机械工程学院电路分析基础 动态电路动态电路(dynamic circuit)： 输入输入- -输出方程输出方程(input-output equation):

17、 含有动态元件含有动态元件(即储能元件即储能元件)的电路的电路联系输入变量和输出变量之间关系的单一变联系输入变量和输出变量之间关系的单一变量的微分方程量的微分方程 动态电路的输入动态电路的输入-输出方程输出方程 3-537机械工程学院电路分析基础)()()()(tutudttdiLtRisc dttduCtic)()( 由由KVL和各元件方程和各元件方程得得)(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudsccc 动态电路的输入动态电路的输入-输出方程输出方程 3-538机械工程学院电路分析基础复杂动态电路的输入复杂动态电路的输入- -输出方程可用回路分析法或节点输出方程可用回

18、路分析法或节点分析法建立分析法建立 tstudttitiCdttdiLtiR)( )()(1)()(211111 tdttitiCdttdiLtiR0 )()(1)()(122222动态电路的输入动态电路的输入-输出方程输出方程 3-539机械工程学院电路分析基础如以如以i1(t)为输出变量，消去变量为输出变量，消去变量i i2 2( (t t) )得得 )()()()(121211212121212212112313tiCLLRRdttdiCLLLLCRRdttidLLLRLRdttid CLLtudttduLLRdttudLsss21212221)()()(1 如如以以i2(t)为输出变量

19、，消去变量为输出变量，消去变量i1(t)得得 )()()()(221212212121222211221323tiCLLRRdttdiCLLLLCRRdttidLLLRLRdttid )(121tuCLLs 动态电路的输入动态电路的输入-输出方程输出方程 3-540机械工程学院电路分析基础输入输入- -输出方程的一般形式输出方程的一般形式 )()()()(01111tradttdradttrdadttrdnnnnn )()()()(01111tfbdttdfbdttfdbdttfdbmmmmmm 动态电路的输入动态电路的输入-输出方程输出方程 3-541机械工程学院电路分析基础微分方程的初始条

20、件（微分方程的初始条件（initial condition）：）： 输出变量输出变量的初始值及其的初始值及其1阶至阶至n 1阶导数的初始值阶导数的初始值 换路换路(switching): 电路与电源的接通、切断电路与电源的接通、切断 电路参数的突然改变电路参数的突然改变 电路联接方式的突然改变电路联接方式的突然改变 激励源激励源的突然改变的突然改变 暂态过程（暂态过程（transient process) ：初始状态和初始条件初始状态和初始条件 3-642机械工程学院电路分析基础通常通常认为换路是即刻完成的认为换路是即刻完成的 ，以以t = 0作为换路时作为换路时刻刻以以t = t = 0 0

21、- -表示换路表示换路前前的一个瞬时时刻的一个瞬时时刻以以t t = 0 = 0+ +表示换路表示换路后后的初瞬的初瞬时刻时刻当电容电流当电容电流为有限值时为有限值时 00)0(1)0()0(CCCCudtiCuu)0()0( qq初始状态和初始条件初始状态和初始条件 3-643机械工程学院电路分析基础当电感电压当电感电压为有限值为有限值时时 00)0(1)0()0(LLLLidtuLii)0()0( 初始状态和初始条件初始状态和初始条件 3-644机械工程学院电路分析基础电路的初始状态电路的初始状态(initial state) ：各各独立独立电容电压电容电压(或电荷量或电荷量)和各和各独立

22、独立电感电流电感电流(或磁通或磁通链链)在在t t = 0 = 0+ +时的数值的集合时的数值的集合电路的原始状态电路的原始状态(original state) ：各各独立独立电容电压电容电压(或电荷量或电荷量)和各和各独立独立电感电流电感电流(或磁通或磁通链链)在在t t = 0= 0- -时的数值的集合时的数值的集合 零状态零状态(zero state)是零是零原原始状态始状态(zero original state)的的简称简称 注意注意:初始状态和初始条件初始状态和初始条件 3-645机械工程学院电路分析基础在电容电压与电感电流不跳变的情况下，在电容电压与电感电流不跳变的情况下，电路的

23、初始状态可根据电路的电路的初始状态可根据电路的原始状态求得，电路中其它电压、电流的初始值可根据换路后的电路和原始状态求得，电路中其它电压、电流的初始值可根据换路后的电路和电容电压、电感电流的初始值，以及独立源在电容电压、电感电流的初始值，以及独立源在t = 0+时的激励值，应用电时的激励值，应用电路的基尔霍夫定律和元件的电压电流关系求出。路的基尔霍夫定律和元件的电压电流关系求出。 例例1求开关闭合后电容电压的初始值求开关闭合后电容电压的初始值uc (0+)及各支路及各支路电流的初始值电流的初始值i1 (0+)、i2 (0+)、ic (0+)。 初始状态和初始条件初始状态和初始条件 3-646机

