因式分解(超全方法)

1、因式分解的常用法第一部分：法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之 中，是我们解决多数学问题的有力工具.因式分解法灵活，技巧性强，学习这些法与技巧， 不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力， 都有着十分独特的作用. 初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的法、 技巧和应用作进一步的介绍.、提公因式法.:ma+mb+mc=m（a+b+c）、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公页脚式，例

2、如：11) (a+b)(a-b) = a -b a(2) (ab)2 = a 22ab+b 2(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3(4) (a-b)(a +ab+b ) = a -b 下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b 2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)(6)a 3+b 3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2-b 2=(a+b)(a-b);a2 2ab+b 2=(a b)2;a3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b a -b =(a-b)(a +ab+b22+c 2-ab-bc-ca););2)例.已知a, b, c是 ABC的三边，且a2

3、 b2 c2 ab bc ca ,则ABC的形状是（）D等腰直角三角形A.直角三角形B等腰三角形 C等边三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am an bm bn例2、分解因式:2ax 10ay 5by bx2练习：分解因式 1、a ab ac bc2、xy x y 1（二）分组后能直接运用公式22例3、分解因式：x y ax ay例4、分解因式：a2 2ab b2 c2练习：分解因式 3、x2 x 9y2 3y,2224、x y z 2yz综合练习：（1） x3 x2y xy2 y32,2(2) ax bx bx ax a b2_2_ 2_.(3) x6xy9y1

4、6a8a122(4) a 6ab 12b 9b 4a432(5) a 2a a 9.2.2. 2. 2(6) 4a x 4a y b x b y/ 一、 22(7) x 2xy xz yz y(8) a2 2a b2 2b 2ab 1(9) y(y2) (m 1)(m 1)(10) (a c)(a c) b(b 2a)33b c 3abc2223(11) a (b c) b (a c) c (a b) 2abc (12) a四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式x2 (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积

5、；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律?2a能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.例.已知0V a W5,且a为整数，若2x 3x，,一一2_ 一例5、分解因式：x 5x 62例6、分解因式：x 7x 62练习5、分解因式(1) x22_ _14x 24 (2) a 15a 362,_ x 4x 52_练习6、分解因式x2 x 222(2) y 2y 15 x 10x 24a2g1的二次三项式(二)二次项系数不为 条件：(1) a a1a2(2) C C1C2(3) b a1C2 2.分解结果：ax bxc= (a1x c1)(a2x c2)例7、分解因式:分

6、析：, 一 2解：3x2 3x 7x 2-23x 11x 103 x-5(-6) + (-5 ) = -11 11x 10= (x 2)(3x 5)2_练习7、分解因式：(1) 5x 7x 62(3) 10x17x 3_2(4) 6y 11y 10(三)二次项系数为 1的齐次多项式22例8、分解因式：a 8ab 128b分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1 ，16b8b+(-16b尸-8b解：a2 8ab 128b2= a2 8b ( 16b)a 8b ( 16b)=(a 8b)(a 16b)222练习8、分解因式(1) x 3xy 2y (

7、2) m2226mn 8n (3) a ab 6b(四)二次项系数不为 1的齐次多项式22例 9、2x 7xy 6y1 .-2y2 -3y(-3y)+(-4y尸-7y解：原式=(x 2y)(2x 3y) 练习9、分解因式：(1) 15x222 八八例 10、 x y 3xy 2把xy看作一个整体1、/ -1 -2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)(xy 2)22 27xy 4y(2) a x 6ax 8综合练习 10、(1) 8x6 7x3 12(3) (x y)2 3(x y) 10/ L、 222c 2(5) x y 5x y 6x2.2 x 4xy 4y 2x 4y，一、.

8、22(9) 4x 4xy 6x 3y y22(2) 12x 11xy 15y2(4) (a b) 4a 4b 32.2(6) m 4mn 4n 3m 6n 2-2 2223 (8)5(ab) 23(ab) 10(ab)_222_210 (10) 12(x y) 11(x y ) 2(x y)一. .一,.2, 2, 22、,思考：分解因式： abcx (a b c )x abc五、换元法。22例 13、分解因式(1) 2005x(20051)x 2005(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x22, 2解：(1)设 2005= a ,则原式=ax (a 1)x a=(ax 1)(x

9、 a)=(2005x 1)(x 2005)(2)型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。一222原式=(x7x 6)( x 5x 6) x设 x2 5x 6 A,则 x2 7x 6 A 2x .原式=(A 2x)A x2= A2 2Ax x222_ 2=(A x) = (x 6x 6)2练习13、分解因式(1) (x,2 (x2 (a2、2,22、xy y ) 4xy(x y )一 -2 一 一 一3x 2)(4x 8x 3) 902222_21) (a 5)4(a3)_2_2 x2 2x 14x11x3x 1-. 32.例15、分解因式(1) x 3x 4解法1一一拆

10、项。原式二x3 1 3x2 3=(x 1)(x2 x 1) 3( x 1)(x2=(x 1)( x2 x 1 3x 3)，八，2、=(x 1)( x 4x 4)解法2一一添项。原式=x3 3x2 4x1)=4x 4, 2x(x 3x 4) (4x 4)=x(x 1)(x 4) 4(x 1)，2、=(x 1)( x 4x 4)432例14、分解因式(1) 2x x 6x x 2观察：此多项式的特点一一是关于x的降哥排列，每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。2 _ 2_112 _211.解：原式=x (

