函数单调性和奇偶性练习题

1、函数单调性和奇偶性一、选择题(每小题5分，一共12道小题，总分60分)1.命题“若x, y都是偶数，则x + y也是偶数”的逆否命题是()A.若x + y不是偶数，则x与y都不是偶数B.若x + y是偶数，则x与y不都是偶数C.若x + y是偶数，则x与y都不是偶数 D.若x + y不是偶数，则x与y不都是偶数 2.下列函数是偶函数的是()i x 1A. y=sinxB . y=xsinxC . y=x2D , y = 2 一2 x3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是()A. y=2xb , y="xC. y=2x_2， D , y=2x+2，4.下列函数中，不是偶

2、函数的是()A. y =x2 +4B. y = tanxC. y=cos2xD. y=3x35. (2015秋?石嘴山校级月考)下列函数中，既是奇函数又在(-8+8)上单调递增的是()A. y= - -B. y=sinxx 2C. y=x 三D. y=ln|x|6.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，那么f (1)与f (3 )的大小关系正确的是()A. f 1 - f 3 B. f 1 < f 3 C. f 1 f 3 D. f 1 ： f 37.设函数f (x), g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论 中正确的是()A. f(x)g(x)

3、是偶函数B . |f(x)|g(x)是奇函数C. | f (x)g(x) |是奇函数D . f(|x|)是偶函数8 .定义在 R上的函数y = f(x)具有下列性质：f (x) f (x) =0 ，f(x+1) f(x) =1；y = f(x)在0,1上为增函数，则对于下述命题：y = f (x)为周期函数且最小正周期为4;y = f (x)的图像关于y轴对称且对称轴只有 1条；y = f (x)在3,4上为减函数.正确命题的个数为()A. 0个 B . 1个 C .2个 D .3个9 .设f(x)是奇函数，且在(QG内是增函数，又f(-3) =0,则x叶(x)<o的解集 是A 9 |-

4、3 < x <0或x A 3)B 9 |x <-3或0 < x < 3C x | -3 < x < 0 或 0<x<3>d &|x< -3 或 x > 310 .函数f(x)的定义域为R,若函数f(x)的周期6.当3Ex<12时，f x - - x 2，当1 Ex <3时，f (x )=x .则 f (1 )+ f (2 广 + f (2013) +f (2014)=()A. 337 B . 338 C . 1678 D . 2012二、填空题(每小题5分，一共6道小题，总分30分)11 .若函数f(x

5、)=x+(2a2一1+1为奇函数，则a=. x12 .已知奇函数f (x)当x>0时的解析式为f (x) - J ,则f ( 1) =.J+113 .已知f(x)= ax+ bx-4其中a,b为常数，若f(2)=2 ,则f(2)的值等 于.214 .若函数f(x)=kx(k-1)x 2是偶函数，则f(x)的递减区间是 .15 .设定义在R上的函数f(x)满足f (x + 2)叶(x) =7,若f(1)=2,则f(107)=.16 .设函数f(x)是奇函数且周期为 3,若f(1) =1,则f(2015) =.三、解答题(每小题5分，一共4道小题，总分20分)17 .已知函数f(x)=a+b

6、x (其中a, b为常数)的图象经过(1,3)、(2,3)两点.(1)求a, b的值，判断并证明函数 f(x)的奇偶性;(2)证明：函数f(x)在区间J2，上单调递增.18 .设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f(x +2) = f(x)，当xC0,2时,f(x) =2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当xC2, 4时，求f(x)的解析式；(3)计算 f(0) +f(1) +f(2) + f(2014)的值.参考答案1 . D【解析】试题分析：依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位”且“换否”，注意“都是”的否定为“不都是"，所以原命题的逆

7、否命题应为“若 x + y不是偶数，则x与y不都 是偶数”，故选D.考点：四种命题的概念.2 . B【解析】试题分析：偶函数的定义域要关于原点对称，且满足f(x)= f(x),选项A中f (一x) =sin(-x) = -sin x=f(x),奇函数不符合；选项 B中f (x) = (-x)sin(x) = xsinx= f(x),偶函数符合；选项C中定义域为0,+比)，不 关于原 点对称，非奇非 偶函数不符合；选项 D中V 1f(x)=2 -=2 -2 = f(x),奇函数不符合.故选 B.考点：利用定义判断一个函数是否为偶函数. 3. C【解析】试题解析：A虽增却非奇非偶，B D是偶函数，

8、由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y' = 2xln2+2=ln2 >0),故选c考点：函数的单调性、奇偶性4. D【解析】29试题分析：A选项，f (-x)=(-x) +4=x2 + 4= f(x),所以f (x)为偶函数；B选项，f (-x )= tan (-x )=tanx = f (x ),所以 f(x )为偶函数；C选项，f (-x ) = cos2(-x )=cos2 x= f (x),所以 f (x )是偶函数；D选项，f (x ) = 3。-3x = -(3x -3 )= f (x ),所以 f (x)为奇函数.故选D.考点：

9、函数奇偶性的定义.5. C【解析】试题分析：根据函数的奇偶性、单调性的定义逐项判断即可.解：y=-1在(-巴 0),(0, +8)上单调递增，但在定义域内不单调，故排除A；y=sinx在每个区间(2k% - 2L, 2k兀+2_) (kC Z)上单调递增，但在定义域内不单调，故 22排除B;2J. 1令f (x) 二口其定义域为 R,且f ( - x) =( _算)至-J= f (x),所以f (x)为奇 函数，又f ' (x) =3x2>0,所以f (x)在R上单调递增，故选：C.考点：函数奇偶性的判断.6. D【解析】根据图像可知，函数是偶函数，利用对称性作出函数图像可孩子f