24、械工程学院电路分析基础t t = 0= 0- - 时的电路时的电路 V 12)0()0( ccuu初始状态和初始条件初始状态和初始条件 3-647机械工程学院电路分析基础t = 0+时的电路时的电路 A0)0()0(11 RuUicsmA 6)0()0(22 RuicmA 6)0()0()0(21iiic初始状态和初始条件初始状态和初始条件 3-648机械工程学院电路分析基础例2求开关闭合后电感电流的初求开关闭合后电感电流的初始值始值iL(0+)、电感电压的初始、电感电压的初始值值uL(0+)以及其它两个支路以及其它两个支路电流的初始值电流的初始值i(0+)和和is(0+)。 t t = 0

25、= 0- - 时的电路时的电路 A1 A4610)0(21 RRUiSL解：解：初始状态和初始条件初始状态和初始条件 3-649机械工程学院电路分析基础t = 0+时的电路时的电路 A1)0()0( LLiiV 4)0()0(2 LLiRu A67. 1 A610)0(1 RUis A67. 0)0(0)0( Lsiii初始状态和初始条件初始状态和初始条件 3-650机械工程学院电路分析基础 5RF 61 ,H 1 CL电压源的电压电压源的电压us(t)=e t V；开关；开关S在在t = 0时闭合。已知时闭合。已知i(0 )=0, uc(0 )=6 V，求以，求以i(t)为输出变量的输入为输

26、出变量的输入 输输出方程及其初始条件。出方程及其初始条件。 例例3在图示电路中，已知在图示电路中，已知解：解：对开关闭合后的电路根据对开关闭合后的电路根据KVL和元件的电压电流关系和元件的电压电流关系 列方程列方程ttcet dtiutidttdi )(6)0()(5)( 0 tetidttdidttid )(6)(5)(22两端对时间求导得两端对时间求导得初始状态和初始条件初始状态和初始条件 3-651机械工程学院电路分析基础在式在式ttcet dtiutidttdi )(6)0()(5)( 0 LuiL)0()0( V 5 )61( )0(1)0( CLuu中令中令t=0+得得1)0()0

27、(5)0( cuii A/s5 A/s)61()0()0(51)0( Cuiii(0+)也可从也可从t =0+的电路中计算的电路中计算 A/s5)0( i初始状态和初始条件初始状态和初始条件 3-652机械工程学院电路分析基础零输入响应零输入响应(zero-input response) :电路在无输入激励情况下，仅由原始状态产生的响应。电路在无输入激励情况下，仅由原始状态产生的响应。 零输入响应零输入响应3-753机械工程学院电路分析基础一般动态电路的零输入响应一般动态电路的零输入响应r(t)应是下列齐次微分方程的解应是下列齐次微分方程的解 0)()()()(01111 tradttdrad

28、ttrdadttrdnnnnn以二阶齐次微分方程为例以二阶齐次微分方程为例 )()()()(01111tradttdradttrdadttrdnnnnn )()()()(01111tfbdttdfbdttfdbdttfdbmmmmmm 零输入响应零输入响应3-754机械工程学院电路分析基础通解的函数形式通解的函数形式 tsAetr )( 0 0 1 2 tststsAeasAeaAes特征方程（特征方程（characteristic equation） 0012 asas0)()()(0122 tradttdradttrd零输入响应零输入响应3-755机械工程学院电路分析基础特征根特征根(ch

29、aracteristic root) 2402111aaas 2402112aaas 零输入响应零输入响应3-756机械工程学院电路分析基础若若s1和和s2不相等，则不相等，则通解通解 为为tstseAeAtr 2 121)( )0()0(221121rAsAsrAA根据初始条件确定积分常数根据初始条件确定积分常数零输入响应零输入响应3-757机械工程学院电路分析基础一般齐次微分方程的特征方程为一般齐次微分方程的特征方程为 00111 asasasnnn若特征根全为单根，则若特征根全为单根，则通解为通解为 tsntstsneAeAeAtr 2 121)( nitsiieA1 零输入响应零输入响

