第五章机械振动

1、机械振动机械振动与机械波与机械波广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。5.1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征最简单最基本的线性振动。最简单最基本的线性振动。简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移平衡位置的位移x（或角位移或角位移 ）随时间）随时间t按余弦按余弦（或正弦）规律变化的振动。（或正弦）规律变化的振动。)tcos(Ax0 )cos(00

2、t运动方程运动方程一、弹簧振子模型（简谐振动）一、弹簧振子模型（简谐振动）弹簧振子弹簧振子：弹簧、物体组成的系统：弹簧、物体组成的系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻轻弹簧弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体可看作质点可看作质点 kxOmkxF 22dtxdmkx mk 2 简谐振动简谐振动微分方程微分方程0222 xdtxd 此微分方程的解为：此微分方程的解为：)tcos(Ax0 maF 简谐振动的三种定义简谐振动的三种定义:(1)受力受力 (2)运动微分方程运动微分方程(3)运动方程运动方程kxF 0222

3、xdtxd )tcos(Ax0 一、一、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量)tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。（由初始条件决定）角位移）的绝对值。（由初始条件决定）)tsin(Av0 000vv ,xx,t 初始条件初始条件2020)v(xA 初始条件代入以上两式可得：初始条件代入以上两式可得：5.2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学频率频率 ：单位时间内做完全振动的次数。单位时间内做完全振动的次数。2、周期周期 、频率、圆频率（角频率）频率、圆频率（角频率）对弹簧振子对弹簧振子 21

4、T角频率角频率 22 TkmT 2 mk 21 mk 固有周期、固有频率、固有圆（角）频率固有周期、固有频率、固有圆（角）频率周期周期T ：物体完成一次完全振动所需时间。物体完成一次完全振动所需时间。 00 )Tt(cosA)tcos(A 2 T)tsin(Av0 0 是是t =0时刻的相位时刻的相位初相位初相位000 cosAxt 时时00 sinAv 000 xvtan 3、相位和初相相位和初相位（位相）位（位相）)tcos(Ax0 t时刻的相时刻的相位位，决定谐振动物体的运动状态，决定谐振动物体的运动状态0 tvx,由初始条件决定，可由解析法求初相位：由初始条件决定，可由解析法求初相位：

5、质点振动一个周期，相位增加质点振动一个周期，相位增加 ；振动半个周期，相位增加；振动半个周期，相位增加 ，振动四分之一周期，相位增加振动四分之一周期，相位增加 。22位相差位相差 两振动位相之差。（振动步调）（课本第两振动位相之差。（振动步调）（课本第136136页）页）12 当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相当当 = (2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相0 2 超前于超前于 1 或或 1滞后于滞后于 2 振动曲线表示简谐振动给出一个振动曲线应该从振动曲线中获知以下内容：给出一个振动曲线应该从振动曲线中获知以

6、下内容：1、振幅、振幅 2、周期、周期3、质点在任一时刻的状态，即位置和速度及相位。、质点在任一时刻的状态，即位置和速度及相位。（判断某一点速度方向时，要先判断下一时刻的位置，（判断某一点速度方向时，要先判断下一时刻的位置， 再确定运动方向）再确定运动方向）toTxxT/4T/4记笔记记笔记注意注意: 由运动方程判断初相位时运动方程必须由运动方程判断初相位时运动方程必须是标准形式是标准形式)cos(0tAx即即 ： (1)函数必须是余弦函数函数必须是余弦函数. (2)函数前必须是正号函数前必须是正号. (3)余弦函数里的时间前必须是正号余弦函数里的时间前必须是正号.)sin(0tAx如如:的初

7、相位就不是的初相位就不是0)2cos()2cos(00tAtAx而必须把它化为如下形式而必须把它化为如下形式可看出其初相位为可看出其初相位为20记笔记记笔记)cos(02tAa)tcos(Ax0 )sin(0tAv简谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系简谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa vx.avxT/4T/4)2cos(0tvm)cos(0tam记笔记记笔记)tcos(Ax0 )sin(0tAv)2cos(0tvm)tcos(Ax0 二、二、 简谐振动的简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA)tcos(Ax0 oX用旋转矢量的用旋转

8、矢量的矢端在坐标轴矢端在坐标轴上的投影表示上的投影表示简谐振动，即简谐振动，即用投影来表示用投影来表示一个物体的运一个物体的运动动旋转矢量法的应用旋转矢量法的应用:（1）判断两个振动的相位关系）判断两个振动的相位关系(即超前或落后问题即超前或落后问题).（2）计算时间差）计算时间差. 如如: 一个做简谐振动的物体，周期为一个做简谐振动的物体，周期为T，求它从最大，求它从最大位移到最大位移一半处所需时间位移到最大位移一半处所需时间.（3）由初始条件求振动方程时）由初始条件求振动方程时,求初相求初相.如如: 时时,物体位置是物体位置是 朝朝x负方向运动负方向运动,求求0t20Ax 0（4）求角频率

9、）求角频率例例 : 质点做简谐振动，当它从负最大位移一半处向质点做简谐振动，当它从负最大位移一半处向X正向正向运动，到达正最大位移一半处，需要运动，到达正最大位移一半处，需要2秒，求角频率。秒，求角频率。题型：题型：1、已知初始条件，求运动方程（振动方程）、已知初始条件，求运动方程（振动方程）即求振幅，周期，初相。其中求初相是关键，方法有解析即求振幅，周期，初相。其中求初相是关键，方法有解析法和旋转矢量法两种。法和旋转矢量法两种。2、已知一个振动系统，证明其振动是简谐振动，并求其、已知一个振动系统，证明其振动是简谐振动，并求其周期和频率。周期和频率。步骤步骤（1）建立坐标系，即把系统运动的正方