10、(-3)=f(3), 结合图像可知f(1)<f(3), 故选D.【答案】D7【解析】试题分析：对于选项 A ,因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f (x)g(x) =f (x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数，所以选项 A不正确；又于选项 B,因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x) g(x)=|f(x) g(x),所以| f (x)|g(x)是偶函数，所以选项B不正确；对于选项 C,因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f (-x)g(-x) =|f(x)g(x),所以| f(x)g(x)|是偶函数，所以选项 C不正确；对于选项D,因为f(x)是奇函数，g(

11、x)是偶函数，且f(-x)=f(x),所以f(|x|)是偶函数，所以选项 D正确；故应选D.考点：1、函数的奇偶性.8. B【解析】试题分析：(1)由 f(x +1) f (x) =1 得 f(x+2) ,f(x+1) =1 ,所以得 f (x) = f(x+2),得最小正周期是 2.该命题错误.(2)由f(x) f(x) = 0得f(x)= f (x),知其是偶函数，图像关于y轴对称，但该函数是周期函数， 所以对称轴有无数条.该命题错误.(3) 由 y = f(x)在0,1上为增函数，因为是偶函数，所以在 -1,0上为减函数，周期为 2,所以y = f (x)在3,4上为减函数.该命题正确.

12、考点：函数性质的综合考察.9. C【解析】试题分析：因为函数为奇函数，且 f(-3)=0,在(0,")内是增函数，所以 f(3)= 0,在.(_叫0 )内是减函数，从而可得x<3<x<00<x<3x>3，由此f(x)M0 f(x)>0f(x)<0f(x)>0可得满足x f (x )< 0的x的取值集合为“| -3 < x < 0或0 <x<3考点：函数单调性与奇偶性的综合应用.10. A【解析】试题分析：由已知得f(1) = 1, f(2)=2, f (3) = f (-3) = 1 , f (4)

13、= f(2) = 0 ,f(5) =f (1) = 1 ,f(6) = f(0)=0 , 故 f(1)+ (f 2 + .( f 6 , 1 +f 1 f 2，f 2013 +f 2014 =335+ f (1 广 f(2)+f(3)+f(4)=337.考点：函数周期性.11. 1【解析】(2 a 1)x 11试题分析：因为函数f(x) = x +1 = x + + 2a+2为奇函数，所以对xx,.11Vxw(q,0)U(0,收)均有 f(x) = f(x),即x+2a+2 = . x+2a + 2 ,所以-xx4a 4 = 0,a = - 1.考点：函数的奇偶性.12 .-2【解析】试题分析

14、：利用函数的奇偶性，直接求解函数值即可.解：奇函数f (x)当x>0时的解析式为f (x) =-,则f (-1) = - f (1)=. J+l2故答案为：-1. 2考点：函数奇偶性的性质；函数的值.13 . -10【解析】试题分析：f (x )+4 =ax3 +bx ,所以判断f(x)+4是奇函数，f( 2)+4 = 6,所以f(2)+4 = -6,即 f(2)=64=10考点：奇函数【方法点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题型，谨记一些法则，比如,奇函数+奇函数二奇函数，奇函数 黑奇函数=偶函数，奇函数+偶函数二非奇非偶函数，所以本题f (x讲不是奇函数，但 f(x

15、)+4是奇函数，所以间接利用f(-2)+4,求f(2)十4,最后求f 214.(叫0)(叫0也对)试题分析：若函数f (x )=kx2+(k -1 X+2是偶函数，所以k = 1,则 f(x)=x2+2 ,所以函数f (x旃递减区间是(-90 ).考点：1 .偶函数；2.二次函数的单调性.【思路点晴】本题主要考查的是二次函数单调性和偶函数,属于容易题.解题时首先要根据函数是偶函数得到 k=1,从而函数转化为二次函数，找到对称轴即可解决问题.另外本题 答案也可是-二,01.715.一2【解析】试题分析：函数f (x)满足f (x +2) f (x)=7,则f (x) =一7一， f(x 2)f(

16、x + 2)=7一, f (x 4)所以 f(x) = f(x+4), f(107) = f(26M4+3) = f(3)='=7f (1) 2考点：函数的周期性.16. 1【解析】由条件，f(2015) =f(671 X3+ 2)=f(2) = f( -1) =- f(1) =1.17. (1) a = 2 , b =1 奇函数(2)详见解析试题分析：将函数过的点代入函数式可得到a,b的值，判断奇偶性可判断f(-x)=f(x),f (-x )= -f (x )是否成立；(2)证明函数单调性一般采用定义法，在x1 <x2的前提下证明f (x )< f (x2 )成立试题解析

17、：(1) 函数f(x)的图像经过(1,3)、(2,3)两点a b = 3 a，得 a=2,b=1a 2b =32.2一一函数解析式f(x)=£+x，定义域(，0)U(0,+丈) x22 f (_x) = ( x) = ( x) = f (x)-xx2函数斛析式f(x)=+x是奇函数x(2)设任意的 x1、x21s J2 , +8 ),且 x1 < x2f(xi) - f(x2)22二一xi - - - x2xix22(x2 - xi)x1x22，、-(x2 -xi) =(x2 -xi)(-1)x)x2二(x2 - xi )2 - x1x2x1x2x1- 2 ,x2:2 ,且 x1 :二 x21-x1x2> 2 ,则 2 -x1x2< 0 ,且x2x1> 0得 f (x1) - f (x2) <0 ,即 f (x1) < f (x2).函数f (x)在区间我, +2)上单调递增.考点：函数奇偶性单调性18. (1)见解析(2) f(x) =x2-6x+8, xC2, 4. (3) 1【解析】(1)证明：因为f(x+2)= f(x),所以 f(x +4) =- f(x + 2) =f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)解：因为 xC 2 , 4,所