知识要点-空间直角坐标系

1、第5讲空间直角坐标系知识梳理1. 右手直角坐标系 右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指： 已知点的坐标P(x,y,z)作点的方法与步骤(路径法)：沿x轴正方向(x0时)或负方向(xvO时)移动1x1个单位，再沿y轴正方向(y0 时)或负方向(y v 0时)移动I y I个单位，最后沿x轴正方向(z 0时)或负方向(z (0,2,0),4 (0,0,5),则G的坐标为。解析正四棱柱ABCD -州过点A的三条棱恰好是坐标轴，G的坐标为(2, 2, 5)2. 平行四边形ABCD的两个顶点的的坐标为4(一1,1,3),8(3,2,-3),对角线的交点为M(

2、l,0,4),则顶点C的坐标为 ,顶点D的坐标为解析由已知得线段AC的中点为A/,线段BD的中点也是M,由中点坐标公式易得C(3,-1,5), D(-1,-2,11)3. 已知M (4,3,-1).记M到人轴的距离为a, M到y轴的距离为b, M到z轴的距离为c,则()A. abc B. chaC. c abD. bca解析借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度。a = yvi yc = 5 ,选 C考点2：空间两点间的距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题例3如图：已知点A(l,l,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一 点B,使得Q4丄A3恒成立

3、？若存在，求岀点的坐标；若不存在，说明理由:【解题思路】转化为距离问题，即证明PAl + AB1=PB1C 解析设 P(0,0,c) B(0,0),/对于6轴正半轴上任意一点P,假设在Oy轴上存在一点B,使得必少金恒成佥则 P/r+AB1=PB1(0 _ 1)2 + (0 _ 1)2 + (c - 0)2 + (1 - 0)2 + (1 - b)2 + (0 - 0)2 = (0 - O)2 +(0-b)2 +(c-O)2 即3 + (b-)2=h2,解得：b = 2所以存在这样的点B,当点为(0,2,0)时，门4丄AB恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距

4、离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。【新题导练】4. 已知A(x,5 x,2x l),B(l,x+2,2 x),当A,B两点间距离取得最小值时，兀的值为()解析I AB 1= J(x_ 1尸 + (3_2x)2 *(3x_3)2 = ay牙2 - 2x +198当x=y时，IABI取得最小值5. 已知球而(x-l)2+(y + 2)2+(z-3)2 =9,与点A(3,2,5),则球而上的点与点A距离的最大值与最小值分别是。解析球心C(1,-2,3),AC = 6,球而上的点与点A距离的最大值与最小值分別是9和36. 已知三点A(1,1,2),3(1,2,l),C(“,0,3),是否

5、存在实数d,使A、B、C共线?若存在, 求出a的值；若不存在，说明理由。解析A8 = J(_1_1)2+(1_2)2+(2 + 1乎=应,AC = J(-1 - 4)2 + (1 - 0)2 + (2 - 3)2 =血 +1)2 + 2 ,BC = 7(l-)2+(2-O)2+(-l-3)2 = J(a - 1尸 + 20 ,因为BC AB ,所以，若A,B,C三点共线，有BC = AC + AB或ZC = BC+qB,若BC = AC + AB，整理得：5/+18 + 19 = 0,此方程无解：若AC = BC + AB，整理得：5/+1&/ + 19 = 0,此方程也无解。所以不存在实数a

6、,使A、B、C共线。抢分频道基础巩固训练1. 将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将兀轴与y轴，兀轴与z轴所成的角 画成()A. 90 B. 135 C. 45 D. 75解析：选B2. 点P(3,4,5)在yoz平而上的投影点片的坐标是()A. (3,0,0)B. (0,4,5)C. (3,0,5)D. (3,4,0)解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选B3. 三棱锥O ABC中，0(0,0,0),A(2,0,0),3(0,1,0),C(0,0,3)此三棱锥的体积为()A. 1B. 2C. 3D. 6解析O4OBQC两两垂直，匕bc = 1丄小2 3 = 13 24. (2007模拟

7、)设点B是点A(2, -3,5)关于平而欢乃的对称点，则AB等于()A. 10B. V10C. V38D. 38解析A点A(2, -3, 5)关于平面xOy的对称点为3(2,3,5),AB = &2-2尸 + 3 - (3疔 + 5 - (一5)2 = 105. (2007年模拟)点P(l,2,3)关于y轴的对称点为片，P关于平面的对称点为巴，则1人鬥1二解析A(-1,2,-3),(1-2,3)，.-.11=5/566. 正方体不在同一表面上的两顶点P (-1, 2, -1), Q (3, -2, 3),则正方体的体积是解析不共:.PQ为正方体的一条对角线，PQ = 4忑,正方体的棱长为4,体

8、积为64综合提高训练7. 空间直角坐标系中，到坐标平而xOy, xOz., yOz的距离分别为2, 2, 3的点有扎1个 B. 2个 C. 4个D. 8个解析：8 个。分别为(3, 2, 2)、(3, 2, -2)、(3, -2, 2)、(3, -2, -2)、(-3, 2, 2)、(-3, 2, 一2)、(-3, -2, 2)、(-3, -2, -2)8. (2007昌乐模拟)三角形ABC的三个顶点的坐标为A(1,2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4), 则A4BC的形状为()A.正三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析CAB= J(1 一 4)2+(_2 2严+(1

9、1-3)2 =屈AC= 7(4-6)2+(-2 + 1)2+(11-4)2 = 75I BC= 7(4-6)2 + (2 + 1)2 + (3-4)2 = V14:.A + BCAB19. (2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系0 兀埒中有一点人(一1,一1,2),点3是平 而xOy的直线x+y = 上的动点，则两点的最短距离是()V34V17A. J6BC 3D 22解析因为点B在my平而的直线x + y = 上，故可设点B为(x, x +1,0), 所以 AB = J(x + if + (_x + 2)2 + (0一2尸=yl2x2-2x + 9 =2(x-$+等, 所以当丄时，AB取得最小值浮，此时点B为(丄,丄,0)。2 2 2 210. 如图，以棱长为d的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系0-疋陶，点P在Bn/矢QOj亠./CYZ仃正方体的对角线AB上，点0在正方体的棱CQ上。(1)当点P为对角线43的中点，点Q在棱CD上运动时,探究P0的最小值：(2)当点P在对角线AB上运动，点0为棱CD的中点时，探究PQ的最小值：解析由已知 A(a,a,O),C(O,a,O), D(O,a,a), 3(0,0,。),(1) 当点P为对角线AB的中点时，点P坐标为2 2 2设Q(0,心，则= J(z +牛，当z =-时，PQ取到最小值为迟