30、应3-758机械工程学院电路分析基础积分常数积分常数A1、A2、An由齐次微分方程的由齐次微分方程的n个初个初始条件始条件r(0+)、r(1)(0+)、r(2)(0+)、r(n 1)(0+)决定。决定。 由于特征根由于特征根s1、s2、sn决定了动态电路零输入决定了动态电路零输入响应的性质响应的性质 ，因此，特征根又被称为因此，特征根又被称为电路零输入电路零输入响应的固有频率或自然频率响应的固有频率或自然频率(natural frequency)。例例求图示电路中的求图示电路中的零输入响应零输入响应i(t)，已知已知uc(0-)=6V ，,5 R。F 61 ,H 1 CL零输入响应零输入响应3

31、-759机械工程学院电路分析基础 tct dtiutidttdi 0 0)(6)0()(5)(解：解： 电路的微分方程为电路的微分方程为0)(6)(5)(22 tidttdidttid对上式两端求导得对上式两端求导得初始条件为初始条件为 s/A6)0()0()0(0)0()0(ccuuiii零输入响应零输入响应3-760机械工程学院电路分析基础特征方程为特征方程为 0652 ss特征根为特征根为3 , 221 ss因而该微分方程的通解为因而该微分方程的通解为tteAeAti 32 21)( 代入初始条件，可得代入初始条件，可得 632)0(0)0(2121 AAiAAi零输入响应零输入响应3-

32、761机械工程学院电路分析基础由此解出由此解出6 , 621 AA故电路的零输入响应为故电路的零输入响应为 0 A66)( 3 2teetitt零输入响应零输入响应3-762机械工程学院电路分析基础零状态响应零状态响应(zero-state response)： 电路在零原始状态下，仅由输入激励产生的响应电路在零原始状态下，仅由输入激励产生的响应)()()()(01111tradttdradttrdadttrdnnnnn )()()()(01111tfbdttdfbdttfdbdttfdbmmmmmm 零状态响应零状态响应3-863机械工程学院电路分析基础)()()(trtrtrft rt (

33、t) 称为补充函数解称为补充函数解(complementary-function solution)，它是齐次微分方程，它是齐次微分方程0)()()()(01111 tradttdradttrdadttrdnnnnnrf(t)为非齐次微分方程的任一特解为非齐次微分方程的任一特解(particular solution) 的通解的通解零状态响应零状态响应3-864机械工程学院电路分析基础当特征方程无重根时当特征方程无重根时 nitsitieBtr1 )(特解特解rf (t)的函数形式与输入函数的函数形式与输入函数f(t)的形式有关的形式有关 非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 )()(

34、1treBtrfnitsii 式中的积分常数应由非齐次微分方程的初始条件式中的积分常数应由非齐次微分方程的初始条件r(0+)、r(1) (0+)、r(n 1) (0+)来确定来确定 零状态响应零状态响应3-865机械工程学院电路分析基础求微分方程求微分方程)(2)()(6)(5)(22tfdttdftrdttdrdttrd 当当tdttdfttf2)(,)(2 时的特解。时的特解。 将将f(t)和和 dttdf)(代入得代入得 tttrdttdrdttrd22)(6)(5)(222 例例1零状态响应零状态响应3-866机械工程学院电路分析基础设设3221)(CtCtCtrf C1、C2、C3为

35、待定系数为待定系数 代入上式可得代入上式可得 3212121 6 5 2 6 10 6CCCtCCtC tt222 零状态响应零状态响应3-867机械工程学院电路分析基础比较等式两端对应项的系数比较等式两端对应项的系数，得，得 0 6 5 22 6 102 6321211CCCCCC联解可得联解可得272 92 31321 CCC零状态响应零状态响应3-8故特解为故特解为 2729231)(2 tttrf)()(1treBtrfnitsii 68机械工程学院电路分析基础代入方程可得代入方程可得tttteKeKeKe 655 . 0 Ktfetr 5 . 0)(通解为通解为tttfteeBeBt

36、rtrtr 5 . 0)()()(3221积分常数积分常数B1、B2由给定的初始条件确定。由给定的初始条件确定。零状态响应零状态响应3-8，若若tetf )(则方程为则方程为ttteeetrdttdrdttrd 2)(6)(5)(22设特解为设特解为tfKetr )(69机械工程学院电路分析基础例例2求图示电路的零状求图示电路的零状态响应电流态响应电流i(t)。已。已知知R=2 ，L=1 H，C=1 F。 电路的微分方程为电路的微分方程为 0 5)(1)()(tedttiCdttdiLtRitt解：解：两端对时间求导得两端对时间求导得零状态响应零状态响应3-870机械工程学院电路分析基础tCetidttdiRCdttidLC 5)()()(22代入参数值后变为代入参数值后变为 tetidttdidttid 5)()(2)(22特征方程为特征方程为 0122 ss零状态响应零状态