导数与微分(高等数学)（课堂PPT）

1、.1求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)( xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分 第二章第二章 导数与微分导数与微分 .21 1、导数的定义、导数的定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 导函数导函数 0000( )(),x xx xx xdydf xfxydxdx或( )( ),dydf xfxydxdx或00()( ).x xfxfx注意：注意：记为.3例题例题1 1. .设设( )fx存在，且存在，且000(2)()lim1xf xxf xx 则则0()fx等等于于 A. 1

2、, B. 0, C. 2, D. 0.5 A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5 分析：分析：000(2)()limxf xxf xx 00020(2)()2 lim2()12xf xxf xfxx 0()0.5fx.4自变量增量自变量增量自变量增量)()(lim)(0000 xfxfxf导数定义的本质：导数定义的本质：练习：练习：P43 P43 第第3 3题题.52、单侧导数单侧导数左导数左导数与右导数与右导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxx

3、x 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。例例. . 见教材见教材 P42 P42 页例页例6 6.6例题例题2.2. 讨论讨论211( )21xxf xxx在在1x 处的连续性与可导性处的连续性与可导性. . 分析：分析： 1(1)22xfx211lim( )lim(1)2xxf xx11lim( )lim

4、(2 )2xxf xx所以所以( )f x在在1x 处连续处连续 .7211( )(1)12(1)limlim11xxf xfxfxx 2111limlim(1)21xxxxx111( )(1)22(1)limlimlim 2211xxxf xfxfxx所以所以(1)(1)(1)2fff因此因此( )f x在在1x 处可导。处可导。211( )21xxf xxx题目的函数为：题目的函数为：.8当当1x 时，时，21( )21xxfxx所以所以11(1)lim( )lim22xxffxx11(1)lim( )lim 22xxffx因此因此(1)(1)(1)2fff从而从而( )f x在在1x 处

5、可导。处可导。判断可导性的另一种方法：判断可导性的另一种方法：.93 3、导数的几何意义：、导数的几何意义： 函数函数( )yf x在点在点0 xx处的导数处的导数0()fx表示曲线在点表示曲线在点00(,()xf x处切线的斜率。处切线的斜率。 曲线在点曲线在点00(,()xf x处的切线方程为处的切线方程为 000()()()yf xfxxx法线方程为：法线方程为： 0001()()()yf xxxfx.10例例 求曲线求曲线3 3yx 2 21 12 22 23 31 12 2xxky |x | 2 21 11 11 11 12 2 k,k在点（在点（2，8）处得切线方程和法线方程。）处

6、得切线方程和法线方程。解解 在点（在点（2，8）处的切线斜率为）处的切线斜率为所以，所求切线方程为所以，所求切线方程为81228122（）, ,yx所求法线斜率为所求法线斜率为于是所求法线方程为于是所求法线方程为12160.xy18(2),12yx 12980.xy.114 4、导数与连续的关系、导数与连续的关系 ： 定理定理( (函数可导的必要条件函数可导的必要条件) ) ： ( )yf x在点在点0 xx处可导处可导( )yf x在点在点0 xx处连续。处连续。可导可导连续，反之不一定连续，反之不一定 即函数连续是函数可导的必要条件，即函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。但不是充

7、分条件。 例子例子 见教材见教材 P42 P42 例题例题7 7，8 8.12例例 函数函数 0 00 0 x,x,x,xy| x | 在在x=0连续但不可导，连续但不可导，于是有于是有xy xyo|0|0| |,yxx . 1lim|limlim, 1lim|limlim000000 xxxxxyxxxxxyxxxxxx),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy可导一定连续，但是连续不一定可导。可导一定连续，但是连续不一定可导。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。因为因为.13例例.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可

8、导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是是有有界界函函数数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx练习：练习：P43页第页第7题题0( )(0)lim0 xf xfx01sinlimxxxx01limsinxx01limsinxx因为不存在.145 5、基本导数公式、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常数和基本初等函数的导数公

9、式）（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc.156 6、求导法则、求导法则设设)(),(xvvxuu 可可导导，则则（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是是常常数数),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx 则则有有的的反反函函数数为为如如果果函函数数.16 (

10、 ) ( )( )fxfxx或或注意：注意： ( )fx与与 ( )fx的区别的区别 ( )fx表示复合函数对自变量表示复合函数对自变量 x求导求导).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的导导数数为为则则复复合合函函数数而而设设 （3 3）. .复合函数的导数复合函数的导数： 复合函数求导关键在于正确地分解复合复合函数求导关键在于正确地分解复合函数，正确地运用复合函数求导法则。函数，正确地运用复合函数求导法则。 ( )fx表示复合函数对中间变量表示复合函数对中间变量 ( )x求导求导.17例例求下列函数的导数求下列函数的导数 cosln(1)yx