10、向设出来。）建立坐标系，即把系统运动的正方向设出来。 （2）让物体在正方向上有一位移，对每一有质量的）让物体在正方向上有一位移，对每一有质量的物体做受力分析，对平动的物体用牛顿定律，转动的物体物体做受力分析，对平动的物体用牛顿定律，转动的物体用转动定律列方程。用转动定律列方程。 （3）所有方程联立化简为简谐振动运动微分方程形）所有方程联立化简为简谐振动运动微分方程形式。即：式。即： 其中其中 即为简谐振动的即为简谐振动的圆频率。圆频率。0222 xdtxd XOmx2k1k例：证明如图所示系统做的振动例：证明如图所示系统做的振动为简谐振动，并求其振动频率。为简谐振动，并求其振动频率。关于弹簧的

11、问题 弹簧的串并联 弹簧被截为n等份21kkk两个任意的弹簧串联：21111kkk两个原长相同的的弹簧并联：一个劲度系数为k的弹簧分成n等份，其中一份的弹性系数是：nkk 单摆单摆sinmglM5.1.2 单摆和复摆单摆和复摆gmfTCO摆球对摆球对C点的力矩点的力矩物体绕物体绕c点做圆弧运动点做圆弧运动,用转动定律用转动定律JM 其中其中:22mlrmJii222sindtdmlmglM化简后化简后:0sin22lgdtd该振动不是简谐振动该振动不是简谐振动注：绳子质量不计，小球可以看成质点。注：绳子质量不计，小球可以看成质点。结论结论：单摆的小角度振动是简谐振动。单摆的小角度振动是简谐振动

12、。角频率角频率, ,振动的周期分别为：振动的周期分别为：glTlg 2200 l/g 2 0222 dtd sin只有在只有在05时时022lgdtd微分方程化为微分方程化为lg 21 复摆复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体0222 dtd结论结论：复摆的小角度振动是简谐振动。复摆的小角度振动是简谐振动。 sin当当 时时gmhCO22dtdJmghJmgh2JM 22sindtdJmghmghJT2Jmgh21Jmgh求振动方程的问题1、已知初始条件求振动方程 例：课后156页习题5.8 其它书150页4.52、已知振动曲线求振动方程 例：课后157页习

13、题5.11 其它书150页4.83、已知速度曲线求振动方程 例题见下页0000sincosAvAx)tcos(Ax0 )sin(0tAv课后157页习题5.11 其它书150页4.8例：例： 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。图所示，试求其振动方程。431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv解：方法解：方法1100715cms.sinAv )tcos(Ax0 设振动方程为设振动方程为020cosAa1431 cmsvAm. 2143171500.Avsin 6560或或0000 cos,a则则60 )si

14、n(0tAv)cos(02tAa17151 cmsvt.2161 mvvAv )sin( 6116761或 01001)cos(,a 则则 6761 1143 s. cmvAm10143431 . 故振动方程为故振动方程为cmtx)cos(610 方法方法2： 用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。)cos(0tAx)2cos()sin(00tvtAvm1431 cmsAvm. 0 tst1 20vov的旋转矢量与的旋转矢量与v轴正方向轴正方向夹角表示夹角表示t 时刻相位时刻相位20t由图知由图知322060 11 s cmvAm10143431 . cmtx)cos(610 431.4

15、31. 715.715. 01)(st)(1 cmsv以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x)tsin(Av0 )tcos(Ax0 )(sin21 2102222tAmmvEk)t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数5.3 简谐振动的能量简谐振动的能量mk 动动能能221mvEk )t(sinkA02221 势势能能221kxEp )t(coskA02221

16、 情况同动能。情况同动能。pppEEE,minmax0min kE2411kAdtETETttkk 2max21kAEk 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒在一个周期内对时间在一个周期内对时间求平均值求平均值xtTEEpokpEE EtEk(1/4)kA2由总能量求振幅由总能量求振幅kEkEA022 221kAE 2)2(1/kA一、两个同方向、同频率简谐振动的合成一、两个同方向、同频率简谐振动的合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 )cos(AAAAA10202122212 0220112020110coscossins

17、intgAAAA)tcos(A)t(x1011 )tcos(A)t(x2022 )tcos(Axxxx021 质点同时参与同方向同频率的质点同时参与同方向同频率的两个简谐振动两个简谐振动 : :合振动合振动 : :5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 2A1A10 20 1x2x1M2M0 xA M2x如如 A1=A2 , , 则则 A=0,kk21021020 两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA ,k)k(210121020 两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA 分析分析若两个分振动同相：若两个分振动同相：若两个分振动反相若两个分振动反相: :)cos(AAAAA1020212

18、2212 例题：旋转矢量法单元自测25页填空题9作业：作业：课本课本156-157页页 习题：习题：5.9、5.10、5.13、5.14、5.15其它书：其它书：150页页 4.6、4.7、4.10、4.11、4.12二、二、 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成分振动分振动)cos(0111tAx)cos(0222tAx合振动合振动21xxx 拍拍 合振动忽强忽弱的现象（即振幅合振动忽强忽弱的现象（即振幅周期性的周期性的变化）变化）拍频拍频 : : 单位时间内振幅强弱变化的次数单位时间内振幅强弱变化的次数 =| 2- 1| xt tx2t tx1t t12 拍拍122 T或或：三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动合振动)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 分振动分振动)tcos(Ax101 )tcos(Ay202 0(1)1020 0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线12AA斜斜率率讨论讨论)(sin)cos