11、2x x 62)= x 2(x2) (x ) 6x xxx1 r 212设 x t,则 x2 t2 2 xx.原式二x2 2(t2 2) t 6 = x2 2t2 t 10=x2 2t 5 t 2 = x2 2x 2 5 x 1 2xx_2 _12 _= x 2x 5 x , x 2 = 2x 5x xx2 _=(x 1) (2x 1)(x 2)432(2) x 4x x 4x 1八一， 2241221解：原式=x (x 4x 12)= x x2x xx设 x 1 y,贝U x2 -12 y2 2 xx一，22_2_.原式二x (y 4y 3)= x (y 1)(y 3)2 .112=x (x

12、1)(x-3)=xxx432练习 14、(1) 6x 7x 36x 7x 64322、 x 2x x 1 2(x x )六、添项、拆项、配法。_ 2二(x 1)( x 2)_ 2=(x 1)(x 2)963(2) x x x 3解：原式=(x9 1) (x6 1) (x3 1)二 (x31)(x6x31) (x3 1)(x31)二 (x31)( x6x31 x31 1)=(x 1)(x2x 1)(x6 2x3 3)(x3 1)练习15、分解因式(1) x3 9x 842(3) x7x1/、44/、4(5) xy(x y)4(2) (x 1)(4) x4x2(6) 2a2b2224(x 1) (

13、x 1)22ax 1 a2 22 24,442a c 2b c a b c七、待定系数法。2一 2例16、分解因式x xy 6y分析：原式的前3项x2 xyx 13y 66y2可以分为(x 3y)(x2y),则原多项式必定可分为(x 3y m)(x 2y n), 、一 2解：设x- (x 3y2，x xy-2xy 6y x 13y 6= (x 3y m)(x 2y n)2八 2m)(x 2y n)= x xy 6y (m n)x (3n 2m) y mn-2/cc2-2,、/cc、6y x 13y 6 = x xy 6y (m n)x (3n 2m)y mn对比左右两边相同项的系数可得m n

14、13n 2m 13,解得mn 6例17、(1)当m为值时，多项式x2y2 mx 5y 6能分解因式，并分解此多项式。(2)如果 x3 ax2bx 8有两个因式为x 1和x 2,求a b的值。(1)分析：前两项可以分解为(xy)(x y),故此多项式分解的形式必为原式=(x 3y 2)(x 2y 3)页脚(x, 一 22解：设x yi r 22则x yy a)(x y b)mx5y6= (xya)(x y b)22mx5y6 = xy (a b)x (ba)y ab比较对应的系数可得:b a 5 ,解得:ab 6当m 1时，原多项式可以分解；当 m 1 时，原式=(x y 2)(x y 3)；当

15、 m 1 时，原式=(x y 2)(x y 3)(2)分析：x3 ax2 bx 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如x c的一次二项式。解：设 x3 ax2 bx 8= (x 1)(x 2)(x c)则 x3 ax2 bx 8= x3 (3 c)x2 (2 3c)x 2ca 3ca7b 23c解得b14,2c 8c41- a b = 2i22练习17、(1)分解因式x3xy10yx9y222_(2)分解因式 x3xy2y5x7y6(3)已知：x2 2xy 3y2 6x 14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。 22(4) k为值时，x2 2xy

16、 ky2 3x 5y 2能分解成两个一次因式的乘积，并分 解此多项式。经曲一 .因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用， 在其它学科中也有广泛应用， 学习本章知识时，应注意以 下几点。1 .因式分解的对象是多项式；2 .因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3 .分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4 .公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5 .结果如有相同因式，应写成哥的形式；6 .题目中没有指定数的围，一般指在有理数围分解；7 .因式分解的一般步骤是：(1)通常采用一 “提”、二“

17、公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其 次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使 得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2)若上述法都行不通，可以尝试用配法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等法；下面我们一起来回顾本章所学的容。1 .通过基本思路达到分解多项式的目的例1.分解因式x5 x4 x3 x2 x 1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 x5 x4 x3和 x2 x 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5 x4 , x3 x2, x 1分别看成一组，此时的六项

18、式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式(x5 x4 x3)(x2 x 1)x3(x2x 1) (x2 x 1)(x3 1)(x2 x 1) 22(x1)(xx1)(xx1)解二：原式=(x5x4)(x3x2)(x1)x4 (x 1)x2(x 1)(x1)(x1)(x4x1)4-22(x 1)(x4 2x21) x222(x 1)(x x 1)(x x 1)2 .通过变形达到分解的目的例1.分解因式x3 3x2 4解一：将3x2拆成2x2 x2 ,则有原式 x3 2x2 (x2 4)x2(x 2) (x 2)(x 2)(x 2)(x2 x 2)2(x 1)(x 2)2解二：将常数4拆成1 3,则有原式 x3 1 (3x23)(x 1)(x2 x 1) (x 1)(3x 3) (x 1)(x2 4x 4) (x 1)(x 2)23 .在证明题中的应用例：求证：多项式(x2 4)(x2 10x 21) 100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平数、绝对值。本题要证明这个多项 式是非负数，需要变形成完全平数。证明：(x2 4)(x210x 21) 100(x2)(x2)(x3)(x7)100(x2)(x7)(x2)(x3)10022(x5x14)(x5x6)100设y x2 5x ,则原式(y 14)(y 6) 10