11、.18例例 设设，求，求y .解解 例例设设，求，求y .解解 )ln(arcsin xy 221111(arcsin ).arcsinarcsin11arcsinyxxxxxxxyarctan21111().11 ()22(1)yxxxxxx首页首页上页上页下页下页.19lnlnyxxy.20(4) (4) 隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法隐函数求导法: :方程两端同时对方程两端同时对x x求导求导, ,注注意在求导过程中要意在求导过程中要y=f(x)y=f(x)视为视为x x的函数的函数, ,即即把把y y视为中间变量。视为中间变量。见见 P53 P53 页例页例3 3.21例例

12、求由方程求由方程xyxye 所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数xy .解解 方程两端对方程两端对x求导数，得求导数，得例例 求椭圆求椭圆22221 1169169xy在点在点处的切线方程处的切线方程.解解 所求切线斜率为所求切线斜率为2 2 xky |.方程两边对方程两边对x求导求导,得得2 20 08989xy y.9 91616 xy.y(1),x yyxyey.x yx yyeyxyyexxyx323, 2首页首页上页上页下页下页.22例例 求由方程求由方程所确定的隐函数的二阶导数所确定的隐函数的二阶导数yxey122dxyd.23,)()(间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若

13、参参数数方方程程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy.)()()()()(322tttttdxyd (5) (5) 参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则.24 解：解： 曲线上对应曲线上对应t =1的点（的点（x, y)为（为（0,0）,曲线曲线t =1在处的切线斜率为在处的切线斜率为1 tdxdyk12231 ttt122 于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为 y =x123 txtty求曲线求曲线在在t =1处的切线方程处的切线方程例例.25ttytxarctan)1ln(2例题：设，求22dxyd.26(6) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对

14、数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: :对数求导法适用于幂指函数对数求导法适用于幂指函数 ( )( ).v xu x函数相乘和幂指函数 的情形以及多因子乘积（或商）函数的导数以及多因子乘积（或商）函数的导数 例例. . 见见 P53 P53 页例页例4 4，5 5，6 6.2711111212341(1)(2)1111 .2(3)(4)1234yyxxxxxxxxxxxx首页首页上页上页下页下页111111,21234yyxxxx1lnln(1)ln(2)ln(3)ln(4),2yxxxx两边对x求导数，得解： 两边取对数，得 例例 求函数求

15、函数)4()4)(3()2)(1(xxxxxy的导数的导数.28（7）抽象函数的求导法则）抽象函数的求导法则21.(),yf xy求22.(),yf xy求( )3.,f xyeyy求 及.297 7、高阶导数、高阶导数,)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二阶导数二阶导数记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyx

16、f或或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数).30求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法。求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法。当只须求函数的当只须求函数的2 2、3 3、4 4、5 5阶导数时，通常选择先求出函数阶导数时，通常选择先求出函数的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下去，去，直至求出所求阶导数的方法。直至求出所求阶导数的方法。当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出函数当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出函数的一至四或五阶导函数从

17、中寻找出高阶导函数表达式规律，的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律，再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的1 1高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数。.31例例xye 求求的的n阶导数阶导数.解解 xye , xye , xye , 4 4()xye , 一般地，可得一般地，可得( n )xye . 例例解解 ysinx n求求的的阶导数阶导数.cossin(),2yxx cos()sin()sin(2),2222yxxx cos(2)sin(3),22yxx 一般地，可得一

18、般地，可得( )sin().2nyxn首页首页上页上页下页下页.32例例n求求的的阶导数阶导数.解解 ) 1()1ln(xxy121(1) ,( 1)(1) ,1yxyxx 3(4)4( 1)( 2)(1) ,( 1)( 2)( 3)(1) ,yxyx ( )1(1)!( 1)( 2)( 3)(1)(1)( 1).(1)nnnnnynxx 一般地，可得一般地，可得上页上页下页下页练习：练习：P51 2(1) (4) (5)1.( ),( 1)xf xxef已知求2.ln(1),yxy已知求3.,(0)xyxey已知求.338、微分微分.),(,)(,)(),()()()(,)(00000000

19、0 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分于自变量增量于自变量增量相应相应在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )（1）微分的定义）微分的定义.34（2 2）、导数与微分的关系）、导数与微分的关系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处处可可导导在在点点可可微微的的充充要要条条件件是是函函数数在在点点函函数数定理定理（3 3）、）、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.35（4）基本初等函数的微分公式）基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxd